大跨度桥梁中几何非线性综述1

1、大跨度桥梁中几何非线性综述摘要：随着桥梁跨度的不断增加，非线性因素对结构的影响也越来越大。本文首先对三种非线性因素进行了较为详细的介绍，并且对斜拉桥、悬索桥和拱桥等受非线性影响较为明显的三种桥梁进行了非线性分析。文章的最后介绍了目前通用的七种有限元程序对于非线性问题的考虑程度。关键词：大跨度桥梁、非线性、有限元分析引言桥梁(指悬索桥和斜拉桥)的几何非线性源于四个方面：1、恒载初始内力；2、 斜缆垂度效应；3、梁一柱效应；4、大变形效应。普通的结构计算位移和内力时并不需要考虑自重的影响，但是对于这两种桥梁，恒载作用下，在索中产生巨大的拉力，对结构的整体刚度影响较大，从而对结构的位移、内力有影响，

2、解决方法是：在刚度矩阵中考虑几何刚度项。单元初内力对单元刚度矩阵的影响。一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。在大跨径桥梁结构分析中遇到的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的结构刚度变化对本期荷载响应的影响问题。1关于缆索的垂度效应，它也是一种大变形效应，目前，一般都采用厄恩斯特(Ernst)公式来修正单元的弹性模量，用一等效的杆单元来模拟斜缆索；也有采用多根直连杆或曲线单元来模拟，曲线单元精度较高，但较复杂。关于粱一柱效应，较精确的方法是用稳定函数法，它能考虑弯矩对轴力、轴力对弯矩、弯矩对扭转、剪力

3、对轴力等影响。通常计人几何刚度的方法是稳定函数法的一阶近似。关于大变形效应，采用TL法或UL法。对桥梁的材料非线性动力问题研究得较多，但是对几何非线性的动力问题研究得较少且不成熟。23目前，对于悬索桥、斜拉桥的几何非线性动力问题的处理。只限于恒载初始内力和缆索垂度效应，即考虑恒载产生的初始内力对刚度项的修正后，其它仍按线性分析计算。这样处理的原因在于：1、计算简单，动力问题的时程分析可以看作有限多个静力问题的集合，如果每个静力问题都按非线性处理，计算量将非常大；2、精度较好，恒载在结构外荷载中所占比例较大，桥梁在恒载作用下，缆索已被拉紧，再产生大的变形可能性较小。但是，随着跨度的增加，结构柔性

4、的增大，这种近似的处理方法有可能出现问题。如在进行悬索桥和斜拉桥的动力特性分析时，悬索桥考虑其恒载初始内力的影响，而斜拉桥则不考虑，但是当斜拉桥跨度超过500m 时，若其主梁采用混凝土材料，结构自重将在桥塔内产生非常大的轴压力，忽略其影响，将可能造成对结构抗震验算很重要的前几阶频率产生较大的误差。目前对于缆索非线性采用等效弹性模量法，随着缆索长度的增大，误差也会越来越大。另外，在时程分析中，忽略大变形的影响，将造成误差累计，最终计算结果可能偏离很大。这些问题都需要进一步研究。41. 桥梁结构几何非线性分析 桥梁结构几何非线性分析一般采用有限位移理论，在建立以杆系结构有限位移理论为基础的大跨径桥

5、梁结构几何非线性分析平衡方程时，一般考虑以下三方面的几何非线性效应：（1）杆端初内力对单元刚度矩阵的影响。一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。结构分析中的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的刚度变化对本期荷载响应的影响问题。（2）大位移对建立结构平衡方程的影响。此问题有两种考虑办法，一是将参考坐标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题，称为T.L列式法；另一种是以将参考坐标选在变形后的位置上，让节点坐标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上，称为U.L列式法

6、。（3）索垂度效应对单元刚度的影响。此问题亦有两种处理方法，一是引入Ernst公式，通过等效模量法来近似修正垂度效应，而用杆单元近似模拟索类构件；另一种是直接导出索单元切线刚度矩阵。22. 杆端初内力对单元刚度矩阵的影响。12.1 轴力对弯曲刚度的影响如图所示压杆的内力和位移为正，其挠曲平衡微分方程为： （2-1）方程的解为： （2-2）引入边界条件： （2-3）于是 （2-5） （2-6）如果轴力为拉力，则： （2-7）c和s为轴力影响下，杆端单位力矩引起的杆端角形变形，c为力矩作用端的角变形，s为另一端的角变形。最后，可导出有初轴力的杆单元刚度方程为： （2-8） （2-9）其中：是轴力的

