圆知识点总结及对应练习

1、考点一、圆的相关概念1、圆的定义2、圆的几何表示：以点0为圆心的圆记作“O 0”读作“圆0” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）（3）半圆（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A, B为端点的弧记作“爺”读作“圆弧 AB ” 或“弧 AB ” 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两 个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦

2、，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直彳径 平分弦I 知二推三平分弦所对的优弧I平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形2、圆的中心对称性:考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的

3、弦心 距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等。推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形。考点七、点和圆的位置关系设。O的半径是r,点P到圆心0的距离为d,则有：d<r：=点P在。0内；d=r二点 P在。0 上;d&g

4、t;r=点P在。0夕卜。考点八、过三点的圆1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。考点九、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：如果。0的半径为r，圆心0到直线I的距离为d,那么：直线I与。0相交二d<r；直线I与。0相切二d=r；直线I与。0相离二d>r；考点十、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在。0中，四边ABCD是内接四边形 z C +NBAD =1

5、80" NB+ND =180”DAE "C十一、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN _0A且MN过半径0A外端 MN是O 0的切线切线垂直于过切点的半径（如上图） 过圆心垂直于切线的直线必过切点。 过切点垂直于切线的直线必过圆心。2、性质定理：推论1：推论2：以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出BD最后一个 考点十二、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角

6、。即： PA、PB是的两条切线 PA 二 PB ; PO 平分.BPA考点十三、圆幕定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线 即：在。O中，弦AB、CD相交于点P ,二 PA PB= PC PD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项。即：在O O中，直径AB丄CD，2二 CE =AE BE2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项。即：在。O中PA是切线，PB是割线 PA2 二 PC PB3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。即：在。

7、O中PB、PE是割线 PC PB 二 PD PE考点十四、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦 如图：Q02垂直平分AB。即P：v© °! > O O2相交于A、B两点二Q02垂直平分AB考点十五、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长：Rt O1O2C 中, AB2=COi2 二.O°22-CO22 ；(2)外公切线长：C°2是半径之差； 内公切线长：C°2是半径之和考点十六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆

8、的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，考点十七、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系2、圆心距3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d,那么两圆外离二d>R+r两圆外切二d=R+r两圆相交二 R-r<d<R+r ( R > r)两圆内切二d=R-r (R>r)两圆内含二d<R-r (R>r)4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的 连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点十八、圆内正多边形的计算1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2

9、、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就 是这个正多边形的外接圆。3、正三角形在。O中 ABC是正三角形，有关计算在R t B O 中进行：O D B D O BlV7 3; : 2OD4、正四边形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE: AE:OA=1:1: .2 :5、正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，SAB:0B:0A=1: .3:2.考点二十、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性、中心对称性注：边数为偶数的正多边形是中心对称图形， 考点二十一、弧长和扇形面积1、弧长公式n°的圆心角所对的弧长I的

10、计算公式为I180n o 12、 扇形面积公式S扇一二R二-IR360213、 圆锥的侧面积S二丄I2二r - :rl2其中I是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。(1) 三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。(2) AABC中，/ C=90° , AC=b BC=a AB=C则内切圆的半径r=丈电匹21(3) Saab(= -r(a b c)，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。精选考题考点一：与圆相关概念的应用1. 运用圆与角(圆心角，圆周角)，弦，弦心距，弧之间的关系进行解题例 如图，A、B C是O O上的三点，/ AOC=100，则/ ABC的度数为

11、(A. 30°B. 45°C. 50°2. 利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系【例3】 已知O O的半径为3cm, A为线段OM的中点，当OA满足:(1 )当OA=1cmi时，点 M与O O的位置关系是 (2) 当OA=1.5cm时，点 M与O O的位置关系是 .(3) 当OA=3cm时，点M与O O的位置关系是 【例4】O O的半径为4,圆心 O到直线l的距离为3,则直线l与O O的位置关系是( ).A.相交B .相切C .相离D.无法确定【例5】 两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是3. 正多边形和圆的有关计算【

12、例6】 已知正六边形的周长为72cm,求正六边形的半径，边心距和面积4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例7】 如图，矩形ABCD中，BC=2 DC=4,以AB为直径的半圆 0与DC相切于点 E,则阴影部分的面积为(结果保留-).5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比 是考点二：圆中计算与证明的常见类型1. 利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心2. 利用“直径所对的圆周角是直角”解题【例2】 如图，在O 0的内接 ABC中，CD是AB边上的高，求证：/ ACD2 OCB.3.利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补【例3】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若/ C= 45°, AB= 2 , 则点B到AE的距离为 .4.判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线