导数的不等式恒成立问题

1、导数的应用【考查重点与常见题型】题型一运用导数证明不等式问题例1设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1. (1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)

2、证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上是增加的于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1. 已知f(x)xln x. (1)求g(x)(kR)的单调区间； (2)证明：当x1时，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)ln x，令g(x)0得xk.x0，当k0时，g(x)0.函数g(x)的增区间为(0，)，无减区间；当k0时g(x

3、)0得xk；g(x)0得0x0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是增加的(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是增加的，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是减少的，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上是减少的；当ax0，f(x)在(a，e)上是增加的，f(x)minf(a)ln(a)1

4、，a.综上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减少的h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减少的g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立 已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_答案4，)解析当x(0,1时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取

5、值范围是4，)导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011辽宁)设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2. (1)解f(x)12ax.1分由已知条件得即解得4分(2)证明因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.8分当0x0，当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.12分一、选择题(每小题5分，共20分)1 已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根4a243(a6)0，即a23a180.a6或a2 Bm2Cm0，f(x)，令g(x