7、函数，称为稳定函数，其值随的变化而变化。以稳定函数表达的刚度系数包含了轴力对弯曲刚度的影响，相当于切线刚度阵中弹性刚度系数与几何刚度系数之和。2.2 弯矩对轴向刚度的影响杆单元的弯曲将引起杆件计算长度（杆件两端节点的距离）的改变，从而影响杆件的轴向刚度。在杆件微段上，弯曲引起的杆件轴线计算长度的改变量为： （2-10）在外力作用下，杆件总的缩短量为： （2-11） （2-12） （2-13） （2-14）将上面两式代入积分公式中得到：（）当（压杆）时： （2-15）当（拉杆）时：（2-16）3. 大位移对建立结构平衡方程的影响25几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后的位置上。事实上，任何结

8、构的平衡只有再起变形后的位置上满足，材质真实意义上平衡的。线性理论之所以能得以广泛应用，是因为一般结构受力状态不因变形而发生明显改变，而有些问题则不然，以桥梁结构为例，由于桥跨的长大化和柔性结构的应用，桥梁在荷载作用下上部结构的几何位置变化显著，从有限元的角度来说，结点坐标随荷载的增量变化较大，各单元的长度、倾角等几何特性也相应产生较大的改变，结构的刚度矩阵成为几何变形的函数，因此平衡方程F=K不再是线性关系，小变形假设中的叠加原理不再适用。解决方法是在计算应力及反力时计入结构位移的影响，即位移理论。平衡条件是根据变形后的几何位置给出的，荷载与位移不再成线性关系，内力与外荷载之间的正比关系也不

9、再存在，由于结构大变位的存在产生了与荷载增量不成正比的附加应力。大位移对建立平衡方程的影响。在这个问题上。目前流行的T.L列式法和U.L列式法各有不同的处理方法。前者将参考坐标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题；后者将参考坐标选在变形后的位置上，让节点坐标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上。任何变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形状简称为构形。物体在问题求解开始的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动。3.1 总体拉格朗日列式法在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不变，这种

10、列式称为总体拉格朗日列式法。对于任意应力应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到： (3-1)式中：单元的应力向量；单元杆端力向量；单元体积分域，对T.L列式，是变形前的单元体积域；应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵，即： (3-2)杆端位移向量。在有限位移情况下是位移的函数。后面将看到，矩阵可分解为与杆端位移无关的部分和与杆端位移有关的部分两部分，即： (3-3)直接按式(3-1)建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度阵和结构刚度阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。将(3-1)写成微分形

11、式： (3-4)或 (3-5)根据式(11-3)和(11-5)等式左边第一项可写成： (3-6)另一方面，单元的应力、应变增量关系可表示成： (3-7)式中：弹性矩阵。当材料满足线弹性时： (3-8)式中：单元初应变向量；单元初应力向量。将式(3-2)、(3-3)带入(3-7)得： (3-9)于是，式(3-5)左边第二项可表示为：(3-10)记： (3-11) (3-12)则式(3-5)最后可表达为： (3-13)式(3-13)就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。式中是三个刚度阵之和，称为单元切线刚度矩阵，它表示荷载增量的位移增量之间的关系，也可以理解为单元在特定应力、变形下的瞬时刚度与单元

12、节点位移无关，是单元弹性刚度矩阵。称为单元初位移刚度矩阵，或单元大位移刚度矩阵。是由大位移引起的结构刚度变化，是的函数。称为初应力刚度矩阵，它表示初应力对结构刚度的影响。当应力为压应力时，单元切线刚度减小，反之单元切线刚度增加。将各单元节线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增量刚度方程，即有： (3-14)式中：结构切线刚度矩阵，可以由单元切线刚度矩阵按常规方法进行组集形成；荷载增量。由于荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式，结构在求得的位移状态下，抗力与总外荷载之间有一定差量，即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消除这个失衡力。在计算中，一般通过迭代法来求解。3.2 更新的

