数列求和同步练习题含答案解析

1、数列求和基础题1 .数列1+2n1的前n项和Sn =.2 .若数列an的通项公式是 an= (- 1)n(3n 2),则 a1 + a2+a10=.3 .数列11, 31, 51, 7上,白前n项和& =.24816 14 .已知数列an的通项公式是an=7F若刖n项和为10,则项数n=>/n + n+ 1.5 .数列an, bn都是等差数列，a1=5, b1=7,且 a2o+ b20= 60.则an+bn的 前20项的和为.6 .等比数列an的前n项和Sn = 2n 1, 则 a2+ a2 + + a2 =.7 .已知等比数列an中，a = 3,a4 = 81,若数列bn满足b

2、n= log3an,则数列jbnbnj 的前n项和Sn=.二、解答题(每小题15分，共45分)8 .已知an为等差数列，且a3= -6, a6 = 0.求an的通项公式；若等比数列bn满足b1 = 8, b2=a + a2 + a3,求bn的前n项和公式.9 .设an是公比为正数的等比数列，a = 2, a3=a2 + 4.求an的通项公式；(2)设bn是首项为1,公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和&.10 .已知首项不为零的数列an的前n项和为8,若对任意的r, tCN ,都有&_ r2ST t .判断an是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若ai = 1, b

3、i = 1,数列bn的第n项是数列an的第bni项(n>2),求bn；(3)求和 Tn = aibi+a2b2+3+ anbn.能力题1 .已知an是首项为i的等比数列，&是an的前n项和，且9S3= S6,则数列 的前5项和为. i ii , 一2 .若数列an为等比数列，且ai=i, q = 2,则Tn=f+=+的结aia2 a2a3anan+i果可化为. . i i3 .数列i,的前n项和&=. i 2 i 2 3i4 .在等比数列an中，ai = 2, a4= -4,则公比 q =; |ai|+|明+ |an| =.5,已知Sn是等差数列an的前n项和，且Si =

4、 35+S6,则Si7的值为.6 .等差数列an的公差不为零，a4=7, ai, a2, a5成等比数列，数列Tn满足条件 Tn= a2+a4+a8+ a2n,则 Tn=.7 .设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且ai=bi = 1, a3+b5= 21, a5+b3=13.求an, bn的通项公式；求数列Ian泊勺前n项和Sn.8 .在各项均为正数的等比数列an中，已知a2=2ai+3,且3a2, a4,5a3成等差 数列.求数列an的通项公式；设bn=log3an,求数列anbn的前n项和Sn.提高题1.(北京卷)设 f (n) =2+24 +27+210+|什23n*(nw

5、 N),则 f(n)等于()2.2 n2 n 1A. (81) B. (81)77等差数列an中，ai=1, a3+a5=14,C.2(8n3-1)7其前n项和S=100，则D.2(8n 4 -1) 73.4.5.a1A. 9B.（福建）A. 1（全国3A.1010 C. 11 D. 12数列an的前n项和为Sn ,若ann(n 1)S5等于（IIB.（天津卷）A. 55 B .S是等差数列已知数列an、an的前C.130n项和,若S3 -右冷=3'S6则KT,S12D.bn都是公差为的等差数列，其首项分别为a1 、 b1 ,且*a1，b1 = N .设 g =a, ( n = N）,

6、则数列Cn的前10项和等于（）70C. 85D. 1009 .（江苏卷）对正整数n,设曲线y=xn（1x）在x = 2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列-a 的前n项和的公式是 n 110 （07高考天津理21）在数列an中，a1=2, an41 = Kan+ （2九）2n （n N*），其中九A 0 .（I）求数列an的通项公式；(n)求数列Qn的前n项和Sn ；8、(06湖北卷理17)已知二次函数y = f (x)的图像经过坐标原点，其导函数为f (x)=6x2,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nw N,均在函数y= f(x)的图像 上。(I)求数列&的通项公式；1

