圆锥曲线焦点弦长公式

1、圆锥曲线焦点弦长公式极坐标方程圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第 21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目 的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长 公式是圆锥曲线椭圆、双曲线和抛物线的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用 这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！？定理 圆锥曲线椭圆、双曲线或者抛物线的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴），焦点为F，设倾斜角为的直线l经过F,且与圆锥曲线交于 A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e,通径长为

2、H，那么H1当焦点在x轴上时，弦 AB的长I AB |22一 ；|1 e2 cos2|2当焦点在y轴上时，弦AB的长| AB |11 e2 si n2|推论:1焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，| AB|H- 22 ；1 e cos当A、B不在双曲线的一支上时,H| AB | 2;当圆锥曲线是抛物线时,e cos 1HI AB|sinH2焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，| AB |2；1 e sin当A、B不在双曲线的一支上时,H| AB | -2；当圆锥曲线是抛物线时,e sin 1HI abicos典题妙解下面以局部高考题为例说明上述结论在解题

3、中的妙用2 2例106湖南文第21题椭圆'1，抛物线（y m） 2px43且Ci、C2的公共弦AB过椭圆Ci的右焦点I当 ABx轴时，求p, m的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线AB上;n假设p44且抛物线C2的焦点在直线 AB上，求32 2例2 07全国I文第22题椭圆 土 1的左、右焦点分别为 F1、F2，过F1的直线32交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于 A、C两点，且AC2 21设P点的坐标为（X0, y0）,证明： 乞 互 v 1.322求四边形ABCD的面积的最小值.例3 08全国I理第21题文第22题双曲线的中心为原点0,焦点在x上，两条渐近线分别为h、l2，

4、经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点 |0A|、|AB|、|0B|成等差数列，且 BF与FA同向I求双曲线的离心率；n设AB被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程金指点睛21.斜率为1的直线I过椭圆 X21的上焦点 F交椭圆于4A、B两点，那么I AB 1=22 y2.过双曲线X31的左焦点F作倾斜角为的直线I交双曲线于 A、B两点，那么6I AB 1=3.椭圆 x2 2y220,过左焦点F作直线I交A、B两点，O为坐标原点，求 AOB的最大面积o4.抛物线y 4px p >0，弦AB过焦点F，设I AB I m , AOB的面积为S,求证:s2m为定值1上，

5、F为椭圆在y轴正25. 05全国n文第22题P、Q、M、N四点都在椭圆X半轴上的焦点 PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF MF0 求四边形 PQMN的面积的最大值和最小值6. （07重庆文第22题）如图，倾斜角为的直线经过抛物线 $ 8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.I求抛物线的焦点 F的坐标及准线I的方程；假设 为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P ,证明 | FP | |FP|cos2为定值，并求此定值.7点M与点F(0,2)的距离比它到直线l : y 3 0的距离小1.1求点M的轨迹方程；A、B ； C、D.求四边形 ACBD的最2经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交

6、于 小面积2X228.双曲线的左右焦点F1、F2与椭圆y1的焦点一样，且以抛物线y22x的准5线为其中一条准线1求双曲线的方程；2假设经过焦点 F2且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B ； C、D.求四边形ACBD的面积的最小值ll圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案证明：设双曲线方程为2 x2 a21 a > 0, b > 0，通径 h b22b弦AB所在的直线l的方程为y k (x c)其中k tan , 为直线数方程为2-,离心率e -al的倾斜角，其参c t cos tsin .代入双曲线方程并整理得：(a2 sin2b2 cos2 ) t2 2b2ccos

7、t b40.由t的几何意义可得：|AB| |ti t2 |(厂tj2)2 4t1t2(2b2ccosa2sin2 b2 cos22ab2|a2 sin2 b2cos2|2b2a |1 e2 cos2|2b2)24b2a2 sin2b2 cos2a2 2|1 e cos |H|1 e2cos2|例1解：I当AB x轴时,x 1.占八、A、B关于x轴对称，m 0 直线AB的方程为3从而点A的坐标为(1,)或(12 ，点A在抛物线C2上,992 p.即 p489此时抛物线C2的焦点坐标为(一,0),该焦点不在直线 AB上.16n设直线ab的倾斜角为，由I知 一.2那么直线AB的方程为y tan (x

8、 1).抛物线C2的对称轴y m平行于x轴，焦点在AB上，通径H 2p -,离心率e 1,3于是有I AB|H2sin(1 cos2 )AB过椭圆Ci的右焦点，通径H2b2离心率eHIABI IWcos2I122 cos83(1 cos2122解之得:抛物线4 cos1 tan 7，2C2的焦点F (3cos26.m)在直线ytan(xD上,11tan ，从而m3616时，直线AB的方程为6xf时，直线AB的方程为6xy .602.x21证明：在32y- 1 中,2、3, b 2c 1.F1PF290 ,0 是 F1F2的中点,I OP I 1| F1F2 I c 1得 Xo22yo1.点P在