13、拉格朗日列式法(U.L列式)在建立时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照构形不是未变形状态t=0时的构形，而是最后一个已知平衡，即以本增量步起时的t时刻构形为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列式)由于采用了U.L列式，平衡方程式(11-5)的积分需在t时刻单元体积内进行，且的积分式是的一阶或二阶小量，因此，代表的积分式可以略去。这是U.L列式与T.L列式的一个重要区别。最后增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成： (3-15) 3.3 T.L列式与U.L列式的异同即适用范围T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线

14、性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已的到多个实际例题的证明。T.L列式与U.L列式的不同点表11-2给出。T.L列式与U.L列式的不同 表3-1比较内容更T.L列式U.L列式注意点计算刚度的积分域在初始构形的体积域内进行在变形后的t时刻体积域内进行U.L列式必须保留各节点坐标值精度保留了刚度矩阵中所有线性与非线性忽略了高阶非线性项U.L列式的荷载增量不能过大单刚组集成总刚用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不变用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变U.L列式中组集荷载向量也必须注意方向余弦的改变本构关系的处理在大应变是，非线性本构

15、关系不易引入比较容易引入大应变非线性本构关系U.L列式方法更适合于混凝土徐变分析从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性分析，但通过表11-2的对比可以发现，T.L列式适合用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适应于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化。目前，国内使用的桥梁非线性分析程序，一般都采用U.L列式方法。4. 垂度效应2在大跨径的桥梁中，一般是斜拉桥和悬索桥，由于斜拉索或缆索较长，索自重产生的垂度较大，索的伸长量与索内拉力不成正比关系，造成了大跨度桥梁的几何非线性影响。索两端的相对运动受到索本身三个因素的影响：

16、（1）索受力后发生的弹性应变受索材料的弹性模量控制。（2）索的垂度变化与材料应力无关，完全是几何变化的结果，受索内张力、索的长度和重力控制。抗拉刚度随轴力的变化而变化，索的拉力若为零或受压，则抗拉刚度变为零。垂度变化与索的拉力不是线性关系。（3）在荷载作用下，索中各股钢丝作相对运动，重新排列的结果使横截面更为紧密。这种变形引起的伸长叫构造伸长，大部分是永久持续的，它发生在一定的张力以下，所以，可在缆索的制作过程中，采用预张拉的办法予以消除。而非永久性的伸长可以通过折减的有效弹性模量Eeff来考虑，Eeff是独立于索内张力的量。在分析斜拉桥的垂度效应引起的非线性影响中，考虑斜拉索非线性变化的简便

17、方法是把它视为与它的弦长等长度的桁架直杆，如下图4-1所示。其等效弹性模量包括材料变形、构造伸长和垂度变化三个因素的影响，其表达式称为Ernst公式。即： （4-1）图4-1 斜拉索式中：Eeff为包括钢束压密影响在内的有效弹性模量； W单位长度斜拉索的重里； L索的水平投影长度； A索的横截面面积； F索内的张力。经过这样处理后，斜拉索的单元刚度矩阵和平面杆件系统的单元刚度矩阵基本一致，唯斜拉索单元采用的是等效弹模EEQ，长度则取为Lc。对于悬索桥，以上三种因素中，第三项构造伸长可以在缆索制造安装时采用预先超张拉方法来消除而不予考虑，主要要考虑的是自重垂度变化的影响。如同在斜拉桥分析中一样，

18、处理这一非线性影响的简便方法就是对缆索材料的弹性模量进行修正，将非线性的自重垂度影响问题转化成线性问题来分析。用杆单元近似模拟索类构件有索垂度引起的单元刚度变化，也可以通过倒出索元切线刚度矩阵，用索单元直接描述索类构件。斜拉桥的斜拉索、悬索桥的主缆、施工中用的缆风和扣索等都可抽象成柔索。柔索的特点是抗弯刚度小，索的自重对结构平衡影响不可忽略，用拉杆模拟柔索会引起误差，因此，有必要建立柔索单元刚度矩阵。为讨论方便，且不影响计算精度，作如下假定：（1）柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力（抗弯刚度为0）；（2）柔索仅受索端集中力和沿所长均匀分布的荷载作用，荷载合力效应力为q;（3）柔索材料符合虎克定律

