导学案023正弦定理和余弦定理

1、正弦定理、余弦定理考纲要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.考情分析：1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学过程：基础梳理一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容 变形形式a ，b ，c ；sinA ，sinB ，sinC ；(其中R是ABC外接圆半径) abcasinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA.cosA ；cosB ；cosC .解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

2、.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.二、三角形常用面积公式 1.Sa·ha(ha表示边a上的高)；2.Sabsin C ；3.Sr(abc)(r为内切圆半径双基自测1(教材习题改编)在ABC中，A60°，a4，b4，则B () A45°或135°B135° C45° D60°2在ABC中，a，b1，c2，则A等于 () A30° B45° C60° D75°3在ABC中，若a18，b24，A45°，则此三角形有 ()A无解 B两解C一解 D解的个数

3、不确定4(2011·北京高考)在ABC中，若b5，B，sin A，则a_.5(2011·新课标全国卷)ABC中，B120°，AC7，AB5，则ABC的面积为_关键点点拨：在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形  关系式absin Absin Aabababab解的个数一解两解一解一解无解典例分析考点一：利用正弦、余弦定理解三角形例1(2011·辽宁高考)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.变式11.本例条件不变，求

4、角A.变式2(2012·长沙模拟)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知A，a，b1，则c等于 () A1B2 C.1 D.(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个 定理更方便、简捷(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的； 已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.考点二：利用正余弦定理判断三角形的形状 例2(2010·辽宁高考)在ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1

5、)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状变式3ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若，则ABC一定是 () A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏

6、解.考点三：与三角形面积有关的问题例3(2011·山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面积S.1利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化；2除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 Sp·r(p是周长的一半，即p ，r为内切圆半径)； S(R为外接圆半径)考题范例能(2011·浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B(pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围解：(1)

7、由题设并利用正弦定理，得 解得或(2)由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B， 即p2cos B，因为0cos B1，得p2.由题设知p0，所以p.(12)一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边

8、，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换本节检测1在ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a，b(>0)，A45°，则满足此条件的三角形个数是()A0 B1 C2 D无数个3已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为()A2 B8 C. D.4在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C120°，ca，则()Aa>b Ba<bCab Da与b的大小关系不能确定5ABC中，AB，AC1，B30°，则ABC的