7、m(n)设bn =, Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn 对所有nW N”都成立的anan 120最小正整数m；1119、求数列的刖 n 项和：1 十 1, 一 十4, 2+7, ,n；j +3n 2 , a aan基础题1 .解析Sn=n+=n +2ni.i-2答案n +2n 12 .解析 设bn=3n 2,则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以 ai+ a2+ + a9+ ai0 = ( bi) + b2+ + ( b9)+ bi0 = (b2 bi) + (b4 b3)+ + (bi0b9)= 5X3=15.n( i + 2n i)答案 i5i .3 .解析由题息知已知数列的

8、通项为an=2ni+2n,则Sn =i2ni i-2= ni 2+ i 双4.解析，an =S20 =20(ai + bi+a20+b20)20X(5+7 + 60)= 720.答案 720i) = 2n-6 .解析当 n=i 时，ai = Si= i,当 n>2 时，an=Sn Sn i = 2 i (2 又.ai=i 适合上式.总门二？”-1,an = 4n-1.数歹42是以a2=1为首项，以4为公比的等比数列.2221 (1 4") 1 n. a2+ a2+ + a：=-=式4n 1).1-43答案 3（4n1）7 .解析 设等比数列an的公比为q,则当=q3 = 27,

9、解得q=3.所以an = aqn1 a1= 3X3n1 = 3，故 bn= log3an= n,所以=bnbn+1111n(n+ 1)n n+ 1bnbn+ 11 1 11的刖 n项和为 1 2+2 3+n=n+ 11 n1-=n+1 n+1答案nn+ 18 .解（1）设等差数列an的公差为d. 因为 a3= 6, a6=0,所以,a1 + 2d= - 6a + 5d= 0.解得 a1 = 10, d = 2.所以 an= 10+ (n-1) 2=2n12.设等比数列bn的公比为q.因为 b2= a1 + a2+a3= 24, b1 = 一 8,所以8q= 24,即 q = 3.所以bn的前n

10、项和公式为Sn= b1匚;）=4（1 3n）.9 .解（1）设q为等比数列an的公比，则由a = 2, a3 = a2+4得2q2 = 2q+4,即 q2q2=0,解得 q=2 或 q= 1（舍去），因此 q = 2.所以an的通项为 an =2 2n 1=2n（neN ）(2)Sn = 2，12)+ n x 1 + nfn"1 )x 2= 2n 1 + n2 2. 1 2210 .解（1）an是等差数歹I.证明如下:因为 ai=&w0,令 t=1, r = n,则由=£,得号=n2,即 Sn=ain2, SttSi所以当n2时，an= Sn Sn1= (2n1)a

11、i,且n=1时此式也成立，所以an+i *.an= 2a1(n C N ),即an是以a1为首项，2a1为公差的等差数列.当 a1 = 1 时，由(1)知 an=a1(2n1) = 2n1,依题意，当 n2 时，bn = abn1 = 2bn1 1,所以 bn 1 = 2(bn 1 1),又 b11 = 2, 所以bn1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以bn 1= 2 2n-1,即 bn = 2n+1.因为 anbn=(2n1)(2n+1)=(2n1) 2n+(2n1)Tn=1 2+3 22+ (2n-1) 2n + 1+3+-+(2n-1),即 Tn=1 2+3 22+ 十 (2n-1)

12、 2n+n；2Tn=1 22+3 23+ - + (2n-1)2n+1 + 2n2,，得 Tn=(2n3) 2n+1+n2 + 6.能力题1.解析八,3,69( 1 q ) 1 q设数列an的公比为q.由题意可知qw1,且 =,解得q=an1 q 1 q3.解析由于数列的通项an=一=2 %1+2+3+ +n n(n+ 1) I1111111. Sn=21-2+2-3+3-4+"+?|-71 归2nn+ 12nn+ 11 A on4.解析言32 )=q = 8, .q= - 2. '|ai| +|a2|+, + |an|=21-21答案2 2n 1-L L/口11X106X5

13、 口 H5 .解析 因 Sh = 35+S6,得 11ai+一d= 35+6a1+ 六一d,即 ai + 8d=7,17X 16所以 Si7= 17ai + 一2d= 17(ai + 8d) = 17x 7= 119.答案 1196 .解析 设an的公差为dw。，由ai, a2, a5成等比数列，得a2=aias,即(7 2d)2 = (7-3d)(7+d)所以d = 2或d=0（舍去）.所以 an=7+(n-4)x2 = 2n-1.又 a2n=2 2n-1=2n+1-1,故 Tn= (22-1)+ (23- 1) + (24-1)+ + (2n+1- 1)=(22 + 23+ + 2n+1)

