北京航空航天大学材料力学课件-刘华-5第五章弯曲内力

1、Page1 Page2上图：水闸立柱上图：水闸立柱下图：跳板下图：跳板弯曲实例弯曲实例Page3弯曲弯曲变形特征变形特征：轴线变弯轴线变弯以弯曲为主要变形形以弯曲为主要变形形式的杆式的杆梁梁受力特征受力特征：力或力矩矢力或力矩矢 量垂直于轴线量垂直于轴线平面弯曲：平面弯曲：水橋也。水橋也。 说文解字说文解字Page4 梁上的外力梁上的外力 梁上的计算简图梁上的计算简图Page5主要约束形式与反力主要约束形式与反力 固定固定铰支座：铰支座：支反力支反力 FRx 与与 FRy 可动可动铰支座铰支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端：端：支反力支反力 FRx , FRy

2、 与矩为与矩为 M 的支反力偶的支反力偶Page6 静定梁的形式：静定梁的形式：静定梁静定梁静不定梁静不定梁Fq(x)简支梁简支梁q(x)FFF外伸梁外伸梁FF悬臂梁悬臂梁FPage7拉压杆横截面上的内力拉压杆横截面上的内力轴力轴力受扭轴横截面上的内力受扭轴横截面上的内力扭矩扭矩受弯曲梁横截面上的内力受弯曲梁横截面上的内力？内力分析内力分析应力分析应力分析变形分析变形分析Page8QQ 以简支梁为例，分析梁的内力以简支梁为例，分析梁的内力ABFFAyFFBymmFByFsM FY=0 FS+ FBy=0 FS= -FBy MC=0 -M+FByl=0 M= FBylFS剪力剪力 M弯矩弯矩Pa

3、ge9剪力：剪力：使微段有沿顺时使微段有沿顺时针方向转动趋势为正针方向转动趋势为正弯矩：弯矩：使微段弯曲呈使微段弯曲呈凹形为正凹形为正弯矩符号另一定义：弯矩符号另一定义：使使横截面顶部受压为正横截面顶部受压为正剪力与弯矩的符号规定剪力与弯矩的符号规定Page10Page11lABqFAyFByqFAyxFSM例：例：试建立图示简支梁的剪试建立图示简支梁的剪力、弯矩方程，画剪力、弯力、弯矩方程，画剪力、弯矩图。矩图。解：解：1、求支反力，由梁的平衡：求支反力，由梁的平衡： FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐标轴建立坐标轴Ox轴轴3、在截面在截面x处截取左段为研处截取左段为研究对象，根据平衡条

4、件：究对象，根据平衡条件：FS=ql/2-qx FY=0, FAy-qx-FS=0 MC=0, M-FAyx+qx(x/2)=0 M=qlx/2-qx2/2Page12FS=q(l-2x)/2 0 x l M= qx(l-x)/2 0 x llABqFAyFByxoFS:xFSql/2ql/2+_M:xMql2/8+4、根据剪力、弯矩方程画根据剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图剪力、弯矩图注意事项：注意事项：载荷、剪力、弯矩图对齐载荷、剪力、弯矩图对齐标注段值、极值、正负号标注段值、极值、正负号按工程图要求，请用工具按工程图要求，请用工具 作图作图Page13例：例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图

5、建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图1、求支反力求支反力：FAy=bF/(a+b) FBy= aF/(a+b) 2、建立坐标：建立坐标：3、建立剪力、弯矩方程：建立剪力、弯矩方程：(截面法截面法)FAyFByxFAyxFSMFS=FAy (0 x a) M=FAyx (0 x a) ABFabFS=FAy - F (a x a+b) M=FAyx-F(x-a) (a x a+b) FAyxFSMFPage14ABFabx1x2FS=FAy (0 x1 a) M=FAyx1 (0 x1 a) FS=-FBy (0 x2 b) M=FByx2 (0 x2 b) FF 也可以建立局部坐标：也可以建立局部

6、坐标：FAyx1FSMFByx2FSMPage15ABFabx1x2FS=FAy (0 x1 a) M=FAyx1 (0 x1 a) FS=-FBy (0 x2 b) M=FByx2 (0 x2 b) FS:xFSbF/(a+b)+_aF/(a+b)M:xM+abF/(a+b)$ 在集中力作用处在集中力作用处( (包括包括支座支座) )剪力有突变剪力有突变, ,突变量突变量等于集中力之值。等于集中力之值。Page16例：例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图qqa2aaABCx可以不求支反力可以不求支反力建立坐标建立坐标建立剪力弯矩方程：建立剪力弯矩方程：FS=-

7、qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x a) FS=-qa (a x 2a) M=qa2-qa(x-a/2) (a x 2a) xAqFSMqqa2xABFSMPage17qqa2aaABCxFS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x a) FS=-qa (a x 2a) M=qa2-qa(x-a/2) (a x 2a) FS:xFS_qaM:xM+qa2/2_qa2/2qa2/2$ 在集中力偶作用处在集中力偶作用处( (包括支包括支座座) ) 弯矩有突变弯矩有突变Page18Aq4RFqaBCa3aAyFByF( )a1x2x43qa53qaqa( ) csF212q

