线性代数 清华版2.5

1、2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵引例引例: 求解线性方程组求解线性方程组)1( 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 343363550222424324324324321xxxxxxxxxxxxx 9796323222424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解:)(1B)1()(2B 2 2 3 343363550424324324324321xxxxxxxxxxxxx 2)(3B 362042444324321xxxxxxxxx+53)(4B 2 00304244324321xxx

2、xxxxx)(5B 33443231xxxxx用用“回代回代”的方法求出解的方法求出解. 于是得解于是得解:其中其中x3可以任意取值可以任意取值. 或令或令x3=c, 方程组的解可记作方程组的解可记作:,3344321 cccxxxxx 30340111cx(2)其中其中c为任意常数为任意常数.或或 1.上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2. 始终把方程组看作一个始终把方程组看作一个整体整体变形变形, 用到如下三用到如下三种变换种变换:归纳以上过程归纳以上过程:(3) 一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍倍:(2) 以不等于以不等于0的数的数 k 乘

3、某个方程乘某个方程:(1) 交换方程次序交换方程次序: i 与与 j 相互替换相互替换;以以 i k替换替换 i ;以以 i +k j 替换替换 i .由于三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的与变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是故这三种变换是同解变同解变换换.ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji3. 上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的.因为在上述变换过程中因为在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性未知量

4、并未参与本质性运算运算, 仅仅只对方程组的仅仅只对方程组的系数系数和和常数常数进行运算进行运算, 只因某只因某未知量前的系数化为未知量前的系数化为0, 而而不显含该未知量不显含该未知量.若记若记 97963422644121121112)|(bAB 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程方程组组(1)的的增广矩阵增广矩阵)的变换的变换. 97963422644121121112B197963211322111241211B 用矩阵的用矩阵的初等行变换初等行变换解方程组解方程组(1).r1r2r3 2 2234330635500222041211B r2

5、r3r32r1r43r1 2 3197963211322111241211B 234330635500222041211B 334330635500111041211B r2 2 2334330635500111041211B 431000620000111041211B r3+5r2r43r2+535 00000310000111041211B r32r4r4r36 00000310003011040101B r2r3r1r3r1r2 2 33443231xxxxx 3344321cccxxxxx 30340111cB6对应的方程组为对应的方程组为:或令或令x3=c(c为任意常数为任意常数)

6、, 方程组的解可记作方程组的解可记作:矩阵矩阵B5和和B6都称为矩阵都称为矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.特点特点(1). 可划出一条阶梯线可划出一条阶梯线, 线的下方全为零线的下方全为零; 特点特点(2). 每个台阶只有一行每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的台阶数即是非零行的行数行数, 阶梯线上的第一个元素为非零元阶梯线上的第一个元素为非零元, 即非零行的阶即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元梯线上的第一个元素为非零元.5 00000310000111041211B 6 00000310003011040101B 行阶梯矩阵行阶梯矩阵B6还称为还称为行最简形矩阵行最简形矩阵, 即非零行的

7、即非零行的第一个非零元为第一个非零元为1, 且这些非零元所在的列的其它元素且这些非零元所在的列的其它元素都为零都为零.6 00000310003011040101B 注意注意: 行最简形矩阵行最简形矩阵是由矩阵是由矩阵(方程组方程组)唯一确定唯一确定的的, 行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵(方程组方程组)唯一确定的唯一确定的. 对任何矩阵对任何矩阵Am n, 总可以经过有限次总可以经过有限次初等行变换初等行变换把它们变为把它们变为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵和和行最简形矩阵行最简形矩阵. 当未知数的个数大于有效方程的个数（即行阶梯形矩阵当未知数的个数大于有效

8、方程的个数（即行阶梯形矩阵中非零行的行数）时，有中非零行的行数）时，有自由未知量自由未知量，自由未知量可以，自由未知量可以取任意值取任意值. 自由未知量的选取不是唯一的，但其个数自由未知量的选取不是唯一的，但其个数是唯一的是唯一的.一般取每个非零行的第一个非零元对应的未知量为一般取每个非零行的第一个非零元对应的未知量为基本基本未知量未知量，其余的为自由未知量，其余的为自由未知量.一般地，对于线性方程组一般地，对于线性方程组1(1,2,)nijjija xim b b通过高斯消元法将其增广矩阵化为通过高斯消元法将其增广矩阵化为111111222122 1 10000( )000000000000

