二次函数线段与角综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)

1、2019全国各地中考数学压轴大题函数综合六、二次函数线段与角综合问题1. (2019?荆门)已知抛物线y=ax2+bx+c顶点(2, -1),经过点(0, 3),且与直线y = x-1交于A, B两与 八、(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上恰好存在三点 Q M N,满足观QASBlAB= SJa NAB= S, 求S的值；(3)在A, B之间的抛物线弧上是否存在点P满足/ APB= 900 ?若存在，求点 P的横坐标；若不存在，请说明理由.(坐标平面内两点 M (X1, y。，N (X2, y2)之间的距离 MN=J(q 7。(力”？)？)解：(1)二抛物线的顶点为(2, - 1)，顶

2、点式为y= a (x - 2) 2- 1;抛物线经过点 C (0, 3)4a 1 = 3解得：a= 1抛物线的解析式为y = (x-2) 2-1 = x2-4x+3l.y=x-l解得: A (1, 0), B (4, 3)ab=V(4-1 )2+32=3V2设直线y= x - 1与y轴交于点E,则E (0, - 1). OA= OE= 1 / AEO 45SQAB= Smab= Sanab= S 点Q M N到直线AB的距离相等如图，假设点 M N在直线AB上方，点Q在直线AB下方MINI AB时，总有 Smab= Snab= S要使只有一个点 Q在直线AB下方满足Saqaa S,则Q到AB距

3、离必须最大过点Q作QC y轴交AB于点C, QD- AB于点D，/CDQ= 90° , D DCQ= Z AE©= 45°.CDQ1等腰直角三角形DQ=CQ2设 Q (t, t24t+3) (1vt<4),贝U C (t, t 1)耳2+i24t =,CQt大值为生4"值为：s= slQAB= ：B?DQ=g找制万JcS27(3)存在点P满足/ APB 90 . Z APB= 90° , AB= 372A+BP= aB设 P (p, p2-4P+3) (1vp<4)Ap= (pT) 2+ (p2- 4P+3) 2= p4 - 8p3

4、+23p2 - 26p+10,BP = (p-4) 2+ ( p2 - 4p+3 - 3) 2p4- 8p3+17p2CQ= t - 1 - (t 4t +3) = t +5t 4 = ( t-8p+16p4- 8p3+23p2- 26p+10+p4- 8p3+17p2- 8p+16=(迅)2整理得：p4- 8p3+20p2- 17p+4 = 0p2 (p2-8p+16) +4p2- 17p+4=0p2 (p-4) 2+ (4p- 1) (p-4) = 0(p-4) p2 (p- 4) + (4p- 1) =0p<4''' p - 4w 0p2 (p-4) + (

5、4pT) = 0展开得：p3 - 4p2+4p -1=0(p3 - 1) - ( 4P之-4p) = 02(p-1) (p+p+1) - 4p (p-1) = 02(p-1) (p +p+1 - 4p) = 0p>1p - 1 w 0 2pT(舍去) - p +p+1 4p= 0解得：pi =点P横坐标为 k而时,满足/ APB= 90。 22.(2019?咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线y= - x+2与x轴交于点 A与y轴交于点B,抛物线2y= - Lx2+bx+c经过A, B两点且与x轴的负半轴交于点 C.2(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点

6、，当/ABD= 2/BAC寸，求点D的坐标；(3)已知E, F分别是直线 AB和抛物线上的动点，当 B, Q E, F为顶点的四边形是平行四边形时，直A (4, 0), B (0, 2)把A (4, 0), B (0, 2),代入尸士/竹肝嗜，得iurc=21 -yX16+4b+c=0,解得，抛物线得解析式为(2)如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E,过点D作BE得垂线，垂足为 FBE/ x 轴，BAG= Z ABE. / ABD= 2/ BAC / ABD= 2/ABE即/ DBEZ ABE= 2 Z ABE ./ DBE= / ABE ./ DBE= / BAC设D点的坐标为x,X+Z

