必2知识点总结

1、高中数学必修2第一章 立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各

2、顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱台、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面

3、所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长

4、度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。(1) 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 口诀：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。(2) 直观图：斜二测画法(3) 斜二测画法的步骤：a.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；b.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；c.画法要写好。(1) 建立平面直角坐标系在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O；(2) 画出斜坐标系：在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x轴和y轴，两轴相交于点O，且使xOy =45(或135)，它们确定的平面表示水平平面；(3) 画对应图形

5、：在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来的一半；(4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段；(5) 擦去辅助线：图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线；1例如：如图1，用斜二测画法画出水平放置的正六边形的直观图。图1 六边形解：第一步：在六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于O。画出相应的x轴和y轴，两轴交于O，使xOy =45。图2 画出坐标轴第二步：以O为中心，在x轴上取AD=AD，

6、在y轴上取MN=1/2MN。以点N为中心，画BC平行于x轴，并且等于BC。再以M为中心，画EF平行于x轴，且等于EF。图3第三步：连接AB，AF，AD，CD，并擦去辅助线x轴、y轴，便可获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF。图4立体图形利用斜二测画法作几何体直观图的一般步骤如下：（1）画轴：画x.y.z三轴交原点，使xOy=45、xOz=90；（2）画底面：在相应轴上取底面的边，并交于底面各顶点；（3）画侧棱或横截面侧边，使其平行于z轴；（4）成图：连接相应端点，去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线等。画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取。用斜二测画法画图的角

7、度也可是自定，但要求图形有一定的立体感，作水平放置的圆的直观图可借助椭圆模板。(4)用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V= ； S= 特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线） 柱体

8、、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为LAALBL = L AB公理1作用：判断直线是否在平面内.CBA（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使A、B、C。公理2作用：确定一个平面的依据。PL（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且P

9、L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=acabcb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点： a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无

10、关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直

11、线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线

12、线平行。符号表示：a a ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：

13、a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。一、选择题1. 下列四个命题中，真命题的个数为()如

14、果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合两条直线可以确定一个平面若M，M，l，则Ml空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故不正确；两异面直线不能确定一个平面，故不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故不正确；据平面的性质可知正确2. 若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行、异面或相交答案：D解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.3. 以下四个命题中，正确命

15、题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形4. 设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A. 若AC与BD共面，

16、则AD与BC共面B. 若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C. 若ABAC，DBDC，则ADBCD. 若ABAC，DBDC，则ADBC答案：C解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若ABAC，DBDC，AD不一定等于BC；D中，若ABAC，DBDC，可以证明ADBC.5. 正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A. 相交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能答案：A解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的

17、平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交6. 如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()A. EHFGB. 四边形EFGH是矩形C. 是棱柱D. 是棱台答案：D解析：若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，与EHB1C1矛盾，所以FGEH；由EH平面A1ABB1，得到EHEF，可以得到四边形EFGH为矩形，将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台的定义与题中的图形

18、二、填空题7. a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号)答案：解析：由基本性质知正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确8. 2013滨州模拟如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案：a解析：如图，连接AC，

19、易知MN平面ABCD，MNPQ.又MNAC，PQAC.PQACa.9. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_答案：60解析：连接AB1，易知AB1EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GHAB1EF.故AGB(或其补角)即为EF和BC1所成角设ABBCAA1a，连接HB，在三角形GHB中，易知GHHBGBa，故两直线所成的角即为HGB60.三、解答题10. A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC

20、BD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线. (2)解：如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.11. 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线证明：C1平面A1ACC1，且C1平面D

21、BC1，C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点又MAC，M平面A1ACC1.MBD，M平面DBC1，M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线O为A1C与截面DBC1的交点，O平面A1ACC1，O平面DBC1，即O也是两平面的公共点，O直线C1M，即C1，O，M三点共线12. 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GHAD.又BCAD，GHBC，四

22、边形BCHG是平行四边形(2)解：C、D、F、E四点共面，由BEAF，G为FA中点知BEGF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴

23、垂直时, = 90, k 不存在.当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平