14、-n= 2n+2-n-4.答案 2n+2n47 .解设an的公差为d, bn的公比为q,则依题意有q>0且1+2d+q4 = 21,-2，一J+4d+q =13,解得'd=2,、q=2.所以 an= 1 + (n1)d = 2n1, bn = qn 1 = 2n 1an 2n 1耳:"2= 'Sn=1 +2n-3 2n-1 ”+ 2n 2 + 2n 1c c 5 2n-3 2n-12Sn=2+3 + 2+ -n-3- +-.一 一2 22 2n1，得£=2+2+2+艺+ + 2n-2 - 212+2X '1+2 +1 2n-1+ 2n 2 2n

15、 11 - 2n-1 = 2+2X-1-11 22n- 12n+ 32n-1 6一2口 i .8.解 （1）设an公比为qa2= 2a1 + 3,八，L C即13a2 + 5a3 = 2a4,即-2尸3, 2q2 5q3=0.解得,a1 = 3, 或6 a1= 5,、q= 3（舍去）.q= 2所以数列an的通项公式为an3 3n 1 = 3n, n N*.由可得bn = log3an=n,所以 anbn=n 3n.所以 Sn= 1 3+ 2 32 + 3 33+-+ n 3n.所以 3Sn=1 32+2 33+3 34+ - + n 3n+1两式相减，得 2Sn=- 3-(32+33+ - +

16、 3n)+n 3n1(3+ 3 + 3 + + 3)+n33 13nn+11-3 +n33+（2n-1）3n1=2.所以数列anbn的前n项和为Sn=3+（2n41）3 提高题1、D2、B3、B4、AS33a13d 1 =-1=-,可得 a1 = 2d解析：由等差数列的求和公式可得S6 6a1 +15d3且d = 0所以9=里上里=冽=，故选aS1212a166d90d105、C解：数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且&+b1=5,*a1,b1 = N .设cn =abn （ n=N ）,则数列cn的刖10项和等于ab1 +ab2川+a=1ab1+aq书+

17、山+ab1ma4=a +（b一1） =4 ,，4+为书十a3d=4+5+6+川+13 = 85,选 C 6、解：yr = nxn -(n +1)xn,曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2 n切点为(2,-2 n),所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令 x=0 得 a n=(n+1)2 n,令 bn=-a- =2n.数 n 1ann 1的前n项和为2+22+23+=2n+1-27、（l）解：由 an噌 =，出口 + 九n*+（2九）2n （nW N *），九 >0,r.nn所以a- 5为等差数列，其公差为1,首项为0,故且-心 =n-1,

18、所以数列a 俨 VU jk 九J的通项公式为an =（n1）儿n+2n.(n)解：设 Tn =九2+2入3+3九4+| + (n2)九n+(n1)九n ,ZTn =九3+2 儿4 +3 九 5 +| + (n2)九 n +(n1)九n* 当九#1时，式减去式，2, n 1得(I _£)Tn =十九3 +| + )J (n _1)九 n+=儿儿_(n1)九 n本,1 -'2 n 1n -1n 2n /2(n -1) (n -1)'-n-Tn =2 -=2-(1- )21- (1- )2n 2n 12这时数列an的前n项和Sn ="一一=+2n+-2 .(1-

19、)2n(n -1)n(n-1) -n.1c当九=1时，=.这时数列an的前n项和Sn =+2-2 .228、解：(I)设这二次函数f(x) =ax2+bx (a w 0),则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b= 2,所以 f(x) = 3x2 2x.又因为点(n,Sn)(nWN*)均在函数y = f (x)的图像上，所以 Sn=3n22n.当 n>2 时，an=SnSn 1= (3n22n) 3 n 1)2 2(n 1)1=6n5.当 n = 1 时，a1=S1 = 3Xl22 = 6X15,所以，an=6n5 ( n= N*)33111(n)由(I)得知 bn=钟=(),anan1(6n -5) 6