2020年高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第八章立体几何

1、第59页共82页第八章立体几何空间几何体的结构特征、三视图和直观图全国卷5年考情图解局考命题规律把握事四空网*鱼要*3。I1B(DUK(l) unw1 iomi 9(i>118(1) IH9N 旧(L)1 .本章内容在高考中一般为 2道小题,1道解答 题，分值约占22分.2 .高考基础小题主要考查几何体的三视图的 识别，几何体表面积、体积的求解及线、面角 问题.3 .高考综合性较强的小题考查与球有关的切、 接问题.4 .解答题一般有两问：A问考查空间平行与 垂直关系的证明，考查转化与化归的数学思 想；第二间以儿何体的表面积、体积的求解 或几何体高的求解为主，综合考查基本的逻辑 推理和计算

2、能力.空网牛制艮考 期与期IUU)111 mwIfillflCl) 卯四位】"Lb 国 12)几内停儿为瓶 4*4t凡河体三视国几何得益， 构4En«n hl*IA 1 LI IltJG) Ifi 1 IV t国|fl9(291lL n怕便ll«TL51S 118 INis nIO&17 117 III 10 B1913口心H7iia 119(1)I1Wni»w部"州他触帖2017201» W基础相对薄弱，一轮复习更需重视基础知识的强化和落实、基础知识批注一一理解深一点1.简单几何体:多面体是一个I(1舞面体的结构特征一.二二

3、“封闭”的几何、体名称棱柱棱锥棱台图形f)r 四 A B底向互相平行且相等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交一点，但不一定相等延长线交于,点侧面形状平行四边形三角形梯形特殊的四棱柱四棱柱底面为平行四边形侧棱垂直 于底面正四棱柱底面为矩形长方体底面边长相等侧棱与底面、边长相等,正方体上述四棱柱有以下集合关系：正方体 正四棱柱 长方体 直平行六面体 平行六面体 四棱柱.多面体的关系：棱柱一个底面退化为一个1平行于底面的平面截柏棱台(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球上图形围.国出.母线互相平行且相等，成 立于底向长度相等且相交一点延长线交于,点轴截回全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰

4、梯形圆侧囿展开图矩形扇形扇环球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离 d与球的半径 R及截面的半径r的关系为 r= R2-d2.2.直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z' 轴与x'轴和y'轴所在平面垂直.原图形中平行于坐标轴的线段 ，直观图中仍平行于坐标轴.平行于 X轴和Z轴的线段在直观图中保持原长度不留，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3.三视图上方观

5、察几何体画出的轮廓线几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正'、；一；三视图的长度特征*;“长对正、高平齐、宽相等 ”，即正俯!同长、正侧同高、俯侧同宽.二、常用结论汇总一一规律多一点1 .常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形.(3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形.(4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形.2 .斜二测画法中的 “三变”与“三不变”坐标轴的夹角改变，“三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.平行

6、性不改变，“三不变” S与x轴和容由平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.三、基础小题强化一一功底牢一点(一判一判(对的打，错的打“x”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所彳#的平面与底面之间的部分.()(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.()答案:(1)X (2)X (3)， (4)X (5)X(二)选一选1.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析:选B 俯视图中显

7、然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.2 .若一个三棱柱的三视图如图所示三棱柱的高和底面边长分别为（）A. 2,2小B. 2 心,2C. 4,2，其俯视图为正三角形，则这个口1-2#- 侧视图D. 2,4解析:选D 由三视图可知，正三棱柱的高为2,底面正三角形的高为邻,故底面边长为4,故选D.3 .如图所示，在三棱台 A B C -ABC中，沿 A BC截去三棱锥A' -ABC,则剩余的部分是（）A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D,组合体解析:选B如图所示，在三台A B C -ABC中，沿A BC截去三棱锥 A -ABC,剩余部分是四棱锥 A -BCC B .4 .如图是水平放置

8、的正方形 ABCO,在直角坐标系 xOy中，点B的坐标为（2,2）,则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B'至ij x轴的距离为双丸2）解析:根据斜二测画法规则画出直观图，如图所示.作 B' E±x 轴于点 E,在 RtAB C E 中,B' C = 1, /B C E=45，则 B E=*.答案：£5.利用斜二测画法得到的三角形的直观图-一定是三角形;等腰梯形的直观图可以是平行四边形;菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的个数是 .解析：由斜二测画法的规则可知正确；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误