19、；（4）局部坐标系取在柔索荷载合力平面内。考察下图中所示柔索，无应力索长为S0，索的荷载集度q向下为正。图4-2 柔索单元上图中参变量之间有如下关系： （4-2）易导得各力素与几何变量之间的关系如下： （4-3）对式（4-3）取全微分有： （4-4）于是，i端力和位移的增量关系可写成： （4-5）j端力和位移的增量关系可写成： （4-5）式中： （4-6） （4-7）将式（4-1）（4-7）合并整理后写成矩阵形式： （4-8）式中： （4-9） （4-10）其中： （4-11）式（4-8）即为柔索单元切线刚度方程，在索端平衡力已知的情况下，可直接计算柔索切线刚度矩阵。在索端平衡力未知的情况下，

20、首先按单根柔索计算索端力，求解时先初估一个Fxi和Fyi，若式（4-3）自然满足，初估值即为真实值；否则，设估算值使式（4-3）产生的误差为： （4-12）式中：l0由估算的Fxi和Fyi计算出的柔索水平投影长； h0由估算的Fxi和Fyi计算出的柔索垂直投影长； 下一次计算希望通过和的修正，使误差趋于零，即： （4-13）将式（4-4）代入式（4-13）易得: （4-14）用，修正和，再按照图4-3所示的流程迭代，就可以在已知l,h,q,E,A,S0的情况下，求出所有索端力。最后，计算切线刚度阵流程见图4-4。 用直杆代替柔索计算是常用的近似方法，柔索的垂度效应可用Ernst公式对弹性模量进

21、行修正，这种方法在小位移、高应力水平下，具有较高精度。但如果索工作在大位移状态或应力水平不高的情况下，就会出现很大的误差，因此，采用近似方法计算时需谨慎。进入输入已知量坐标允许误差计算l，h 初估Fxi，Fyi计算l0，h0计算ex，ey计算Ai，Bi，C，修正Fxi，Fyi计算各索端节点力计算索有应力索长带出Ai，Bi，C及索端力、索长返回YN图4-3 求索端力的计算流程带入基本参数计算Ai，Bi，C计算kij迭代计算索端力索端力已知否？开始结束NY图4-4 柔索单元切线刚度矩阵计算流程5. 斜拉桥、悬索桥、拱桥等大跨度桥梁的非线性分析6165.1 斜拉桥斜拉桥主要组成部分是主梁、斜拉索及索

22、塔。因此其结构形式也主要是以这三部分的布置为标推来划分。按主梁所用的材料来划分，斜拉桥可分为:钢斜拉桥，混凝土斜拉桥、结合梁（叠合梁）斜拉桥、混合梁斜拉桥。按照斜拉索组成的平面的多少，通常分为单索面和双索面；按索的形状可分为放射形、扇形和竖琴形。在密索体系的前提下，按塔、梁和墩的相互连接方式，可分为塔墩固结、塔梁固结、塔梁墩固结和漂浮体系。斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和桁架桥的结构分析相比较，几何非线性的影响尤为突出，影响因素也多。特别是大跨径的斜拉桥，由于斜拉索较长，索自重产生的垂度较大，索的伸长量与索内拉力不成正比关系。整个结构的几何变形也大，大变形问题很突出，加上弯矩和轴向力的相互作用

23、等影响因素，使得大跨径斜拉桥的几何非线性分析显得较为复杂。斜拉桥几何非线性影响因素概括为三个效应，在前面的章节里已经详细介绍。斜拉桥非线性简化分析程序斜拉桥非线性简化分析程序NACSB全面考虑了他的三个主要的几何非线性因素，即斜拉索的垂度效应、结构大变形效应及弯矩和轴向力的组合效应，可以对单索面斜拉桥体系在恒载、斜拉索初始拉力、集中荷载和分布荷载等的作用下进行内力分析，计算出结点位移、杆端力、斜拉索最终拉力、稳定性函数和支反力。非线性的处理方法采用混合法，即在每次迭代循环中，不平衡荷载均以增量的形式逐级加上去，而每次加载后都要根据杆端力和结点位移的变化对结构刚度矩阵进行修正，直到不平衡荷载小于

