向量及相关性东华大学

1、定义定义1 1 . , 21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个分分量量，个个数数称称为为该该向向量量的的维维向向量量，这这组组称称为为所所组组成成的的数数个个有有次次序序的的数数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为复向量分量全为复数的向量称为复向量. .分量全为实数的向量称为实向量，分量全为实数的向量称为实向量，n例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为行向量，也就是行维向量写成一行，称为行向量，也就

2、是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,bann注意注意行向量和列向量总被看作是两个不同的行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；向量；行向量和列向量都按照矩阵的运算法则行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；进行运算；向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代

3、数形象：向量的坐标表示式坐标表示式),(21nTaaaa 空间空间)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间：点的集合点空间：点的集合向量空间：向量的集合向量空间：向量的集合代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一对应一一对应 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没

4、有直观的几何形象n3 n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rnn1 n 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn2121222211

5、1211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量个个nmnmm , 21 矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabx

6、axaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为这这，mkkk，称称为为向向量量组组的的一一个个向向量量 2211mmkkk 线性组合线性组合mmb 2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmbA ,: 2121. 2211有有解解即即线线性性方方程程组组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向

7、量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩阵阵，条条件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量组组向向量量bBAAbmm 定理定理1 1定义定义 . .,:,: 2121这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组与向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA ),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkk

8、kkkkk21222211121121), （ . )(数数矩矩阵阵称称为为这这一一线线性性表表示示的的系系矩矩阵阵ijsmkK 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn ., 2. 线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必

9、要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0， 1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,

10、21不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕. 性性独独立立）线线个个方方程程）线线性性无无关关（或或程程，就就称称该该方方程程组组（各各方方；当当方方程程组组中中没没有有多多余余个个方方程程）是是线线性性相相关关的的各各余余的的，这这时时称称方方程程组组（合合时时，这这个个方方程程就就是是多多是是其其余余方方程程的的线线性性组组若若方方程程组组中中有有某某个个方方程程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其其中中有有非非零零解

11、解即即方方程程组组线线性性相相关关就就是是齐齐次次线线性性向向量量组组结论结论.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶单位矩阵阶单位矩

12、阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成neeeEnn .)(01 nERE ，知知由由.2)(向向量量组组是是线线性性无无关关的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量组组中中向向量量个个数数即即ER例例， 742520111321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 解解.2, 21321321即即可可得得出出结结论论）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同时时看看出出矩矩阵阵（成成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵），施施行行初初等等行行变变换换变变，对对矩矩阵阵（ 已已知知例例分析分析. , , 321133322211321线线性

13、性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证. ,. ,: , (1) 1121也也线线性性无无关关向向量量组组则则线线性性无无关关量量组组若若向向反反言言之之也也线线性性相相关关向向量量组组则则线线性性相相关关：向向量量组组若若ABBAmmm 定理定理3 3）设设（2 ), 2 , 1(, 12121m

14、jaaaabaaajrrjjjjrjjjj .2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 1 111线线性性相相关关知知向向量量组组根根据据定定理理因因此此，从从而而，有有则则根根据据定定理理线线性性相相关关若若向向量量组组，有有记记）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm 证明证明.:1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必特别地，特别地，量组线性相关量组线性相关相关的部分组，则该向相关的部分组，则该向一个向量组若有线性一个向量组若有线性）可推

15、广为）可推广为结论（结论（说明说明列列），只只有有因因但但从从而而有有，则则线线性性无无关关若若向向量量组组有有，）记记（mBmBRmBRmARABRARbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),(2 1)1(1 .B)(线性无关线性无关，因此向量组，因此向量组故故mBR .,12 结结论论也也成成立立个个分分量量维维）而而言言的的，若若增增加加多多即即维维数数增增加加）是是对对增增加加一一个个分分量量（结结论论（说明说明. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线