9、，故结论正确的个数为 1.答案：1考点不宜整合太大，挖掘过深稳取120分就是大胜课堂 讲练区考点一空间几何体的结构特征典例下列结论正确的是（）A.侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B.六条棱长均相等的四面体是正四面体C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以A 错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错.答案B解题技法空间几何体概念辨析题的常用方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关

10、系或增加线、面等基本兀素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举 出一个反例即可题组训练1 .下列结论中错误的是（）A.由五个面围成的多面体只能是三棱柱8 .正棱台的对角面一定是等腰梯形C.圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线D.各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体解析:选A 由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以A选项错误.B、C、D说法均正确.2.下列命题正确的是()A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D

11、.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析:选C 如图所示，可排除A、B选项.只要有截面与圆柱的母线平行 或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.考点二空间几何体的直观图典例 已知等腰梯形 ABCD,CD=1,AD = CB = /2,AB = 3,以AB所 在直线为 x轴，则由斜二测画法画出的直观图A B C D'的面积为解析法一：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E,O,E在斜二测画法中的对应点为O' ,E',过E'作E' F ±x，轴,垂足为F ,因为 oe=m(& 2-12=1,

12、所以 O E =2,E F所以直观图A B CD 的面积为12S =2>< (1 + 3)X 彳1法二：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S = -X(1 + 3)X 1 = 2.22 c 2由S直观图=4 s原图形的关系，得S直观图=4 X 2= 2 .答案解题技法原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系S 直观图=孚S原图形 4（2）S 原图形 =2 2S直观图.题组训练1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）1上解析:选A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形 ，对角线长为42,所以原图

13、形为平 行四边形，位于y轴上的对角线长为 26.故选A.2.已知正三角形ABC的边长为 2,那么 ABC的直观图4 A B C 的面积为解析:如图，图、图分别表示 ABC的实际图形和直观图.从图可知，A' B =AB=2,国13 ,326O C =2OC=223,C D =O C sin 45 =宁X 丁=学所以 S b c =2A B C D =2X2X 手邛.答案：呼4考点三空间几何体的三视图考法（一）由几何体识别三视图典例（2019长沙*II拟）如图是一个正方体 A,B,C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是（注:选项中的上图为正视图，下图为俯视图）（）

14、I)解析正视图和俯视图中棱 AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.答案A解题技法识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图;(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线; 对于简单白组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.考法(二)由三视图判断几何体特征 典例(1)(2018全国卷I图如图所示.圆柱表面上的点)某圆柱的高为 2,底面周长为16,其三视M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到

15、N的路径中，最短路径的长度为()A. 2d17B. 2/5C. 3D. 2(2)(2019武汉调研)已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为他视图解析(1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M,N的位置如图所示.圆柱的侧面展开图及 M,N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN1即为 M至ij N的最短路径. ON = X 16=4,OM = 2,MN = .OM2+ON2 = .22 + 42 = 2g(2)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AAiDi-BBiCi和一个三棱锥 C-BCiD后剩下的几

16、何体，即如图所示的四棱锥 D-ABCiDi,其中1侧面ADDi的面积最小，其值为2.1答案(1)B (2)2解题技法1 .由三视图确定几何体的 3步骤定底面 宿视窗句断出冠而形我!,U I 薪丽向T施施定、血血向而定ji而榇向而标与侧血的“油 j注意三视图中虚线和实线变化，确定几何体形状!2 .三视图还原长方体口诀三视图，要还原，关键在于找顶点； 长方体，三向切，三图相交顶点得； 查视图，再检验，实线虚线细甄辨.考法(三)由三视图中的部分视图确定剩余视图典例(2018唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()F7|不1* -2*止视图俯视图ABCD解析由正视图和俯视

17、图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A.答案A解题技法由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩 卜部分视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验.题组训练，其中DDi =()1 .如图1所示,是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体1,AB=BC= AAi= 2,若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是ABCD解析：选C 根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B、D;

18、而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.故选C.2 .（2017全国卷I ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰/直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）I IA. 10B. 121C. 14D. 16N解析:选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2+ 4产2*2 =12，故选B.课时跟检测1. 对于

19、用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.梯形的直观图可能不是梯形C.正方形的直观图为平行四边形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:选C 根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形.2. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱解析:选D 球、正方体的三视图的形状都相同 ，大小都相等，首先排除选项 A和C.对于 三棱锥，考虑特殊情况，如三棱锥C-OAB,当三条棱OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC时, 正视图方向为 AO方向，其三视图的形状都相同，大小都