24、某个限值时终止迭代。1. 计算图示与假定图5-1所示为一座典型的单索面斜拉桥的计算简图。对斜拉桥结构构造与构件连接形式作如下假定：图5-1 单索面斜拉桥的计算简图（1） 索塔与桥墩采取固结或铰接形式连接；（2） 主梁在全桥长度内连续；（3） 斜拉索直接锚固在索塔上而不是在塔上连续通过索鞍；（4） 在边跨的端支点设置拉力支座。2. 程序NACSB结构框图根据结构优化原理编制的程序NACSB的结构框图见图5-2。开始第一次不平衡荷载WUNBL计算不平衡荷载增量计算形成结构整体刚度矩阵引入约束条件求解该荷载增量后结点位移修正结构几何位置计算该荷载增量后相应几何位置下的杆端力修正斜索等效弹性模量计算稳

25、定性函数计算支反力结束输入荷载增量是否已经完成不平衡荷载是否大于允许值输出迭代数加1YYNN图 5-2 NACSB结构框图5.2 悬索桥悬索桥的承重结构主要为主缆、塔桥及锚碇构成的大缆系统, 其次为加劲梁, 吊索用来连接主缆和加劲梁. 主缆为几何可变体系, 主要靠其自重及恒载产生的初始拉力以及改变几何形状来获得结构刚度, 以抵抗荷载产生的变形, 缆索受力呈明显的几何非线性性质. 目前对于大跨悬索桥,通用的计算方法是以有限位移理论为基础的几何非线性有限元法. 关于缆索的单元有杆单元、曲线单元、悬链线单元及抛物线单元. 但由于主缆取很多个单元, 若采用铰接的缆索单元, 则整个结构成为几何可变体系,

26、 无法求解。12关于悬索桥的分析理论, 主要有不计几何非线性影响的线弹性理论, 以及恒载初内力和结构竖向位移影响的挠度理论和充分考虑各种非线性影响的有限位移理论。有限位移理论是目前悬索桥结构分析中, 理论上最严密精确和适用性好的、较为完善的理论。在采用有限位移理论对悬索桥进行空间分析时, 一般将悬索桥结构离散为空间杆单元、索单元和梁单元, 并常用能量法推导单元切线刚度矩阵。然而能量法在应变与位移的函数式中通常忽略了位移二次以上的高阶项, 使精度受到一定影响。10现在常采用反映杆单元初始状态变至任意状态下杆端力与杆件张力间关系的状态平衡方程, 在整体坐标系下直接推导出空间杆单元切线刚度矩阵的精确

27、表达式。在Oran等人研究的基础上通过引人空间梁柱理论, 建立了空间梁单元切线刚度矩阵的精确表达式；把杆单元切线刚度矩阵中弹性模量用著名的Ernst公式修正后即得到索单元的切线刚度矩阵。有限位移理论可以较全面的考虑结构位移引起惫索桥几何非线性的影响，不仅包含了挠度理论的假设，而且考虑了值级初始内力对主缆刚度的形响，使计算结果更接近结构实际受力，并可以采用计算机进行准确计算。其主要影响因素有：11恒载作用下的结构位移、恒载作用初始内力下的结构位移、恒载初始内力对主缆刚度的影响。其基本假定为：(1)主缆的无应力长度不变；(2)保持索塔在成桥状态下不承受不平衡水平力；(3)主缆在索鞍的永不脱离点之间

28、及锚锭处的主缆锚固点间的无应力长度保持不变；(4)任何时候结构的任何位置保持平衡状态；(5)主缆为完全柔性的，既不受压力也不受有矩，因而其截面抗有刚度对缆形的影响可以忽略；(6)主缆的全部应力在比例极限以内，符合虎克定律；(7)考虑主缆受拉会伸长，截面面积会缩小，受力前后的单位体积质量会发生变化等因素；(8)考虑主缆的几何非续性。基于矩阵位移法的有限位移理论更能适应解决友杂结构的受力分析，它不仅收敛迅速和分析严谨，并且特别适合子电算。有限位移理论较全面地考虑了荷载作用下的结构大位移、缆索自重垂度的形响及恒载初始内力对主统刚度的形响，因而计算结果精度更高。从有限位移理论的角度来分析，引起悬索桥结