8、a289qa( )dMRFqa4 AByMFqa30,4 AM0 ByFqa83 解：解：1、计算支座反力、计算支座反力，作用于，作用于AC梁中点。梁中点。例：例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图43qa1SF1x1M2SF2x2M( )bsFqaqx1143 Mqaxqx21114132 xa103 AB段内力段内力sFqx22 Mqx22212 xa20 BC段内力段内力Page19解：解：1. 求支反力求支反力2oRlqF 6olqFAy 3olqFBy 例：例：三角形分布载荷作用，画剪力与弯矩图三角形分布载荷作用，画剪力与弯矩图2. 建立剪力弯矩方程建立

9、剪力弯矩方程lxqxlqF00S26 200S26xlqlqF 32600 xlxqxxlqM 30066xlqxlqM l3lAyFByFABRF0qlx06q lAB0q q x03q lx06q l0q x lSFMPage203. 画剪力弯矩图画剪力弯矩图200S26xlqlqF 2 次抛物线次抛物线30066xlqxlqM 3 次曲线次曲线00qlqdMxdxl 20623/lxC 396620300lqxlqxlqMCCC lx06q lAB0q q x03q lSFxCxC06ql03ql Mx 209 3q l/3lPage21总结：总结：QQ 分析步骤：分析步骤：求支反力求支

10、反力建立坐标建立坐标建立剪力弯矩方程建立剪力弯矩方程画剪力弯矩图画剪力弯矩图QQ 当需要分段列剪力弯矩方程时（集中力，集中力偶，分布载当需要分段列剪力弯矩方程时（集中力，集中力偶，分布载 荷不作用在整个梁段），可以采用荷不作用在整个梁段），可以采用整体坐标整体坐标或或局部坐标局部坐标。QQ 剪力弯矩图中要标明剪力弯矩图中要标明符号符号以及以及特征点的大小特征点的大小。QQ 剪力图在有剪力图在有集中力集中力作用处（包括支座处），发生突变。作用处（包括支座处），发生突变。QQ 弯矩图在有弯矩图在有集中力偶集中力偶作用处（包括支座处），发生突变。作用处（包括支座处），发生突变。Page22若简支梁上

11、承受一集中力，则最大弯矩发生在集中力若简支梁上承受一集中力，则最大弯矩发生在集中力作用处，若简支梁上承受一段均匀分布载荷，纳维认作用处，若简支梁上承受一段均匀分布载荷，纳维认为最大弯矩发生在分布载荷的合力处。为最大弯矩发生在分布载荷的合力处。 1 1）你认为纳维的结论是否正确？）你认为纳维的结论是否正确？ 2 2）若认为不正确，请给出正确结论。）若认为不正确，请给出正确结论。思考题：思考题：ABFabABqCPage23最大弯矩是否发生在分布载荷的合力作用处？最大弯矩是否发生在分布载荷的合力作用处？ABqablRARBqlbqlaFFabab11RAMFx 22221()22RAlMFxaqx

12、33RBMFx x2x1x32220RAdMFqxdx2blxab 22SRAFFqxPage2411RAMFx 22221()22RAlMFxaqx33RBMFx 1223SRASRASRBFFFFqxFF 12300qqqq SSdFdMFqdxdxABqablx2x1x3Page25一、微积分关系的推导一、微积分关系的推导取梁一长取梁一长dx微段，微段，研究它的平衡研究它的平衡(a) 0)d(d 0SSS FFxqF,FyS dddd0 (b)CMxMMq xF xM 0,2SddFqx SddMFx 2ddMqx 2q 向上为正向上为正 x x 向右为正向右为正注意：注意：积分关系：积

13、分关系：SSFqdxMF dx ,Page26二、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）二、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）qxF ddSSddFxM qxM 22ddQQ 剪力图某点处的切线斜率剪力图某点处的切线斜率 = = 该截面处载荷集度的大小该截面处载荷集度的大小QQ 弯矩图某点处的切线斜率弯矩图某点处的切线斜率 = = 该截面处剪力的大小该截面处剪力的大小QQ 该截面处载荷集度的正负该截面处载荷集度的正负 决定决定 弯矩图某点处的凹凸性弯矩图某点处的凹凸性(q0,凹凹)Page27例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2

14、aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy= 7qa/85qa/87qa/82、求出、求出特征点特征点的剪力弯矩值：的剪力弯矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲线斜线斜线M图斜线水平线水平线Fs图q 0q = 0q = 0qFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1283、确定各段的、确定各段的曲线形状曲线形状：4、画剪力弯矩图：、画剪力弯矩图：Page28M F向上向上, ,向上向上突变突变M Me顺时顺时针针, ,