9、0rnrnr rr rr nrrcccdcccdA bcccdd 其中其中1 (1,2, ),iicir （1）方程组有解）方程组有解10rd（2）在有解的情况下：）在有解的情况下：（I） 若若 r = n, 则方程组有唯一解：则方程组有唯一解：1122,nnxd xdxd（II）若若 r n, 则方程组有无穷多解：则方程组有无穷多解：取取1122,rrnn rxk xkxk可得方程组的解为可得方程组的解为11111122211211111 (,)rnn rrnn rrrrrrnn rn rrnn rxdckc kxdckc kxdckc kkkxkxk 为任意实数为任意实数若方程组为齐次方程

10、组，那么若方程组为齐次方程组，那么方程组一定有解方程组一定有解.（I） 若若 r = n, 则方程组有唯一解：则方程组有唯一解：120,0,0nxxx（II）若若 r n, 则方程组有无穷多解：则方程组有无穷多解：取取1122,rrnn rxk xkxk可得方程组的解为可得方程组的解为111 11221 121 1111 ( ,)rnn rrnn rrrrrnn rn rrnn rxckc kxckc kxckc kkkxkxk 为任意实数特别地，若齐次方程组中方程的个数小于未知数的个数，特别地，若齐次方程组中方程的个数小于未知数的个数，那么方程组一定有无穷多解那么方程组一定有无穷多解.用高斯

11、消元法解线性方程组的过程可在方程组的用高斯消元法解线性方程组的过程可在方程组的的系数矩阵或增广矩阵上实现，的系数矩阵或增广矩阵上实现，所用步骤：所用步骤：（1）交换两行；）交换两行；（2）某一行乘以非零数）某一行乘以非零数 k；（3）将某一行乘以数）将某一行乘以数 k 加到另一行上加到另一行上. 定义定义1: 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: (1) 对调两行对调两行 (对调对调 i, j 两行两行, 记作记作 ri rj ) ;（对换变换对换变换） (2) 以非零数以非零数k乘以某一行的所有元素乘以某一行的所有元素 ( 第第 i 行乘行乘 k, 记作记作 r

12、i k );(倍乘变换倍乘变换) (3) 把某一行所有元素的把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元倍加到另一行的对应元 素上去素上去 (第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行上去行上去, 记作记作 ri+k rj ).（倍加变换（倍加变换） 类似地，可定义矩阵的类似地，可定义矩阵的初等列变换初等列变换( 所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c” ) 定义定义2: 矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换与与初等列变换初等列变换统称为统称为初初等变换等变换.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 应用广泛应用广泛.初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型

13、相同初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.ri rj 的逆变换为的逆变换为 rj ri;ri k 的逆变换为的逆变换为 ri (1/k), 或或 ri k; ri+k rj 的逆变换为的逆变换为 ri+(k) rj , 或或 ri k rj .2、 定义定义: 由单位矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调两行或两列对调两行或两列;以非零数以非零数k乘某行或某列乘某行或某列;以数以数k乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去. 对调两行或两列对调两行

14、或两列 1101111011对调对调E中第中第i, j两行两行(或列或列), 得得初等对换矩阵初等对换矩阵Eij:第第i 行行第第j 行行Eij =第第i 列列第第j 列列以非零数以非零数k乘某行或某列乘某行或某列11( )11iE kk 以数以数k 0乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第i 行行(或列或列)得得初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵 Ei(k).第第i 行行第第i 列列以数以数k 乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去11( )11ijEkk第第i 行行第第j 行行 以以k乘乘E的第的第 i 行加到第行加到第 j 行上行上, 或以或以 k 乘乘E的第的第 j 列加到第列加到第 i