20、相等，故排除选项B.选项D,不论圆柱 如何放置，其三视图的形状都不可能完全相同.3. （2019福州*II拟）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A. 273B. 272C. 473D, 872解析:选D 由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对 边长为2,在斜二测画法画出的直观图中 ，/B' O A =45°且O' B = 秘,那么在原图形 中,/30八=90°且03 = 4型.因此,原平面图形的面积为 2X472= 86，故选D.4.给出下列几个命

21、题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析:选B 错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、卜底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.5 .若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （）正视图恻视图俯视图解析:选D是一个四棱柱.故选D.6 .用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块

22、数是（侧视图B. 7D. 5A. 8C. 6解析:选C 画出直观图可知，共需要6块.7 . （2018南宁二中、柳州高中联考）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为8,则该几何体的俯视图可以是3解析:选C 若俯视图为选项 C中的图形，则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 P-ABCD,如图所示，该四棱锥的体积 V = 1X(2X2)X2 = 8，符合题意.若俯视图 33为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应的几何体不存在，故选C.8 .如图，在底面边长为 1,高为2的正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi(底面 ABCD是正方形，侧棱AA

23、J底面 ABCD)中，点P是正方形 AiBiCiDi内一 点，则三棱锥P-BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为 ( )3A.2B i-5C 2D-4i解析:选A 由题图易知 二棱锥P-BCD的正视图面积为 V IX 2= i.当顶点P的投影在ii BCD内部或其边上时，俯视图的面积最小，为S"CD = 2X iX i = 2.所以三棱锥P-BCD的正 视图与俯视图的面积之和的最小值为i + 2=3.故选A.9 .设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是.解析

24、:命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧 棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的.答案:10 . 一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为 i2 cm,则这个圆台的母线长为 cm.解析:如图，过点A作AC LOB,交OB于点C.： A在 RtAABC 中,AC=i2(cm),BC=83=5 (cm).AB= :i22+ 52 = i3(cm).答案：i311 .已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几 何体上任意选择 4

25、个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题 ：矩形；有三 个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；两个面都是等腰直角三角形的四面体.亚视图侧视图硒视图其中正确命题的序号是 .解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如图所示的四棱柱ABCD-AiBiCiDi,当选择的4个点是Bi,B,C,Ci时，可知正确；当选择的4个点是B,A,Bi,C时,可知正确；易知不正确.答案:12.如图，三棱锥 A-BCD 中 ABL平面 BCD,BC，CD,若 AB=BC= CD =2,则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为.解析：因为ABL平面BCD,投影线平行于 BD,所以三

26、棱锥 A-BCD的侧视图是一个以 BCD的BD边上的高为底，棱锥的高为高的三角形因为 BC，CDAB=BC=CD = 2,所以 BCD中BD边上的高为小，1故该三棱锥的侧视图的面积S=1X 2X 2=42.答案：，2空 间 几何 体 的表面 积与体积文科考生基础相而薄弱，一轮复习更需重视基础知识的强化和落实课前 自修区、基础知识批注一一理解深一点几何体的侧面积是 指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和'圆台、圆柱、圆锥的转化；当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，,由此可得：3 mt7t ri、转帕=左£十r）

27、1"3m傩帕=冗'±2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体j、表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+ 2s底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+ S底1V = Tsh 3-台体（棱台和圆台）S表面积=S侧+ S上+ S下V = 3(S +S +ss )h球S=4tR2v=M、常用结论汇总一一规律多一点几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体的棱长为a,球的半径为R,若球为正方体的外接球，则2R= 43a;若球为正方体的内切球，则2R= a；若球与正方体的各棱相切，则2R= 42a.（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为 R

28、,则2R=/a2+ b2+c2.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 ： 1.三、基础小题强化一一功底牢一点（一判一判（对的打“，”，错的打“X”）(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2tS.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(4)球的体积之比等于半径之比的平方.(答案:(1)X(2)X(3)，(4)X(二)选一选1. 一个球的表面积是 16小那么这个球的体积为(32B.3兀D . 24兀A 16A. 3兀C. 16 兀解析:选B设球的半径为 R,则由4 tR2= 16%解得R= 2,所以这个球的体

