无穷等比数列各项的和(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把的无穷等比数列的前n项的和，当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S表示，记作2. 无穷递缩等比数列的定义：把的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列本身是等比数列；(2)当时，数列单调递减，故称“递缩”；(3)当时，数列为无穷数列。强调：(1)只有当无穷

2、等比数列的公比q满足时，其前n项和的极限才存在；（当时，极限不存在；当时，不存在；当时，不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列的极限！(3)应用：化循环小数为分数。问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算分析：是无穷等比数列前n项和的极限，即等于+，可以利用无穷等比数列各项和的公式来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。解： = =例2. 无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。解：设首项为a，公比为则各项的立方和：二、无穷等比数列各项和的应用例3.

3、 已知等比数列的首项为，公比为，且有， 求首项的取值范围。解： 一定存在。或 当时， 当时，由得， ，且 综上，得且或例4. 已知无穷等比数列各项和等于3，各项的平方组成的数列各项的和等于，求数列（即各项的立方组成的数列）各项的和。解：设数列的首项为，公比为，依题意， 可知，据题意，得 数列各项的和为点评：无穷等比数列各项的和是指前n项和的极限，当时，；当时，这一极限不存在，换言之，在无穷等比数列中是存在的充要条件，一定要特别注意公式的含义及适用范围，要注意S和S的区别与联系。例5. 化下列循环小数为分数： (1)；(2)3.4解(1) =0.29+0. 002 9+0. 00029+。 等式

4、右边是首项为0. 29，公比是0. 01的无穷等比数列的各项的和， 所以 = (2) 3.4=3. 4+0. 031+0. 000 31+0. 000 003 1+， 等式右边是3. 4加上一个首项为0. 031，公比是0. 01的无穷等比数列的各项的和，所以 3.4= 循环小数化为分数的法则： (1)纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母上的数字都是9，9的个数是循环节上数字的位数； (2)混循环小数化分数：所得到分数的分母上的数字，前面都是9，后面是0，数字9的个数等于一个循环节上数字的位数，数字0的个数等于不循环数字的个数；所得到分数的分子上的数是一个循环节连同不循环部分的数减去

5、不循环部分所得的差。例6. 如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形 A。B，C，D，；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A。B。C。D。；如此无限继续下去，求所有这些正方形周长的和与面积的和。分析：关键是求出第n个正方形的边长与前一个正方形的边长的关系。解：由题意得：第1个正方形的边长，第n个正方形的边长 ，即所有正方形的边长组成的数列为1，于是所有正方形的周长组成的数列4，2，4，这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和为。所有正方形的面积组成的数列为1，这是首项为1、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和：知识内化

6、1. 把循环小数化为分数_。 2. 无穷等比数列1，的各项和等于_。 3. 在等比数列中，（为锐角），且前n项和满足，那么的取值范围_。 4. 若数列的通项公式是，前n项和为，的值为（ ） (A)0(B)(C)(D) 5. 如图是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的周长、面积分别为、。求(1)；(2) 能力迁移 数列的首项为，且对任意，与恰为方程的两根，其中，当，求c的取值范围。基本练习一、填空题1. 一个无穷等比数列的各项和为S，首项，公比q<0，则S的取值范围是_。 2. 已知无

7、穷等比数列中，则_。 3. 若数列1，2cos，(2cos)，且，则_。 4. 计算 _。 5. 设等比数列的公比，且，则_。6. 若，则的值为_。7. 无穷等比数列的前以项和为，且，则=_。8. a，bR，且，则无穷数列：1，的和为_。9. 如图，一动点由原点出发，首先向右移动1个单位到达A(1，0)点，然后沿着原方向逆时针旋转90°的方向，移动个单位到达，若照此继续下去，每次都沿着逆时针方向旋转90°方向，移动上次所移动距离的一半，则动点移动的极限位置_。10. 正方形上连接等腰直角三角形，再连接正方形，无限重复同一过程，设正方形面积为S，S，S，三角形面积为T，T，T

8、，当S的边长为2时，这些四边形与三角形的面积的总和是_。二、选择题11. 一个无穷等比数列的第一项是自然数，公比是一个自然数的倒数，此数列的各项之和是3，那么数列的前两项之和是( ) (A)(B)(C)2(D)12. 若数列的通项公式是，则等于( ) (A)(B)(C)(D)13. 数列中，则等于( ) (A)(B)(C)(D)14. 等腰三角形ABC中，是顶角，作一个以底角么B为顶角，以BC为腰的等腰三角形ABC，再作一个以为顶角，以BC为腰的等腰三角形ABC，如此下去，则=（ ） (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°三、解答题15. 无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。16. 设数列的首项，且记 (1)求； (2)判断数列是否为等比数列