15、 列上得初等倍加矩阵列上得初等倍加矩阵Eij(k).第第i 列列第第j 列列用用m阶初等矩阵阶初等矩阵Eij左左乘乘A=(aij)m n, 得得 101101 mnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211EijA= mnmminiijnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211第第i 行行第第j 行行用用m阶初等矩阵阶初等矩阵Eij左乘左乘A=(aij)m n,相当于对矩阵相当于对矩阵A施行第一种初等施行第一种初等行行变换变换: 把把A的第的第i 行与第行与第j 行对调行对调(rirj).11111212221jinjini jmmjmimnaaaaaaa

16、aAEaaaa 第第i 列列第第j 列列用用n阶初等矩阵阶初等矩阵E ij右乘右乘A=(aij)m n, 得得 相当于对矩阵相当于对矩阵A施行第一种初等施行第一种初等列列变换变换: 把把A的第的第i 列与第列与第j 列对调列对调(cicj).111211212( )niiinimmmnaaakakakaE k Aaaa 第第i 行行以以Ei (k)左乘左乘矩阵矩阵A=(aij)m n, 得得相当于以数相当于以数k乘乘A的第的第i 行行(ri k). 类似地类似地, 以以Ei(k)右乘右乘矩阵矩阵A=(aij)m n, 其结果相当于其结果相当于以数以数k乘乘A的第的第i 列列(ci k). 以以

17、Eij(k)左左乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于把相当于把A的第的第i行乘行乘数数k加到加到A的第的第j 行上行上(rj+kri).1112112112212( )niiinijjijijninmmmnaaaaaaEk Aakaakaakaaaa 第第i 行行第第j 行行 类似地类似地, 以以Eij(k)右右乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 其结果相当其结果相当于把于把A的第的第j 列乘数列乘数k加到加到A的第的第i 列上列上(ci+kcj).1111112122221( )ijjnijjnijmmimjmjmnaakaaaaakaaaAEkaakaaa 第第i 列列第第j 列列

18、结论结论: 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵, 对对A施行一次初等施行一次初等行行变换变换, 相当于在相当于在A的的左左边乘以相应的边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵; 对对A施行一次初等施行一次初等列列变换变换, 相当于在相当于在A的的右右边乘以相应的边乘以相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵. 11121212223132311122122313211121321222331323310010000110201000110030010100nnnaaakaaaaaakaaaaaabbbbbbbbbk 其其中中 nnnaaakakakaaaa332312222111211 3231222132123

19、111aaaakaakaa 323331222321121311bbbbbbbbb例例1 计算计算初等变换都是可逆的，从而初等矩阵都可逆初等变换都是可逆的，从而初等矩阵都可逆. 因为因为ri rj 的逆变换为的逆变换为 rj ri;ri k 的逆变换为的逆变换为 ri (1/k), 或或 ri k; ri+k rj 的逆变换为的逆变换为 ri+(k) rj , 或或 ri k rj .初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵所以所以1,ijijEE1( )( )1iiE kEk1( )()ijijEkEk也可以这样理解：也可以这样理解： 因为因为10, ijE(

20、 )0,iE kk( )10, ijEk所以初等矩阵均可逆所以初等矩阵均可逆.又因为又因为ijijE EE( )( ) 1iijE k EEk( )()ijijE k EkE所以所以1,ijijEE1( )( )1iiE kEk1( )()ijijEkEk. 已知已知12300101000100001000100000;10000010001000010010001kPPPc试试求求123PP P及及1123()PP P解：解：123PP P001c10000010000k000100101000=123PP P0010010010000001001c000k1111123321()PP PP

21、 P P0010010010000001001c1000k=结论结论:m n矩阵可以经过若干次初等变换矩阵可以经过若干次初等变换 化为如下形式的矩阵：化为如下形式的矩阵：()()() ()000rrn rm rrm rn rE111111222122 1 10000( )0000000000000rnrnr rr rr nrrcccdcccdA bcccdd 其中其中1 (1,2, ),iicir 定理定理1：可逆矩阵可以通过若干次初等变换化为单位矩阵：可逆矩阵可以通过若干次初等变换化为单位矩阵.证明：设证明：设A为可逆矩阵，首先为可逆矩阵，首先A初等行变换初等行变换行简化阶梯形矩阵行简化阶梯