7、),则 BF= x,DF= 一一工tan / DBE=DFBF,tan / BAC=BOAO解得xi=0 (舍去)，x2=2当 x = 2 时，-x2+-y+2= 3.点D的坐标为(2,3)(3)nH-2当 BM边日OB EF, OB= EF设 E （mi）'F2H"M2）EF= |（*/£）-（，为2玲出2）1=2 解得m= 2,”=2-2迎，吗=2+26当BO为对角线时，OB< EF互相平分过点O作OF/ AB直线O5上式交抛物线于点F (2+2板,-1-JI)和(2-2JL T+盘) L-i求得直线EF解析式为 尸粤江1卜尸除 肝直线EF与AB的交点为E

8、,点E的横坐标为-2d22或2也 T.E点的坐标为(2, 1)或(|2-2近，|14近)或(沁亚，1-2)或(2T&, 3+&)或 (-2+2芯，3Mb3.(2019?连云港)如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线Li： y=x2+bx+c过点C (0, -3),与抛物线L2： y=-1-畀2的一个交点为 A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线Li、L2上的动点.(1)求抛物线Li对应的函数表达式；(2)若以点A C P、Q为顶点的四边形恰为平彳T四边形，求出点P的坐标;(3)设点R为抛物线Li上另一个动点， 且CA平分/ PCR若OQ PR求出点Q的坐标.解：(1)将

9、 x=2 代入 y= - A-x2 :,x+2,得y=- 3,故点A的坐标为(2,将 A (2, - 1), C (0, - 3)代入 y = x2+bx+c,得-3= 2+2b+c-3 =0+0+cb=-2二一3抛物线 Li： y= x2-2x-3;(2)设点P的坐标为(x, x2- 2x-3),第一种情况：AC为平行四边形的一条边, 当点Q在点P右侧时，则点 Q的坐标为(x+2, - 2x- 3),将 Q (x+2, - 2x- 3)代入 y=-二x2-£x+2,得22-2x - 3 = (x+2)22_ 3(x+2) +2,解得，x=0或x= - 1,因为x=0时，点P与C重合

10、，不符合题意，所以舍去, 此时点P的坐标为(-1, 0);2x 2x 3),当点Q在点P左侧时，则点 Q的坐标为(x- 2,，一 .一 2_ 2一将 Q (x 2, x 2x 3)代入 y = x x+2,22x+2,得 2(x 2) +2,x 2x 3 = 一 (x 2)2解得，x= 3,或x =此时点P的坐标为(3, 0)或(-139第二种情况：当 AC为平行四边形的一条对角线时,由AC的中点坐标为（1, - 3）,得PQ的中点坐标为（1, - 3）,故我Q的坐标为（2 - x, - x+2x-3）,将 Q （2 x, - x2+2x- 3）代入 y= - =x2一旦x+2,得22-x2+

11、2x-3工（2-x） 2- （2-x） +2,22解得，x=0或x= - 3,因为x=0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（-3, 12）,综上所述，点P的坐标为（-1, 0）或（3, 0）或空）或（-3, 12）; 网方（3）当点P在y轴左侧时，抛物线 L1不存在点R使得CA平分/ PCR当点P在y轴右侧时，不妨设点 P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为 S、T,过点 P作 PHHL TR于点 H,则有/ PSC= / RTC= 90° ,由 CA平分 / PCR 得 / PCA= / RCA 贝U / PCS= / RC

12、TPSCo RTC一二 )CS CT设点P坐标为(x1, k/-2k-3)，点R坐标为(x2,叼-3),町戈2所以有 一$!=,F J-2 T-(-3-(工？ -2 k-3)整理得，x1+x2=4,在 RtA PRH,tan / PRHk=RH打工厂SY7 2 -2 耳？ -3）二工产工#工过点Q作QKLx轴于点K设点Q坐标为(m国2一11rl_?),2 寓 2nM若 OQ PR 则需/ QOK= / PRH所以 tan / QOK tan / PRH= 2,解得，m痴士返,2所以点Q坐标为( 卫逗，-7+/6S)或7混,-7-辰.224. (2019?盐城)如图所示，二次函数 y=k(x-1

