2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)含详细答案

1、2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷I ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （5 分）设集合 M=x| x2-x< 0, N=x|x|<2,则（）A. M A N=? B. M A N=MC. MU N=M D. MU N=R2.（5分）已知函数丫=？的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A. f （2x） =e2x （xCR） B. f （2x） =ln2?lnx （x>0）C. f（2x）=2ex（xCR）D.f（2x）=lnx+ln2（x>0）3. （5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A.

2、 -1 B. - 4 C. 4D.工444. （5分）如果复数（m2+i） （1+mi）是实数，则实数m=（）A. 1B. - 1 C.二 D | J5. （5分）函数FQ）加（咛）的单调增区间为（）TTTTA. aTT k冗吟）,kG2 B. （k （k+1） tt）, k ZC. &元耳，k兀十3）,D. &九一二，k无十卫44446. （5分）AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数 列，且 c=2a,则 cosB=（）10. （5分）设an是公差为正数的等差数列，若ai+a2+a3=15, aia2a3=80,则aii+ai2+ai3=()A

3、. i20 B. i05 C. 90 D. 7511. （5分）用长度分别为2、3、4、5、6 （单位：cm）的5根细木棒围成一个 三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A. |小G益 B沂c/ C |诉Gio2 D 20cm212. （5分）设集合I=1, 2, 3, 4, 5.选择I的两个非空子集A和B,要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A. 50 种 B. 49 种C. 48 种 D. 47 种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （4分）已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为2<5,则侧面与底面所 成的二面角

4、等于二2 工-y1- 114. （4分）设z=2y-x,式中变量x、y满足下列条件：'3量+2y423 ,则z的最大值为一.15. （4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其 中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有 一种（用数 字作答）.16. （4 分）设函数 f（x）二）（0<.若 f （x） +f'（x）是奇函数,三、解答题（共6小题，满分74分）17. （12分）ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时，3sA+2。口骂”取得 最大值，并求出这个最大值.18. （12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行

5、对比试验.每 个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若 在一个试验组中，服用 A有效的小白鼠的只数比服用 B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A有效的概率为服用B有效的概率为3(I)求一个试验组为甲类组的概率；(H)观察3个试验组，用士表示这3个试验组中甲类组的个数，求 己的分布列 和数学期望.19. (12分)如图，li、12是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、 B在 1i 上，C在 12上，AM=MB=MN.(I )证明 AC± NB;(H )若/ ACB=60,求NB与平面ABC所成角的余弦值.20. (12分)在平

6、面直角坐标系xOy中，有一个以F<0,-百)和F/。，盯)为 焦点、离心率为正的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点P在C上, 2C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量加二位十诿.求：(I )点M的轨迹方程;(H) |而|的最小化21. (14分)已知函数f(K)=7巳1ax.(I )设a>0,讨论y=f (x)的单调性；(H)若对任意x (0, 1)恒有f (x) >1,求a的取值范围.22. (12分)设数歹1an的前n项的和Sn=4ag卷n=1, 2, 3, 心4kJ(I )求首项a1与通项an；,n=1, 2, 3,，证明:2006年全国统一高考

7、数学试卷(理科)(全国卷I )参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1. (5 分)(2006?全国卷 I )设集合 M=x| x2-x< 0 , N=刈 x| <2,贝U ()A. M A N=? B. M A N=MC. MU N=M D. MU N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合 并集.【解答】解：集合 M=x|x2-x<0=x|0<x<1, N=x| x| <2=x| -2<x<2, MAN=M,故选：B.2. (5分)(2006?全国卷I )已知函数y=ex的图象与函

8、数y=f (x)的图象关于直 线丫二乂对称，则()A. f (2x) =e2x (xCR) B. f (2x) =ln2?lnx (x>0)C. f(2x)=2ex(xCR)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方 法等相关知识和方法.根据函数y=ex的图象与函数y=f (x)的图象关于直线y=x对称可知f (x)是丫=? 的反函数，由此可得f (x)的解析式，进而获得f (2x).【解答】解：函数y=ex的图象与函数y=f (x)的图象关于直线y=x对称， 所以f (x)是y=ex的反函数，即f (x) =ln

9、x,B. - 3 4 C. 4D.- .f (2x) =ln2x=lnx+ln2 (x>0), 选D.【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程, 从而求出m的值.【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，m<0,且双曲线方程为. 1| m=-,4故选：A.4. （5分）（2006?全国卷I ）如果复数（m2+i） （1+mi）是实数，则实数m=（）A. 1 B. - 1 C.如 D.-也【分析】注意到复数a+bi （aCR, bCR）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i） （1+mi） = （m2-m） + （1+m