29、积为1#3=岑332 .正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为 #,D为BC中点，则三棱锥 A-B1DC1的体积为()A. 3B.2C. 13D.y解析:选C由题意可知 ADLBC,由面面垂直的性质定理可得 ADL平面DBiCi,又AD=2 sin 60 = V3,所以 VA-B1DC1=3AD S*Dj = 3X2X 0=1，故选 C.3 .如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()B . 24兀D . 32兀A . 20 兀C . 28 兀解析:选C 设圆柱底面圆半径为 r,周长为c,圆锥母线长为1,圆柱高为h.由图得r=2,c =2 7tr= 4

30、 %h = 4,由勾股定理得:1= ,22+ (2/3 j= 4,S 表=兀r2 + ch + ：c1= 4 兀+ 16 兀+ 8 兀=28 7t.4 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为俯视图高为，3的三角形，正视图的长为三棱柱的高（x 2X 小N 3= 3g，故h = 3,所以该几何体的体积 V = S h =解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边长为2,答案：3 35 . 一个六棱锥的体积为243,其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.解析:设六棱锥的高为h,斜高为h',则由体积V=-x l-X2X2Xsin

31、 60 乂 6卜 h= 2g得 h= 1,h，= j(3 2+ h2 = 2.所以侧面积为2X2X1 X 6= 12.答案：12考点不宜整合太大，挖掘过深稳取120分就是大胜文科考生考点一空间几何体的表面积典例（1）（2018全国卷I ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A. 12吸兀B. 12 %C. 8v2兀D. 10兀，则该四棱锥的侧面积是（）（2）（2019沈阳质检）某四棱锥的三视图如图所示w-2-H 正视图侧视图"*2 -*- 俯视图B. 472+2d.3A. 4+ 4 v2C. 8

32、+ 4也解析(1)设圆柱的轴截面的边长为 x,则 x2= 8,得 x= 2v2,S 圆柱表=2S 底+ S 侧=2X ttX（q2）2+ 2 7tx 222 2y2=12兀故选B.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P-ABCD,如图 所示，其中PAL底面ABCD,四边形 ABCD是正方形，且PA= 2,AB= 2,PB =2山,所以该四棱锥的侧面积 S是四个直角三角形的面积和，即S = 2X 2X2+：X2X2取 ''厂 4+ 4平，故选 A.答案(1)B (2)A解题技法求解几何体表面积的类型及求法求多向体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面

33、积的方法的表面积求多向体的表向积求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面枳，但要的表面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱几何体的表面积时体、锥体、台体的表面枳，再通过求和或作差，求出所给儿何体的表面积题组训练1. (2019武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()侧视图帕视图A. 28C. 20+45B. 24+275D. 20+25解析:选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE -DCMH，则该

34、几何体的表面积S= (2 X 2) X 5 +2+ 2 X 1 + 2X 5= 24+ 2平.故选 B.2. (2018郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. 20+72%C. 24+(2的兀B. 24+(72-1)兀D. 20+(72+1)兀解析:选B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S=6X22兀* 12+ ttX 1 X2=24 +(V2-1)4故选B.考点二空间几何体的体积求空间几何体的体积常用的方法有直接法、割补法、等体积法，其中俯视图为扇形，则典例(1)(2019开封高

35、三定位考试)某几何体的三视图如图所示该几何体白体积为()A. 4兀C.帕视图B. 2兀D.兀(2)(2018天津高考)如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为解析(1)直接法由题意知该几何体的直观图如图所示 ，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的门的体积为 X 3= 2兀. 3(2)涉-:直接法连接 AiCi 交 BiDi 于点 E,则 AiE±BiDi,AiE±BBiBB1D1D,2所以AiE为四棱锥 Ai-BBiDiD的图，且AiE = "2，矩形BBiDiD的长和宽分别为 亚,1,故 VA1-BB1D1D _

36、 3 X (1 X 陋)X 乎1，则AiE，平面AB圆心角为由tan a=乎=卡，得”=3,故底面面积为2*；* 22= ，则该几何体 2a入法二:割补法连接BDi,则四棱锥所以 VA1-BB1D1D = VB-A1DD,，11答案(1)B (2)33A1-BB1D1D分成两个三棱锥 B-AiDDi与B-AiBiDi,加'71g1 11 11)1+VB-A1B1D1=3X1X1X1X1 + 3X-X1X 1X1 = 3.1rW AB解题技法1.处理体积问题的思路:转换底面与高,将原来不容易求面积的底面转换为 ;容易求加积的底面，或耨原来不容易看出的高转换 ;为容易看出并容易求解的高营L