15、向上突变向上突变qxF ddSSddFxM qxM 22dd（喻打伞）（喻打伞）Page291、截面法截面法 基本方法基本方法2、面积法面积法 (积分法积分法) ：0( )( )xSSdFq xFq x dxCdx 0 xSSdMFMF dxDdx x左边分布载荷的面积左边分布载荷的面积 + x左边的集中载荷左边的集中载荷( (包包 括支反力括支反力) )= x左边剪力图的面积左边剪力图的面积 + x左边的集中力偶左边的集中力偶( (包包 括支反力偶括支反力偶) )=M顺时针顺时针为正为正q、F向上向上为正为正FF 求特征点剪力、弯矩值的方法求特征点剪力、弯矩值的方法：Page30qaqa2a

16、/2-+qaABCqa5/4qa2qa2qa2ABC - 跟着箭头走跟着箭头走先求支反力，从先求支反力，从左往右去，左往右去，剪力图口诀剪力图口诀根据剪力图，两点根据剪力图，两点对一段；若遇到力对一段；若遇到力偶，顺上逆下走。偶，顺上逆下走。弯矩图口诀弯矩图口诀2qaaACBqa例：例：Page312S2d Fdq0dxdx例：例：利用微积分关系画三利用微积分关系画三角形分布载荷剪力弯矩图角形分布载荷剪力弯矩图 lx06q lAB0q q x03q lSFxCxCq l06q l03 l06q lAB0q03q l-q剪力图凸曲线剪力图凸曲线20maxCSA cql2MMF x39 31. 载

17、荷的坐标图载荷的坐标图2. 分析剪力图凹凸性分析剪力图凹凸性3. 求剪力图零点求剪力图零点4. 求弯矩图极值求弯矩图极值Mx 209 3q l/3lq=ax+b200ccq lq xl0,x62l3-Page322qaqaDqaa剪力图a22qa2qa232qa2qa弯矩图ABC2qaqaq2qaa2a2qaqa例：例：已知剪力、弯矩图，已知剪力、弯矩图， 试画载荷图。试画载荷图。1. 根据剪力图定集中与分布力根据剪力图定集中与分布力2. 根据弯矩图的跳跃值定集中根据弯矩图的跳跃值定集中与分布力偶。与分布力偶。解：解：思考：是否能唯一确定载思考：是否能唯一确定载荷图的约束形式？荷图的约束形式？

18、Page33例：例：载荷载荷F F 可以在整个梁段上移动，当支座位于何位置时可以在整个梁段上移动，当支座位于何位置时（a=?a=?），梁上的最大弯矩值（绝对值）最小。），梁上的最大弯矩值（绝对值）最小。（双杠问题）（双杠问题）Faal 解：解：当载荷位于梁端点时当载荷位于梁端点时正负弯矩绝对值相等时，梁上最大弯矩正负弯矩绝对值相等时，梁上最大弯矩（绝对值）最小。（绝对值）最小。minMFa 当载荷位于梁中点时，当载荷位于梁中点时，max1MF(l2a )4令：令：minmaxMM, la6 F-FaF+0.25F(l-2a)Page34例：例：FaFACBFAyPage35FcyFcyFByC

19、FaFBACMBFAyFaFACBFAyPage36FaFACBFAyxFSF_2FxM+Fa2Fa梁间铰只能传递力，不能传梁间铰只能传递力，不能传递力偶矩，只要梁间铰相连递力偶矩，只要梁间铰相连两横截面无外力偶作用，则两横截面无外力偶作用，则该二截面的弯矩为零。该二截面的弯矩为零。FFFaA2FB2FaFFFaAF2FB2FaFPage37sF12qa32qa( 1)cx例：例：F1/2qaqa2qBCM232qa( 2)cx2qaPage38刚架：刚架：用刚性接头连接用刚性接头连接的杆系结构的杆系结构一、刚架一、刚架刚性接头的力学性质：刚性接头的力学性质： 约束限制相连杆端截约束限制相连杆

20、端截面间的相对线位移与角位移面间的相对线位移与角位移 受力既可传力，也可受力既可传力，也可传递力偶矩传递力偶矩Page39二、刚架的内力及其符号二、刚架的内力及其符号刚架的内力包括轴力、扭矩、剪力和弯矩，刚架的内力包括轴力、扭矩、剪力和弯矩，其中轴力、扭矩其中轴力、扭矩和剪力符号与前相同。和剪力符号与前相同。弯矩图不标正负号，画在受压一侧。弯矩图不标正负号，画在受压一侧。MM认为正弯矩认为正弯矩观察者观察者B观察者观察者A认为负弯矩认为负弯矩M两观察者均会将图画在右侧（受压侧）两观察者均会将图画在右侧（受压侧）注释：注释：弯矩符号规定下凹为正，上弯矩符号规定下凹为正，上凸为负，与坐标方向相关。凸为负，与坐标方向相关。无论是正弯矩，还是负弯矩无论是正弯矩，还是负弯矩按规定都画在受压一侧，与按规定都画在受压一侧，与坐标方向无关。坐标方向无关。实际作图，可任选正向，不标正负号，实际作图，可任选正向，不标正负号，即可取得一致：画在受压一侧。即可取得一致：画在受