题型五立体几何中的空间角问题

1、题型五立体几何中的空间角问题AD=DE=2AB1?如图所示，已知 AB 丄平面 ACD , DE 丄平面 ACD , ACD 为等边三角形 F为 CD 的中点.求证： AF / 平面 BCE;求证：平面 BCE 丄平面 CDE ;求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值 .C是 AB 的中2. （2011 湖南）如图，在圆锥 PO 中，已知 PO= 2, O O 的直径 AB = 2 点，D为 AC 的中点.证明：平面 POD 丄平面 FAC;求二面角 BFA C的余弦值 .答案1. (1) 证明标系设 AD = DE = 2AB = 2a,以 A 为原点， AC 为 x 轴，AB 为 z

2、 轴，建立如图所示的直角坐A xyz ，则 A(0,0,0) ，C(2a,0,0) ，B(0,0，a)，D(a，3a,0) ，E(a， 3a,2a) .因为 F 为 CD 的中点，所以 F 3a23a, o .AF =a, "23a, 0 , BE= (a，:. 、： 3a, a), BC=(2a,0 , a).因为 AF = 1(BE + BC),AF?平面 BCE,所以 AF / 平面 BCE.T (3!3l(2)证明 因为 AF =尹 ，亍a, 0 , CD =( a,3a,0) ,ED = (0,0, 2a)，故 AF CD = 0,AF ED = o, 所以 AF 丄 CD

3、 , AF 丄 ED. 所以 AF 丄平面 CDE.又 AF / 平面 BCE ，所以平面 BCE 丄平面 CDE. 解 设平面 BCE 的法向量为 n = (x, y, z).由 n BE= 0, n BC= 0,可得 x+ ? 3y+ z= 0,2x z= 0, 取 n = (1, 3, 2).又篩=3a, _23a, a，设 BF 和平面 BCE 所成的角为 0, 则 sin 0=虹=& = 逼 |BF| n | 2a224.所以直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 .2. 方法(1)证明如图，连接OC, 因为 OA= OC , D 是 AC 的中点，所以AC 丄 OD.

4、又 PO 丄底面 O O , AC? 底面 O O, 所以 AC 丄 PO.因为 OD , PO 是平面 POD 内的两条相交直线 ,所以 AC 丄平面 POD , 而 AC?平面 PAC, 所以平面 POD 丄平面 PAC.解在平面 POD 中，过 O作 OH 丄 PD 于 H，由知，平面 POD 丄平面 PAC, 所以 OH 丄 平面 FAC.又 PA?平面 PAC ,所以 PA 丄 OH.1 15=血 25=5 .在平面 PAO 中，过 O 作 OG 丄 PA 于 G,连结 HG ,则有 PA 丄平面 OGH ，从而 PA 丄 HG, 故/ OGH 为二面角 B PAC 的平面角 .在O

5、DA 中,OD = OAS" 45 =乎.Rt屁誓L在RtPOD 中,OOHH PO OD P讨O O22D 苗 0 OH = ,PO2+ OD2 15 -2 + 12十2在Rt POA 中,PO OA 2 X16寸 PO2+ OA22+ 13在RtOHG 中,sin/ OGH = OG =壬=巧OG 6 5 -所以 cos/ OGH = .'1 sin2 / OGH =故二面角 B PA C 的余弦值为 -40.5方法(1)证明 如图，以 O为坐标原点， OB , OC, OP 所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(O,O,O) , A( 1,0,0)

6、, B(1,0,0) , C(0,1,0) , P(0,0 ,2),1 1 Q(-1，2, 0丿设叫=(X1, y1, Z1)是平面 POD 的一个法向量 则由 n 1 OD = 0, n OP= 0,得-1x +11y1.2z 1= 0.所以 Z1 = 0, X1 = y1.取 y1= 1，得 n 1= (1,1,0) .设 n2= (X2, y2, Z2)是平面 PAC 的一个法向T T 则由 n2PA= 0,n2 PC = 0，得羽 Z2=J2寸 2Z2=00.= 0 ，所所以 x2=J2z2,y2= t2z2.取Z2=1，得n2=(J2,J2,1 - 因为nm2= (1,1,0)(y22, 1)以 n敗 .从而平面 POD 丄平面 PAC. 解因为 y 轴丄平面 PAB, 所以平面 PAB 的一个法向量为 n3= (0,1,0) .由知，平面 PAC 的一个法向量为 n2= ( 2, 2, 1). 设向量