37、将一个不规则的几何体拆成几个简单的儿何体.便 近尸于计算将小儿何体撒入 个大几何体中，如有时将一个三极锥复原成一个三棱柱、将一个三楼柱复原成一个 四棱柱、述台为锥，这些都是拼补的方法2.求体积的常用方法直接法对于规则白几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体 ，然后进行体积计算；或者 把不规则的几何体补成规则的几何体 ，不熟悉的几何体补成熟悉的几何 体，便于计算等体选择合适的底面来求几何体体积，常用于求二棱锥的体积，即利用三棱积法锥的个面可作为一棱锥的底向进行等体积变换题组训练Bi1 .（等体积法 即图所示，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且A

38、A1,底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为（）A.12D.B-137C.12解析:选A 三棱锥Bi-ABCi的体积等于三棱锥 A-BiBCi的体积，三棱锥A-BiBCi的高为亭，底面积为2,故其体积为3*2><乎=甯.2 .（割补法产几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（A. 13C. 15俯视图B. 14D. 16侧视图解析：选C所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD-A B C D所示,长方体的长、宽、高分别为4,2,3,两个三棱柱的高为2,底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该13，几何体的体积

39、丫=4*2*32*2*3*2*2=15,故选 C.3.（直接法个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为1 2A. 十互兀3 3c 1 ,2C.3+ T 兀正视困 侧视图惆视怪B.3+* 兀2D. 1+ 6解析:选C由三视图知，四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为亭,从而该几何体的体积为1x 12x 1 + 1><4rX俘3=1+半兀. 2323236考点三与球有关的切、接问题考法（一）球与柱体的切、接问题 典例（2017江苏高考）如图，在圆柱O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为 V1

40、,球O的体积为 V2,则V1的值是V2解析设球。的半径为R,因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切2柱的底面半径为 R、高为2R,所以V1=武2R = 3.V2432A 1R 3，所以圆3答案2考法（二）球与锥体的切、接问题典例（2018全国卷m ）设A,B,C,D是同一个半径为 4的球的球面上四点， ABC为等边三角形且其面积为 95，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. 1273B. 1873C. 2473D. 5473 3解析由等边 ABC的面积为96,可得彳AB2=9V3，所以AB=6,所以等边 ABC的外接圆的半径为r=$AB=2后.设球的半径为 R,球心到等边 ABC的

41、外接圆圆心的距离为d,则d=邓2 r2 = 1612 =2.所以三棱锥 D-ABC高的最大值为 2+ 4 = 6，所以三棱锥1D-ABC体积的最大值为1X 9yl3X6= 18.3答案B解题技法1 . “切” “接”问题的处理规律(1) “切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点 通过作截面来解决.(2) “接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题 的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.2 .巧用外接球组合体作图的方法口诀外接球，有难题，作图技巧要牢记；大圆正视小圆平，对称图形抓对称；内接图形坐小圆，力求顶

42、点大圆圈；小圆垂直连心线，位置关系细查看.题组训练1. (2018福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2,底面半径为43,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()16A. 4兀B.y兀32C.-兀D. 16 兀解析:选D 如图，由题意知圆柱的中心 。为这个球的球心，于是，球的半径r=OB=，OA2+AB2 = 正+函 / =2.故这个球的表面积 S = 4Ttr2=16兀故选D.2,三棱锥 P-ABC中,AB= BC=yi5,AC=6,PCL平面 ABC,PC= 2,则该三棱锥的外接球表面积为.解析：由题可知,AABC中AC边上的高为-15-32 =J6，球心O在

43、底面ABC的投影即为 ABC 的外心 D,设 DA=DB=DC = x,所以 x2= 32+(V6 x)2，解得 x = 5p,所以 R2= x2 + PC尸75+ 1 = 83(其中R为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S= 4 #2 =83兀.答案：83兀课时跟检测1 . （2019深圳摸底）过半彳5为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为（）A.323_3_C.8D.16解析:选A由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r,则22= 12+ r2,所以r2= 3,所以所得截面的面积与球的体积的比值为=;9，故选A.4 兀x 23 3232 .如

44、图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）正视图侧视图4H俯视图A. 4B. 8C. 16D. 20解析:选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6,高为2的三角形，棱锥的高为4,所以体积为V = 1x：X 6X2X4=8.故选B.3.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何？”其 意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米 堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为 多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A. 14