29、构几何非线性的因素主要有3 个：第一, 缆索在初始恒载作用下具有较大的初张力，使索桥维持一定的几何形状。当作用外荷载时，索梁发生变形，初张力对后续状态的变形存在抗力，这种来自恒载自重的刚度称为重力刚度。第二,由于悬索桥主梁和缆索相对纤细，引起整个结构在外荷载作用下产生较大变形。在进行结构分析时，力的平衡方程应根据变形后结构的实际几何位置来建立，力与位移的关系是非线性的。第三，缆索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小与张力成反比。若用两力杆模拟缆索单元时，应计入垂度的非线性影响。在结构分析时, 任何微小的应变都可能会引起索单元较大的内力和位移，大变形的发生改变了单元的形状, 最终导致了单元刚度的改

30、变，但这种特性是有利于结构受力的，因为发生的几何大变位可使结构自动调整内力分布, 从而改善结构的受力状态，提高结构的承载能力。同时, 结构的面外刚度可能受到结构中面内应力状态的严重影响。非线性有限元方程求解1. 有限元分析的一般过程基于saafan 法的悬索桥有限元理论，是属于几何非线性的大位移小应变问题。其一般可分为一下几步：结构离散化，输入或生成有限元网格计算单元刚度矩阵形成总刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组输入结点位移计算输出单元的应力图5-3（1） 建立计算模型将结构离散化为有限个单元体。对于单跨悬索桥，通常可作如图5-5单元划分。中跨主缆可以吊杆结点为离散点，用等效直杆

31、模拟。边跨主缆如长度较大也可以用等效多直杆来模拟。加劲梁、索塔等可用多段梁单元模拟。在实际有限元处理上，为模拟悬索结构的几何可变性而不致使矩阵畸形，通常可对主索及吊杆赋一些较小的惯性矩，如取。图 5-4（2） 选择位移模式为使位移模式能够反映结构的实际变形而不致使计算过于复杂，对上述划分的单元形式，通常可取轴向位移为x的线性函数；横向位移（挠度）可取x的三次多项式，即取一般可满足精度要求。（3） 计算等效结点力将作用于单元上的实际荷载，按照虚功相等的原则移至到结点上去以方便运算。（4） 确定单元刚度矩阵（5） 建立结构平衡方程通过坐标转换，将各单元的刚度矩阵及结点力转换到结构总体坐标下，然后按

32、照所有相邻单元在公共结点处位移相等的原则，将各单元刚度矩阵、单元结点力等组装成结构整体刚度矩阵荷载阵列，建立结构平衡方程。（6） 求解结构平衡方程与一般线性问题的有限元方程不同，非线性有限元方程的结构刚度矩阵是所求未知位移的函数，无法直接求解，而只能通过逐步逼近的方法如增量法、迭代法或混合求解法。（7） 计算杆件内力及结构反力在求出结点位移后，即可计算出各单元的内力约束处的结构反力，完成计算内容。5.3 拱桥基本假定，为分析方便，在建立拱的平衡方程时作如下假定：（1）拱圈截面变形仍按平面变形考虑，截面法线方向与切线方向的夹角在变形前后保持不变，且拱圈截面变形仍符合虎克定理。（2）弹性中心在变形

33、前后的位置不变，即将拱轴变形引起的弹性中心位置的改变量忽略不计。作以上假定主要是使问题的分析简化，以突出阐明拱脚推力与拱圈挠度相互作用的非线性关系。假定(1)符合拱桥的基本工作状态，如果要进一步计入拱圈材料的非弹性性质，则只要由此求出拱圈的非弹性变形，按照本章所述原则仍可据以推求拱脚推力与拱圈挠度的相互作用关系。假定(2)忽略了拱轴变形引起了的弹性中心位置的改变，因为分析表明此项改变是相当微小的，将其忽略后不但简化了分析计算，而且便于与传统方法比较，也为具体设计带来方便。6. 六种通用有限元程序的介绍17目前流行的CAE分析软件主要有LS-DYNA、DYTRAN、ABAQUS、ADINA 、N