13、) 2+2的图象与一次函数 y= kx - k+2的图象交于 A B两点，点B在点A的右侧，直线 AB分别与x、y轴交于C D两点，其中k<0.(1)求A、B两点的横坐标；(2)若 OA祀以OA为腰的等腰三角形，求 k的值；(3)二次函数图象的对称轴与 x轴交于点E,是否存在实数 k,使得/ ODCf 2/BEC若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.解：(1)将二次函数与一次函数联立得：k (x - 1) 2+2= kx - k+2,解得：x= 1或2,故点A B的坐标分别为(1, 2)、(2, k+2);(2) OA= Jz2 + l当OA= AB时，即：1+k2=5,解得：k=

14、± 2 (舍去 2);当OA= OB寸，4+ (k+2) 2=5,解得：k= - 1 或-3;故k的值为：-1或-2或-3;(3)存在，理由:当点B在x轴上方时,过点B作BHL AE于点H,将 AHB勺图形放大见右侧图形，过点A作/ HAB勺角平分线交 BH于点M 过点 M作MNL AB于点N,过点B作BK1 x轴于点K,图中：点 A (1, 2)、点 B (2, k+2),则 AHH= - k, HB= 1,设：HM= m MN 则 BM= 1 - m则 AN= AHh - k, AB=，NB= AB- AN由勾股定理得：mB= ng+mN,即：(1 m) 2=m2+ (Jj+1+

15、k)2，解得：rni= - k2-可述+1,在 AHMt3, tan a = lj = k+J11=tan / BEC=:区=k+2,AH -k +1EK解得：k= ±6(舍去正值)，故 k= - Vs；当点B在x轴下方时，同理可得：tan a =旦1=_= k+li, 2_l-| = tan / BEC= = ( k+2),AH -k 寸EK解得：k= -4丁 或一4；历(舍去)； JJ故k的值为：-般或土豆.5. (2019?宿迁)如图，抛物线y= x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点 A坐标为(1, 0),与y轴交于点C(0, -3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图

16、，连接 AC点P在抛物线上，且满足/ PAB= 2/ACO求点P的坐标；(3)如图，点 Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与 x轴的交点，直线 AQ BQ分别交抛物线的对称轴于点 M N.请问DMDN否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.2解：(1) ;抛物线 y = x+bx+c 经过点 A (1, 0), C (0, -3)解得：(M2 0+0rirc=-3抛物线的函数表达式为 y=x2+2x- 3(2)若点P在x轴下方，如图1,延长AP到H,使Ahh AB过点B作BI，x轴，连接BH彳BH中点G,连接并延长 AG交BI于点F,过点H作HIXBI于点I丁当

17、x2+2x - 3 = 0,解得：xi= - 3, x2= 1B ( - 3, 0). A (1, 0), C (0, - 3)PC V10OA= 1, OC= 3, AC=4N73=/T3, AB= 4RtAAOO, sin / ACO=。卜 N , cos/ACO=AC 10AC 10. AB= AH G为 BH中点. AGL BH BG= GH/ BAG= / HAG 即 / PAB= 2 / BAG. / PAB= 2/ACO.Z BAG= / ACORtAABG, Z AGB= 90 , sin Z BAG=BG AB 10BG-AB=105BH= 2BG= 1 ： 15/ HBI+

18、Z ABG= / ABG/ BAG= 90°HI bh=it ./ HBI=Z BAG= / ACOHI =B+=，BI = 3V10bH=LO10BHI 中，/ BIH= 90 , sin/HBI =10xh= - 3+= - -iA.yH=一125，即 H （一11 .12, 设直线AH解析式为y= kx+ate+a=01112一Tki了解得:k=43上7直线AHy=3X_x解得:（即点A),g39 v2=-77 士 16P<3916若点P在x轴上方，如图2,在AP上截取AH = AH则H与H关于x轴对称115125设直线AH解析式为y = k'x+a'二0

19、-k +a 125解得:直线 AH : y=3x+3x+4 433b y= x2+2x-3解得:（即点A),15功二-r57L 4 15P (-1545716综上所述，点p的坐标为(-旦,-1旦)或(-“). 416416(3) DM+DN为定值.抛物线y=x2+2x - 3的对称轴为：直线 x= - 1D ( - 1 , 0) , Xm= Xn= - 1设 Q (t , t2+2t - 3) ( - 3v tv 1)设直线ACB析式为y= dx+ed+e=O/口(H=t43.一解得：口同= t*+2t-3I, e=-t-3，直线 AQ y= (t+3) x- t - 3当 x=- 1 时，y