10、3） i是实数， - 1+m=0? m= - 1,选B.TT5. （5分）（2006?全国卷I ）函数f&）二tan （叶丁）的单调增区间为（）TTJIA. （kn勺，k 冗 +g）, kG2 B. （k （k+1）九）,kC ZC. 但n一旦，k兀十4）, kEW D. 住冗一二，k兀十卫 4444【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x4的范围i,进而求得x的范围.【解答】解：函数 f（工）=tan （廿万）的单调增区间满足调增区间为F），© 故选C6. （5分）（2006?全国卷I ） ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且 c

11、=2a,则cosB=（）A： Bi c I D-【分析】根据等比数列的性质，可得 b=&,将c、b与a的关系结合余弦定理 分析可得答案.【解答】解： ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac,由 c=2a,则 b= ：a,相+ £-丁| 日，4”-2” 38 加一说一=一口一W，故选B.7. （5分）（2006?全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是（）A. 16 7tB. 20TtC. 24ttD. 32 九【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表 面积.【解答】解：正四棱柱高为4,体积为16,

12、底面积为4,正方形边长为2, 正四棱柱的对角线长即球的直径为 2瓜球的半径为巫球的表面积是24阳故选C.8. （5分）（2006?全国卷I）抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y - 8=0距离的最 小值是（）A- T B - D- 3【分析】设抛物线y=-x2上一点为（m, - m2）,该点到直线4x+3y-8=0的距离为.一丁 一川,由此能够得到所求距离的最小值. 5【解答】解：设抛物线y=-x2上一点为（m, - m2）,该点到直线4x+3y- 8=0的距离为叱耳2一制,分析可得，当mS时，取得最小值为1,33故选B.9. （5分）（2006?全国卷I ）设平面向量日1、漆、自3的和启1

13、+32+33=0.如果向量bv良、b3,满足|%=2|；i| ,且W顺时针旋转30°后与K同向，其中i=1, 2, 3,则（）A. bi+b2+b3=0 B. bi 1>2+E|3=0C. bi+l>2 _ t>3=0 D. bi+b2+b3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以 把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量， 当 三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变.【解答】解：向量方1、32>方3的和安1 + 312+：33=0,向量31、过、为3顺时针旋转30°后与卜1、卜2

14、、卜3同向, 且曲|=2|曲,b1+b2+b3=0故选D.10. （5分）（2006?全国卷I）设an是公差为正数的等差数列，若 aI+a2+a3=15,aa2a3=80,贝 a11+a12+a13=（）A. 120 B. 105 C. 90 D. 75【分析】先由等差数列的性质求得a2,再由a1a2a3=80求得d即可.【解答】解：时是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15, a1a2a3=80, 二 a2=5, - a1a3= （5-d） （5+d） =16, d=3, a12=a2+10d=35 二 a11+a12+a13=105故选B.11. （5分）（2006?全国卷I ）用长

15、度分别为 2、3、4、5、6 （单位：cm）的5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最 大面积为（）A. |小G益B而c/ C |赤皿2D- 20cm2【分析】设三角形的三边分别为 a, b, c,令p总苧&，则p=10.海伦公式q_ ryy 1-（10- G+ （10 - b）+（l。 c） J,100V3 的桃降 ps=p5-C，D,由于等号成立的条件为10-a=10- b=10- c,故“不成立，推测当三边长相 等时面积最大，故考虑当a, b, c三边长最接近时面积最大，进而得到答案.【解答】解：设三角形的三边分别为a, b, c,令网产则P=1

16、0.由海伦公式S=/p（p- a，p-b）（c）Ain a /77；3n I （10 - a）+（LO - b）+tlQ - c） IlOOV知 SMom）qo -匕）Ruh §J<20<3 . L由于等号成立的条件为10-a=10- b=10- c,故“小成立，S< 20V 3.排除C, D.由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当 a, b, c三边长最接近 时面积最大，此时三边长为7, 7, 6,用2、5连接，3、4连接各为一边，第三 边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为故选B.12. （5分）（2006?全国卷I）设集合I=1, 2, 3,

17、 4, 5.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A. 50 种 B. 49 种 C. 48 种 D. 47 种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别 计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同 的元素，且都不是空集，按 A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案.【解答】解:解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有 C2=10种;若集合A中有一个元素，集合 若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法

