圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1、aiylOAr圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆可以看成的圆可以看成是所有到定点是所有到定点O的距离等于定长的距离等于定长R的点组成的图形。的点组成的图形。（1）圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心）圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小确定圆的位置，半径确定圆的大小,只有当给出圆只有当给出圆心和半径这两个要素之后，才能够确定一个圆。心和半径这两个要素之后，才能够确定一个圆。（2）圆是指）圆是指“圆周圆周”，是曲线，而不是，是曲线，而不是“圆圆面面”。（3）同一个圆的半径处处相等。）同一个圆的半径处处相等。弦弦连接圆上任意两点的线段连接圆上任意两点的线段(图中

2、的线段图中的线段AB,AC).直径直径经过圆心的弦经过圆心的弦(图中的图中的AB).注意注意: :凡直径都是弦凡直径都是弦,是圆中最长的弦是圆中最长的弦但弦不一定是直径但弦不一定是直径.OBCA 1.如图如图,半径有半径有:_OA、OB、OC 2.如图如图,弦有弦有:_AB、BC 、AC大于半圆的弧大于半圆的弧（用三个点表示，如：（用三个点表示，如： 或或 或或 ），），叫做叫做优弧；优弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫做每一条弧叫做半圆半圆.OBCA 1.如图如图,ABBC2 .劣弧劣弧有有:优弧优弧有：有：ACBBAC你知道优弧

3、与劣弧的区别么？你知道优弧与劣弧的区别么？判断判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆半圆是弧，但弧不一定是半圆.( ).OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA180 所以圆是中心对称图形。圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转180180后仍与原来的圆重合后仍与原来的圆重合。NO把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角

4、度旋转任意一个角度 ，NON把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON把圆绕把圆绕圆心旋圆心旋转任意转任意一个角一个角度后，度后，仍与原仍与原来的圆来的圆重重合合。把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，由此由此可以可以看出看出，点点N仍落仍落在圆在圆上。上。圆的旋转不变性：圆的旋转不变性：圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于旋转角可为大于0 00 0且小于且小于3603600 0的任何一个角。的任何一个角。注注： 旋转角为旋转角为180180O O 旋转，旋转

5、，说明圆是以圆心为对称中说明圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。心的中心对称图形。如图中所如图中所示示 NO NNO N 就是一个就是一个圆心角圆心角。NON定义：顶点在圆心的角叫圆心角。定义：顶点在圆心的角叫圆心角。 圆心角圆心角 所对所对的弧为的弧为 AB，A AO OB B 过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线, 垂足垂足为为M,OABM顶点在圆心的角顶点在圆心的角,叫叫圆心角圆心角，如如 , A AO OB B所对的弦为所对的弦为AB；OM是唯一的。是唯一的。 则垂线段则垂线段OM的长度的长度,即圆即圆心到弦的距离，叫心到弦的距离，叫弦心距弦心距 , 图图中，中，OM为为AB弦的弦心距。

6、弦的弦心距。判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。2、下列图中弦心距做对了的是（ ） 由上分析，任意给圆心角，对应出现四个量：由上分析，任意给圆心角，对应出现四个量：圆心角圆心角弧弧弦弦 弦心距弦心距 圆心角圆心角弧弧之间的关系之间的关系弦弦 弦心距弦心距课题ABCDo下面我们一起来观察一下：在下面我们一起来观察一下：在 O中有哪些圆心角？（请举出两中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面

7、我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关

8、系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧

9、有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对

10、的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：如果： AOB= CODABCDo 证证明明:OA=OC， OB=OD AOB=COD, 当点当点A与点与点C重合时，重合时， 点点B与点与点D也重合。也重合。 AB=CD，圆心角定理：在同圆或等圆中，在同圆或等圆

11、中，相等的圆心角所相等的圆心角所对的弧相等对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦也相等。 AB = CD。已知已知:如图如图AOB= COD,求证求证: AB=CD， AB = CD。B=CD吗吗？弧弧AB与弧与弧CD呢？呢？O如图，如图， O 和和 O 是等圆，是等圆，如果如果 AOB= AOB 那么那么 AB=AB 、AB= AB 、OM=OM。圆心角定理圆心角定理 : : 在同圆或等圆中，相等的圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。距相等。已知：如图已知：如图5, AOB = AOB , OM、OM

12、分别是弦分别是弦 AB、弦、弦 AB 的弦心距的弦心距.求证：求证： AB=AB , AB= AB , OM=OM 证明：证明：将将AOB连同连同AB绕圆心绕圆心O旋转，旋转， 使射线使射线OA与射线与射线OA 重合重合 .又根据弦心距的唯一性，得又根据弦心距的唯一性，得OM=OM图图 5 BAAB,BAABBB,AABOOB,AOOABOOB 重合 与 合 重 与重合 与BOAAOB条件条件结论结论在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果圆心角相等如果圆心角相等那么那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的弦心距相等圆心角所对的弦的弦心距相等在同圆或

13、等圆中在同圆或等圆中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所对的圆心角相等弦所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所对的圆心角相等弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等推论：推论：在同圆或等圆中，如果两个圆在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦

14、或两条心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。量都分别相等。如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，lOE、OF为为AB、CD的弦心距，的弦心距，如果如果ABCD，那么，那么 ， ， ；l如果如果OEOF，那，那么么 ， ， ；l如果弧如果弧AB弧弧CD，那，那么么 ， ， ；l如果如果AOBCOD，那，那么么 ， ， 。OABECDF下列说法正确吗？为什么？下列说法正确吗？为什么？在在 O和和 O中，中，AOBAOBABAB在在 O和和 O中，中，ABAB，弧弧AB弧弧AB注意前

15、提：注意前提：在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果如果 AOB = COD ABCDOEFAC = BD ABCDO 如果如果 AB = CD ，则图中有哪些弧等？则图中有哪些弧等？AB = CD AC = BD ？AC = BD ？AB + BC CD + BC =AC = BD 例例1.如图如图,在在 O中中, ACB=600,求证求证: AOB= BOC= AOCABAC=O证明证明:AB=AC,AB=AC, ACB=60 ABC为等边三角形为等边三角形,AB=AC=BC, AOB= BOC= AOCABC如图如图,已知已知AD=BC,求证求证:AB=DC证明：证明： AD=BC弧弧AD=弧

16、弧BC弧弧DC=弧弧BADC=AB证明：证明： C是弧是弧AB的中点的中点,AC=BC, AOC = BOC, AOB =120AOC = BOC=60 AO=OC=OB AOC, BOC是等边三角形是等边三角形,AO=OB=BC=AC已知：如图，点已知：如图，点P在在 O上,点点O在在EPF的平分的平分线上线上， EPF的两边交的两边交 O于点于点A和和B。求证：求证：PA=PB.EFABPO已知：如图，点已知：如图，点O在在EPF的平分线上的平分线上， O和和 EPF的两边分别交于点的两边分别交于点A，B和和C，D。求证：求证：ABCDEFOPACBD已知：如图，已知：如图， O的弦的弦AB，CD相交于相交于点点P，DPO= BPO 。求证：求证：ABCDOCDABP已知：如图，已知：如图，AD=BC.求证：求证：ABCDOCBDAEOCBDAP3、已知：如图，已知：如图， PBPD. 求证：求证： AB=CD 。2、已知、已知AB和和CD为为O的两条直径，弦的两条直径，弦EC/AB, ,弧弧EC的度数为的度数为40，求，求BOD的度的度数。数。OBADCE圆圆O是是 ABC的外接圆，的外接圆，AE平分平分ABC的的外角外角DAC，ON