20、M= -t3 t 3= 2t6，DM= 0- ( - 2t - 6) =2t +6设直线BQM析式为y= m*n-Siri+ri=O一口解得：严、mt+n= 一+2t-3ln=3t-3. .直线 BQ y= (t - 1) x+3t - 3当 x = - 1 时，yN= t +1+3t 3 = 2t 2DN= 0- ( 2t 2) = - 2t +2.DM+DN= 2t+6+ (- 2t+2) = 8,为定值.6.(2019?泰安)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点 A (3, 0)、B (0, - 2),且过点C(2, -2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛

21、物线上第一象限内的点，且Sa pba= 4,求点P的坐标;(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点 M使/ ABO= / ABM若存在，求出点 M到y轴的距离；若不存在，请说明理由.解：(1)二.二次函数的图象经过点 A (3, 0)、B (0, -2)、C (2,2)CH-0H-c=-214a-h2b+e=-2解得:，二次函数表达式为(2)如图1,设直线BP交x轴于点C,过点P作PDL x轴于点D设 P (t , At2-J_t - 2) (t >3)21 .OD= t , PD= t2设直线BP解析式为y=kx-2 把点P代入得：kt-2=Zt3直线BP当y = 0时,(t - ) x

22、-2=0,解得:333t-2t-20)2 t >33<3,即点C一定在点A左侧 t-2AC= 3 - 3t-2 " t-2SaPBA SaAB(+S ACP-邑AC?OB-AC?PD= Lac (OE+PD =4 222失券心管冶t.2）解得：ti=4, t2= - 1 (舍去). 2t2-2=四拒/工3333 l 3.点P的坐标为（4,也）3（3）在抛物线上（AB下方）存在点 M 使/ ABO= /ABM如图2,作点O关于直线AB的对称点E,连接OE交AB于点G连接BE交抛物线于点 M过点E作EEy轴于点FAB垂直平分OE. BE= OB OG= GE ./ ABO=

23、/ ABM,. A (3, 0)、B (0, 2), Z AOB= 90OA= 3, OB= 2, A-OB'岳 .sin /OAB=P_的'I? , cos/OAB=0_W AB 13AB 13Saaob= OA?OB= AB?OG 22O 13. OE= 2OG= l：13 / OABZ AO& / AOG/ BOG= 90° ./ OAB= / BOGRt。皿，s0G票二誓0s/BO喂二变设直线BE解析式为y=ex- 2把点E代入得：2£e-2=-上殳，解得：e= - _131312. .直线 BE y=-Lx-212当一/-x2=Zx2-x

24、2,解得：xi= 0 （舍去），X2=1k123387. (2019?德州)如图，抛物线y= m)2-mx- 4与x轴交于A (xi, 0), B O, 0)两点，与y轴交于点C,目.x2 x 1 =.2(1)求抛物线的解析式；(2)若P (xi, yi), Q (x2, vD是抛物线上的两点，当a<xi<a+2, x2月时，均有yi<y2,求a的取值范围；(3)抛物线上一点 D (1, -5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上，当/ BDC= / MCE寸,求点M的坐标.k I C K14及1 1I解：(1)函数的对称轴为：x= = ,而且 x2- x1= ,2a

25、 422将上述两式联立并解得： x1= - , x2= 4,2则函数的表达式为：y = m （x+旦）（x-4） =m （x2 - 4x+x-6）,2国即：一6mp 4,解彳导:m=,3故抛物线的表达式为：y = x2 - -x - 4 ；3 回（2）由（1）知，函数的对称轴为：x =,4则x =L和x= - 2关于对称轴对称，故其函数值相等,均有又 awxy a+2, x22yi”,（3）如图，连接 BC CM过点D作DG_O盯点G,而点 B C、D的坐标分别为：（4, 0）、（0, -4）、（1, - 5）,则 OB= OC= 4, CG= GC= 1, BC= 4® CD=J,