45、 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 66 斛解析:选B设米堆的底面半径为r尺，则fr=8,所以r=16，所以米堆的体积为 V = 1x1 2兀4 3兀X r2x 5 =3巴限5"等（立方尺）.故堆放的米约有320二7 勺.62 =22（斛）.94. （2018贵阳摸底考试）某实心几何体是用棱长为1 cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）-5正视图侧视图俯视图A. 35 cm3B. 40 cm3C. 70 cm3D. 75 cm3解析:选A结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、 宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm的长方

46、体，长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm的长方体，棱长为 1 cm的正方体，故该组合体的体积 V = 5X 5X 1 + 3X 3X 1+1X 1 X 1 = 35（cm3）.故选 A.5. （2019安徽知名示范高中联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）俯视图侧视图A. 11B.2D.4解析:选C 法一:该几何体的直观图为四棱锥 S -ABCD,如图，SDL平面ABCD,且SD =1,四边形 ABCD是平行四边形，且AB=DC = 1,连接BD,由题意知 BDXDC,BD，AB,且 BD= 1,所以 S 四边形 abcd = 1,所以 Vs-abcd = 1S 四边

47、形 abcd SD 31=；,故选C. 31法二：由二视图易知该几何体为锥体，所以V=1sh,其中S指的是锥体的底面积，即俯视图3中四边形的面积，易知S= 1,h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h= 1,所以V=Tsh=：33故选C.6. （2019重庆调研）某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）C.4/3、4 v33 守D.8季兀+ 4v33 天解析：选B由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为小2 22 = 2J3,三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形;三棱锥的高为2 y3,所以该组合体的体积V=1* 1兀x 22x

48、273 + 1xx4x2x 2邢二域产十2 33 23半，故选B.7. （2019湖北八校联考）已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（）B. 32+12 兀D. 32+20 兀A. 16+12 兀C. 24+12 兀解析:选A由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为42,底面对角线长为4,球的半径为2,所以该正四棱柱的底面正方形的边长为272，该几何体的表面积 S = 2X 4兀>< 22+ ttX 22+2V2X V2X 4=12%+ 16,故选 A.8. （2019福州质检）已知正三棱柱 ABC-A1B1C1中，底

49、面积为平，一个侧面的周长为 673,则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为（）B. 8兀D . 32兀A. 4兀C. 16 兀解析:选C 如图所示，设底面边长为a,则底面面积为$a2=¥，所 以a= 43.又一个侧面的周长为643，所以AAi = 243.设E,D分别为上、下底面的中心，连接 DE,设DE的中点为 O,则点 O即为正三棱柱 ABC-AiBiCi 的外接球的球心，连接 OAi,AiE,则 OE =，3,AiE = J3x 中X； = 1.在直角三角形 OEAi中,0.=42+（嫄2 = 2,即外接球的半径 R= 2,所以外接球的表 面积S= 4 tR2= 16兀

50、，故选C.9. （2017天津高考）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.解析：由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为小.3设该正方体外接球的半径为R,则2R= 3,R= 2,所以这个球的体积为9兀万.会.9兀答案：10. 某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1,底面为上底长为1,下底长为2,高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V="2-丝1 = 2.答案：22兀一.、一，一、一，八，一、，11. 一个圆锥的表面积为为它的侧面展开图是圆心角为7的扇形，则该圆锥的图为3解析:设圆锥底面半径

51、是r,母线长为1,所以兀r2+加=%即r2+rl=1根据圆心角公式 22t3= 誓,即1=3r,所以解得 r = ；,l=3,那么高h=业'-产=也答案：,212. （2017全国卷I ）已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面 SCA，平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S -ABC的体积为9,则球。的表面积解析:如图，连接AO,OB, .SC为球O的直径， .点。为SC的中点，SA= AC,SB=BC, AO±SC,BO±SC,平面 SCAL平面 SCB,平面SCAA平面SCB= SC,AO,平面 SCB,设球O的半径为R,则 OA=OB=R,SC=2R.Vs -abc= Va-sbc= 7 X Sasbc X AO 3=1X l-XSCXOB X AO, 32'即 9 = 1x 3R=3,.球 O 的表面积 S= 4 tiR2= 4 ttX 32= 36 兀.答案:36兀13 .如图是一个以AiBiCi为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC,已知 AiBi = BiCi = 2, Z AiBi Ci = 90 ,AAi = 4,BBi = 3,CCi=2,求：(i)该几何体的体积；(2)截面ABC的面积.解:(i)