18、种数有B中有三个元素，则选法种数有若集合A中有一个元素，集合 若集合A中有两个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有B中有一个元素，则选法种数有若集合A中有两个元素，集合 若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有B中有三个元素，则选法种数有若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10 种;C4=5 种；C55=1 种；C53=10 种;C4=5 种；C55=1 种;C4=5 种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1 种;C55=1 种;总计有49种，选B.解法二：集合A、B中没

19、有相同的元素，且都不是空集, 从5个元素中选出2个元素，有C2=10种选法，小的给A集合，大的给B集合; 从5个元素中选出3个元素，有。3=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的 一组给A集合，较大元素的一组的给 B集合，共有2X10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3; 2、2; 3、1两组, 较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3X5=15种方法;从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4; 2、3; 3、2; 4、1两组，较小元素的一组给 A集合，较大元素的一组的给 B集合，共有4X1=4种方法；总计为10+20+1

20、5+4=49种方法.选 B.二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13. （4分）（2006?全国卷I）已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为恨兄,则侧面与底面所成的二面角等于60【分析】先根据底面对角线长求出边长， 从而求出底面积，再由体积求出正四棱 锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可.【解答】解：正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为|2小，底面边长为 唔 底面积为12, 所以正四棱锥的高为3,则侧面与底面所成的二面角的正切tan ab,一二面角等于60°,故答案为60014. （4分）（2006?全国卷I ）设z=2y- x,式中变量 x、y满足下

21、列条件:2K - 13肝2y<2 3 ,贝z的最大俏为11 .【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y- x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在 y轴上的截距最大值即可.2k -1【解答】解：* 3x+2y<23 ,在坐标系中画出图象,三条线的交点分别是A (0, 1), B (7, 1), C (3, 7),在AABC中满足z=2y-x的最大值是点C,代入得最大值等于11.故填：11.15. （4分）（2006?全国卷I ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班， 每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共 有 240

22、0种（用数字作答）.【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后 5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，根据分步计数原理知共有20 乂 120=2400种安排方法.故答案为：240016. （4分）（2006?全国卷I）设函数f8）;c氯心叶4）（0。冗）.若f （x） +f'(x)【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，f8）4 f庭比小），根据奇函数的性质可得

23、x=0时函数值为0,代入可求小的值【解答解：/（K）二-小,TT则 f (x) +f ' (x)=匚口£«/中)-)二2耳inL- 百X - 中)，为奇0函数,令g (x) =f (x) +f'(x),即函数g (x)为奇函数,g (0) =0? 2sin (二-6) =0,. 0< (|)< Tt,故答案为:三、解答题（共6小题，满分74分）17. （12分）（2006?全国卷I） ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时， 8孤普8号取得最大值，并求出这个最大值.【分析】利用三角形中内角和为 阳将三角函数变成只含角A,再利用三角函数 的二

24、倍角公式将函数化为只含角 A,利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=兀，得B+CJ A, 222所以有 cosi=sin. 22cosA+2cos=cosA+2sin=1 - 2sin27-+2sin-L=2 （siny-y） 2+1当si哈A,即A=-时，cosA+2co皮板取得最大值为得 E 上a JE上_1故最大值为二18. （12分）（2006?全国卷I ） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验 组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用 B,然后观察疗效.若在一个试验组中，服用 A有效的小白鼠的只数比服用B有 效的多，就称该试验组为甲

25、类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为三，服用B有效的概率为（I）求一个试验组为甲类组的概率；（H）观察3个试验组，用士表示这3个试验组中甲类组的个数，求 己的分布列和数学期望.【分析】(1)由题意知本题是一个独立重复试验， 根据所给的两种药物对小白鼠 有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比 较，得到甲类组的概率.(2)由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是 一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和 期望.【解答】解：(1)设A表示事件 个试验组中，服用A有效的小鼠有i只；'i=0, 1, 2,Bi表

26、示事件 j个试验组中，服用B有效的小鼠有i只：i=0, 1, 2, 依题意有：P(A1)=2X-|-x|-=l,P(A2)=y X-1=l.P(Bo)=- X-=yP (B1) =2X-Lx1=1,所求概率为：P=P (Bo?A1)+P (Bo?A2)+P (B1?A2)_LX4,1X4,1X4_4八+八+八44299(n)己的可能值为0,1,2, 3且0B (3,2).PPPPa=0谒)至(E =1 =Q1 x|x *)2嗡,2=*2*寺嗡,(E3)=(二) y3:1729己的分布列为:E 0123P 坨迦里旭 729243243729数学期望EE = 3|:|.19. (12分)(2006