26、故4 BOC CDGJ为等腰直角三角形, ./BCD= 180 /OCB / GCD= 90 ,在 RtA BCD43, tan Z BDC=-=4 CD V2/ BDC= / MCE则 tan / MCE 4,将点B D坐标代入一次函数表达式：y=mx'n并解得:直线BD的表达式为:y=_|x-学，故点E （0,一 学）,设点M (n,onn-年），过点M作MmCE于点F,则 MF= n,CF= OF- OC=-5ntan / MCE儿L=4,CF E _5-3 F解得：n = $L,23故点M (圣，-线1).8.(2019?遂宁)如图，顶点为P (3, 3)的二次函数图象与 x轴

27、交于点A (6, 0),点B在该图象上，O皎其对称轴l于点M,点M N关于点P对称，连接 BN ON(1)求该二次函数的关系式.(2)若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP当O4 _LmM寸，请判断 NOB勺形状，并求出此时点 B的坐标.|2求证：/ BNM： / ONM解：(1)二.二次函数顶点为 P (3, 3)，设顶点式y= a (x-3) 2+3二次函数图象过点 A (6,0)( 6 - 3) 2g+3= 0,解得:a=一二次函数的关系式为 y=(x-3) 2+3= x2+2x 33(2)设 B (b,|-b2+2b) (b>3)直线OB解析式为：y=

28、 (- yb+2) xO皎对称轴l于点M当 xM= 3 时，yM=(一b+2) x 3= - b+6点M N关于点P对称 .NR= MP= 3- ( b+6) = b-3,yN= 3+b- 3= b,即 N (3, b)OP= _Lmn2 .OP= MP+ " 3解得：b= 3+3/2- Lb2+2b= - -x ( 3+3/j) 2+2X ( 3+3/2)= - 3 .B (3+3- 3), N (3, 3+3«) .OB= (3+3、回 2+( 3) 2=36+18/2, ON= 32+ (3+3/2)2= 36+18, BN= ( 3+汹3) 2+(-3 3-3/2)

29、 2= 72+36/2. OB= ON oB+oN= bN . NOB1等腰直角三角形，此时点B坐标为(3+3/2, - 3).证明：如图，设直线 BN与x轴交于点D B (b,?b2+2b)、N(3, b)设直线BN解析式为y= kx+dbx+2 b=0,解得:x= 6当y = 0时,D (6, 0)C (3, 0), Ndx 轴NC直平分ODND= NO ./ BNIM= / ONM的坐标为(4, mj .9. (2019?资阳)如图，抛物线 y= - Lx2+bx+c过点A (3, 2),且与直线y=-x+L交于B、C两点，点B22将 A (3, 2), B (4一二)代入 y = -x

30、2+bx+c,(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于直线 BC上方的一点，过点 D作DEx轴交直线BC于点E,点P为对称轴上一 动点，当线段 DE的长度最大时，求 PDPA的最小值；(3)设点M为抛物线的顶点， 在y轴上是否存在点 Q使/ AQIW45° ?若存在，求点 Q的坐标；若不 存在，请说明理由.解：(1)将点B的坐标为(4, mm代入y= - x+y,.B的坐标为(4,-二),f 12r 乂 3 +3b+52解得b= 1, c=，抛物线的解析式y=DE=设d (m一(m+)= 2_ 2 严，贝U E一L (mr 2) 2+2, 2当m 2时，DE有最大值为2,此时

31、D （2,工），2作点A关于对称轴的对称点 A ,连接A D,与对称轴交于点 P.PDfPA= PDfPA = A'D,此时 PDPAM小,-A (3, 2),A' (-1, 2),A D= J5)2十'宗后(3)作 AHL y 轴于点 H,连接 AM AQ MQ HA HQ，M (1, 4),A (3, 2),AH= MH= 2, H (1, 2) Z AQM 45 ,/AHM= 90 , ./ AQMtiZ AHM2可知 AQM7卜接圆的圆心为 H,. QH= HA= HM= 2设 Q(0, t),则收0-1居g) 2= 2，t = 2+2 -1y/3符合题意的点 Q的坐标：Q (0, 2-J&)、Q (0, 2+VS).10. (2019?济南)如图1,抛物线C： y=ax2+bx经过点A(-4, 0)、B(-1, 3)两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180。，得到新的抛物线 C'.(1)求抛物线C的函数解析式及顶点 G的坐标；(2)如图2,直线l： y=kx "