9、圆x显然，圆x21在椭圆2丄 1的内部.22 y。2解：如图，设直线BD的倾斜角为，由AC BD可知，直线AC的倾斜角一2通径H，离心率e333又 BD、AC分别过椭圆的左、右焦点 F1、F2，于是|BD|AC|H4岳2 22，1 e cos 3 cosH44321 e2cos2 () 3 sin2四边形ABCD的面积1S 2 IBDI I AC I1 4.3432 3 cos23 sin29624 sin2 220， sin 20,1-96,425例3,解：2 2I设双曲线的方程为务芯 1 a>0, b >o.ab故四边形ABCD面积的最小值为 -25|OA|、| AB|、|OB

10、|成等差数列，设| AB| m，公差为d，那么 |OA| m d ,|OB| m d ,(m2 2d) m (m2 2d).即 m2dm d22dm d2.-.从而|OA |43m，|OB|45m4又设直线h的倾斜角为，那么 AOB 2 .h的方程为tan而 tan2 atan AOB| AB |4|OA| 32ta n2 b a41 tan21 (与3a解之得：-1a2rbx 2!5e 、1()a2n设过焦点F的直线AB的倾斜角为2ta n2cossin.而 sin1 tan221cos5那么 一2通径Hb2b -b.(1)22b2a又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有:| MN |4

11、a 6.H1 e2 cos24.2 2x y所求的椭圆方程为1.3691.解：a2,b 1,c' 3，离心率e 2a4 .|AB|H1彳 2 - 21 e sinV5 21 (y)2 22.解：a1,b3,c2,离心率ec 2a、.32b2 d.，通径H1，直线1的倾斜角2a85 .2b2,通径H6 ,直线的倾斜角a6|AB| |E7|1 22(吕2| '2心 x23解：y22,b 1,c1，左焦点F( 1,0)，离心率e-，通径a当直线I的斜率不存在时,l x轴,2b2这时| AB | Ha2，高|OF |1 AOB的面积S -2当直线I的斜率存在时,设直线I的倾斜角为，那么

12、其方程为y tan(x1)，即tan x y ta n0AB,|0 tan0 tand Jtan219 sin| sec |H|AB|221 e cos2COS2a/2 22 cos.2 sin AOB的面积S12 |AB| d.2 sin_2sinOvsin> 0.从而1sin22 sin- 2 sin2si n的最大面积为22当且仅当sin“="号成立故 AOB4.解：焦点为F(p,0)，通径4p .1 2的面积 S I AB I |OF | 2p .s2m4p4 4p4m 4pp，是定值.当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，那么其方程为y tan (x p),即 t

13、an x y pta n0， 原点O 到直线 ABd I ptan |<ta n21p|ta n | sec |psinI AB|.2 sin4p-2"sin AOB的面积S12 |AB|d2p2sinS24p414p42 sinp3m2 sinm2 sin4pp不管直线AB在什么位置，均有p p为定值m25.解：在椭圆X2专1中，a 2, b 1, C 1-由条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F (0,1)，且 MN PQ .如图，设直线PQ的倾斜角为，那么直线MN的倾斜角一2通径H-2，离心率e-2 于是有2| MN |PQ|22 z1 e sin (2H2、22

14、cos22、21e2 sin22 sin2四边形PQMN的面积1S -|MN | |PQ|1 2 2 2 22 2 cos22 sin2168 sin2 2 .0, sin2 20,1-故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为6.I 丨解：2 p8, p 4 , 抛物线的焦点F的坐标为(0,2),准线I的方程为2.ACl 于 C, FD AC 于n证明：作D.通径H2p 8.从而 | fp | L-EF|4cos sin| FP | FP |cos2| FP | (1 cos24 _2 sin2 sin28.故| FP | FP|cos2为定值，此定值为8.7.解：1根据题意，点与点F(0,

15、2)的距离与它到直线l : y2的距离相等,点M的轨迹是抛物线，点 F(0,2)是它的焦点，直线l : y从而2, p 4. 22所求的点M的轨迹方程是x 8y .2两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，它们的斜率都存在.如图，设直线 AB的倾斜角为，2是它的准线那么直线CD的倾斜角为90.抛物线的通径H 2p 8，于是有:|AB| -H cos8hCD| 荷(90)8 sin2四边形ACBD的面积1S -|AB|282cos1282sin 2|CD|8 2 sin当且仅当sin2 2取得最大值1时，Smin 128，这时290 ,45 .四边形ACBD的最小面积为128.8.解：1在椭圆1中,a . 5, b 1,c. a2b22，其焦点为R( 2,0)、F2 (2,0).在抛物线y22x中,1,其准线方程为X 2在双曲线中,22,c1,b c2 a2,3.所求的双曲线的方程为1.它们的斜