27、?全国卷I )如图，11、12是互相垂直的异面直线，MN是它们 的公垂线段.点 A、B在11上，C在12上，AM=MB=MN.(I )证明 AC，NB;(H )若/ ACB=60,求NB与平面ABC所成角的余弦值.【分析】(1)欲证AC! NB,可先证BNX面ACN,根据线面垂直的判定定理只需ffi ANXBN, CNJ± BN 即可;(2)易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH, / NBH 为NB与平面ABC所成的角，在RtANHB中求出此角即可.【解答】解：(I)由已知l2±MN , I2H1, MNAli=M,可得12,平面ABN.由已知 MN

28、Xli, AM=MB=MN,可知 AN=NB且 ANXNB.又AN为AC在平面ABN内的射影.AC± NB(H) v AM=MB=MN, MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN, RtA CAN RtA CNB, .AC=BC 又已知/ ACB=60,因此 ABC为正三角形.v RtAAN® RtACNB,NC=NA=NB因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH, /NBH为NB与平面ABC所成的角.AB返*UD 3在 RtNHB 中，cos/ NBH晋yABNB 7 220. (12分)(2006?全国卷I )在平面直角坐标系xOy中，有一

29、个以F/0,-行) 和13,遥)为焦点、离心率为哼的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C, 动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为 A、B,且向量V- 求：(I )点M的轨迹方程；(H) |而|的最小化【分析】(1)利用相关点法求轨迹方程，设 P (xo, yo), M (x, y),利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据xo, yo满足C的方程即可求得；(2)先将|而|用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的 最小值即可.223一b =3【解答】解：(I)椭圆方程可写为： ，=1式中a>b>0,且仃二区 得k目 2a2=4, b2=1, 2所以曲

30、线 C的方程为：x2+-=1(x>0,y>0).y=2Ji (0<x< 1)y'=设 P (xo, yo),因 P在 C上，有 O<xo< 1, yo=2j - 舄,y'| x=xo=-广,得切线AB的方程为：y=(x xo) +yo.设A (x, o)和B(o, y),由切线方程得x,，y"-. 工n Vn由5S=6R6H得M的坐标为(x, y),由X0, y0满足C的方程，得点M的轨迹方 程为： 噢+号1 (x>1, y>2)x y(R ) 1M12=x2+y2, y2=-=4+-一， 1-3 x2-li. | OT

31、| 2=X2 - 1+5> 4+5=9.x2 - 1且当x2- 1- /,即x/>1时，上式取等号.J-1故|丽的最小值为3.21. (14分)(2006?全国卷I)已知函数f(E)二上七建一对.1 一1(I )设a>0,讨论y=f (x)的单调性；(H)若对任意x (0, 1)恒有f (x) >1,求a的取值范围.【分析】(I )根据分母不为0得到f (x)的定义域，求出f (x),利用a的范 围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f (x)的单调区问；(H)若对任意xC (0, 1)恒有f (x) >1即要讨论当0<a0 2时，当a>2时, 当

32、a 0 0时三种情况讨论得到a的取值范围.【解答】解：(I) f (x)的定义域为(-8, 1)u (1, +8).对f (x)求导 数得 f (x) ="+N ：e ax.(1-工)22 K2(i )当 a=2时，f (x) =,e 2x, f (x)在(oo, 0),(0, 1)和(1,+oo)均大于0,所以f (x)在(-oo, 1), (1, +oo)为增函数.(ii)当 0<a<2 时，f (x) >0, f (x)在(oo, 1), (1, +oo)为增函数.(iii)当 a>2 时，0V<1,令 f (x) =0,a解得xi 二a- 23.2当X变化时,f'(X)X2=f (X)1）,（1, +oo）为增函数，f（X）在（-a- 2(H) ( i )当 0<a02 时，由(I )知：对任意 x (0, 1)恒有 f (x) >f (0)（ii）当 a>2 时，取 Xo：a.- 2a(0, 1),则由(I )知 f (xo) <f(0) =1(iii)当a< 0时，对任意x (0, 1),包有31 _ 3>1 且 eax> 1,得 f(x)1+k1 - x综上当且仅当a （-8, 2时，对任意x （0, 1）恒有f （x） >1.22. （12分）（2006?全国卷