22、形矩阵 U因为因为A可逆，所以可逆，所以UI即即A可以通过初等行变换化为单位矩阵可以通过初等行变换化为单位矩阵.推论推论1：可逆矩阵：可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的积可以表示为若干个初等矩阵的积.证明：由定理证明：由定理1可知，存在可知，存在 s 个初等矩阵个初等矩阵12,sP PP使得使得21sPP P AI 从而从而121()sAPP P 11112sP PP 这里这里11112,sPPP 仍为初等矩阵，仍为初等矩阵，故结论成立故结论成立.例例4 将将 表示成初等矩阵的乘积。表示成初等矩阵的乘积。 A 021112111rrAPE 12112021112010112021100111

23、111001解：解：02102111211280111023A由由 ()312311121000211010023101rrPE ( )323321121000211010004011rrPE ()31443112100102101040011004rPE ( )235231121000201011001001rrPE ( )21262100112110100022001001rPE ()1327131101020102010001001rrPE ()1327131101020102010001001rrPE ()128121001100101010001001rrPE 故有故有8765432

24、1P P P P P P P PAE 111187654321128AP P P P P P P PP PP 则则在推论在推论 1 中，我们得到中，我们得到21sPP P AI 121sAPP P 21sPP P I 21sPP P AI 121sPP P IA 对矩阵对矩阵 A 和和 I 做相同的初等做相同的初等行行变变换，当换，当 A 变为变为 I 时，时，I 变为变为1A或者，由或者，由21sPP P AI 21sAPP PI 121sIPP PA 对矩阵对矩阵 A 和和 I 做相同的初等做相同的初等列列变换，变换，当当 A 变为变为 I，I 变为变为上面两个式子说明：上面两个式子说明：

25、1A由上面的分析得到：由上面的分析得到：推论推论2：若对可逆矩阵：若对可逆矩阵 A 和同阶单位阵和同阶单位阵 I 做同样的初等做同样的初等行行 变换，则当变换，则当 A 变为变为 I 时，时，I 变为变为1A（列）（列），即，即(| )A I初等初等变换变换1( |)I AAI初等初等变换变换1IA(| )A I初等初等变换变换1( |)I AAI初等初等变换变换1IA也可写为也可写为1(| )AA I11(|)A A A I1( |)I A111AIAAAIAIA 100343010122001321| EA,343122321 例例2: 设设A=求求A-1.解解: : 1036200125

26、20001321r22r1r33r1r1+r2r3r2 111100012520011201r12r3r25r3 111100563020231001r2 (2)r3 (1).11110025323010231001 .111253232311 A所以所以 111100563020231001 同样同样, 对矩阵方程对矩阵方程 AX = B, 其中其中A为为n阶方阵阶方阵, B为为n s 阶矩阵阶矩阵, 如果如果A可逆可逆, 则则 X =A-1B，且，且也就是说也就是说, 一系列初等一系列初等行行变换变换将将A化为化为E 的同时也的同时也将将B化为了化为了A-1B.11(|)( |),AA B

27、I A B 对于对于n元线性方程组元线性方程组Ax=b，当，当A可逆时，方程组有唯一解可逆时，方程组有唯一解1xA b 这里这里12nxxxx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 12nbbbb .341352,343122321 BA 343431312252321)|(BA例例2: 求矩阵求矩阵X, 使使AX=B, 其中其中解解: 若若A可逆可逆, 则则 X=A-1B. 1226209152052321 311009152041201r22r1r33r1r1+r2r3r2 311006402023001r12r3r25r3.311003201023001 r2 (2)r3 (1).313223 X所以所以 CA如果要求如果要求Y=CA-1, 则可对矩阵则可对矩阵作初等作初等列列变换变换. CA,1 CAE列变换列变换即可求得即可求得Y=CA-