小升初奥数专题练习之数论专题详解

1、专题测试-数论时间：1小时分数：70分1、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成 _组。解答：；根据质因数分解可以看到：一共有2、3、5、7、11、13六个，而每个数都有2个质因数，所以可能可以分为2组，每组3个数，必须总共都包含这6个质因数。然后我们做尝试，发现放14的组里肯定不能放20和175，那么还有33、117和143这三个数，但我们发现这三个数两两都有公因数，所以至少要分三组。而分三组的话很容易可以得到（14，33）（20，117）（143，175）这

2、样三组就是一种分法。评论：难度：互质及质因数分解（6分）2、（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135那么甲最小是_。解答：，可以发现（丙）是一个完全平方数（甲甲），而且应该是偶数（乙+乙），所以（丙）应该最少为，所以甲最小是评论：难度完全平方数、奇偶性（5分）3、（清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_.解答：；，那么232和377的公约数有：1和29，显然1不可能，所以答案是29，代入检验可知29是正确答案。评论：难度余数问题（6分

3、）4、（101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是。解答：设这个两位数为，那么添了一个0后变为：，化简，添上0后变为原来的9倍也就是说：，即：，移项得：所以，又因为x、y都是一位数，所以x=4，y=5。评论：难度：用字母表示数（7分）5、（重点中学3月9日下午测试卷）五位数是某个自然数的平方，则4x+7y=_解答：五位数，万位是2，因为，所以这个自然数肯定是100多，而且末位是1，那么这个自然数的末位就只能是1或者9，那么就可以设这个数是或者，然后将a从0到9依次代入检验即可，最后可以得到只有1612=25921，所以x=5，y=

4、2，那么4x+7y=34评论：难度完全平方数的末位、简单的估算（9分）6、（重点中学3月9日下午测试卷）p、q为质数，m、n为正整数，p=m+n,q=mn,则_解答：因为q=mn，而q又是质数，所以m、n里肯定有一个是1，不妨把m看作1，那么q=n，n也是质数，而p=m+n，也就是p=1+n，两个相邻的自然数都是质数，只有2和3这一组，所以p=3，q=n=2，m=1， 评论：难度质数与合数的特点（6分）7、（北京市学校五年级2005学年度超常儿童素质调查思维素质调查初试（第1卷）调查类型：B）÷（ ）;×=（ ）;=（ ）;=（ ）将l9填入到上面的9个方框中，每个数字用1

5、次，那么4个算式的计算结果之和最大是多少？解答：9个格子中只有除数和减数这两格应该是越小越好的，所以填上1和2，而且除数如果填2的话，那么被除数立刻就比填1的时候少了一半，所以除数填1，减数填2。接着看被减数，两个加数以及被除数的个位这4个格子起的作用都是等于其数值本身，所以不用填很大的数，把较小的3、4、5、6填上，而对和影响最大的是被除数的十位部分，它相当于数字值的10倍，所以填9，那么就可以填出下面结果来：；结果之和为：评论：难度最值问题（8分）8、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它

6、们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是_。解答：要让和最小，那么应该擦去的数尽量大，最大的就是2008和2006这两个，擦去后添上2007，两个2007又能擦去一个，这样就变成了12007，一直进行，不难发现最后剩下一个2。所以有：最小的：(2008,2006)（2007，2007）（2007，2005）（2006，2004）（2005，2003）（2004，2002）（6，4）（5，3）（4，2）（3，1）2最大的：(1,3)（2，2）（2，4）（3，5）（4，6）（5，7）（2003，2005）（2004，2006）（2005，2007）（2006，200

7、8）2007这个数的最大值和最小值的差是200722005评议：难度数学游戏题（7分）9、（08实验中学）在黑板上写下数1、2、32004、2005，每次擦去最小的4个数，再写上这4个数的和被7除的余数，直到不足4个数为止，那么最后剩下的数是_解答：第一次擦去的是1到4，写下3，第二次擦去新写的3，和余下的5、6、7，写下0，由于以后每次写下的余数肯定比7小，也就是擦去最小的3个加上前次写的那个，就这样擦的话第三次擦8、9、10，然后11、12、13最后擦去了2003、2004、2005，虽然每次擦去了几个数，但是写下了这些数的和的余数，所以黑板上所有数的和除以7的余数没有变化。1+2+3+2

8、005=2011015，这个数除以7余6，所以最后剩下了6。评议：难度余数问题（8分）10、（重点中学3月9日下午测试卷）有依次排列的三个数：3，9，8。对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作。做第二次操作后也可以产生一个新的数串：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8。继续依次操作下去，问从数串3，9，8开始操作第一百零一次之后所产生的那个数串的所有数之和是多少？解答：经过简单的计算不难得到：没有操作前的和：201次操作后的和：252次操作后的和：303次操作后的和：35每次都是增加5，所以101次之后应该是20+101X5=525