34、ASTRAN、ANSYS、ALGOR、COSMOS等。以下为对这些常用的软件进行的比较：（1） LSTC公司的LS-DYNA系列软件 LSDYNA长于冲击、接触等非线性动力分析。LS-DYNA是一个通用显式非线性动力分析有限元程序，最初是1976年在美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室(Lawrence Livermore National Lab.)由J.O.Hallquist 主持开发完成的，主要目的是为核武器的弹头设计提供分析工具，后经多次扩充和改进，计算功能更为强大。虽然该软件声称可以求解各种三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成型等接触非线性、冲击载荷非线性和材料非线性问题，但实际上它在爆炸

35、冲击方面，功能相对较弱，其欧拉混合单元中目前最多只能容许三种物质，边界处理很粗糙，在拉格朗日欧拉结合方面不如DYTRAN灵活。（2）MSC.software公司的DYTRAN软件在同类软件中，DYTRAN在高度非线性、流固耦合方面有独特之处。MSC.DYTRAN程序是在LS-DYNA3D的框架下，在程序中增加荷兰PISCES INTERNATIONAL公司开发的PICSES的高级流体动力学和流体结构相互作用功能，还在PISCES的欧拉模式算法基础上，开发了物质流动算法和流固耦合算法发展而来的。但是，由于MSC.DYTRAN是一个混合物，在继承了LS-DYNA3D与PISCES优点的同

36、时，也继承了其不足。首先，材料模型不丰富，对于岩土类处理尤其差，虽然提供了用户材料模型接口，但由于程序本身的缺陷，难于将反映材料特性的模型加上去；其次，没有二维计算功能，轴对称问题也只能按三维问题处理，使计算量大幅度增加；在处理冲击问题的接触算法上远不如当前版的LS-DYNA3D全面。（3） HKS公司的ABAQUS软件 ABAQUS是一套先进的通用有限元系统，属于高端CAE软件。它长于非线性有限元分析，可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究，其系统级分析的

37、特点相对于其他分析软件来说是独一无二的。需要指出的是，ABAQUS对爆炸与冲击过程的模拟相对不如DYTRAN和LS-DYNA3D。（4）ADINAADINA是近年来发展最快的有限元软件，它独创有许多特殊解法, 如劲度稳定法(Stiffness Stabilization),自动步进法(Automatic Time Stepping),外力-变位同步控制法(Load-Displacement Control)以及BFGS梯度矩阵更新法,使得复杂的非线性问题(如接触,塑性及破坏等), 具有快速且几乎绝对收敛的特性, 且程式具有稳定的自动参数计算,用户无需头痛于调整各项参数。另外值得一提的就是它有源

38、代码，我们可以对程序进行改造，满足特殊的需求。（5）NASTRANNASTRAN是大型通用结构有限元分析软件，也是全球CAE工业标准的原代码程序。NASTRAN系统长于线性有限元分析和动力计算，因为和NASA(美国国家宇航局)的特殊关系，它在航空航天领域有着崇高的地位。NASTRAN的求解器效率比ANSYS高一些。NX NASTRAN对于大位移、大应变等几何非线性问题、高度材料问题以及边界非线性问题都有可靠高效的算法。无论是在静态方面还是动态分析方面都能进行求解。NX NASTRAN集成了著名的ADINA求解技术，提供了丰富的接触算法以及领先的接触求解技术，能够更加精确地模拟各种接触效应。NX

39、 NASTRAN提供了丰富的材料模型库，对于超弹性、粘弹性、热弹性、率相关塑性、弹塑性以及橡胶材料、垫圈材料、复合材料、蠕变材料都有相应的解决，可以考虑塑性、Von Mises屈服准则、Tresca屈服准则、Mohr-Coulomb屈服准则、随动硬化、Drucker-Prager屈服准则、各向同性硬化等。在接触分析时NX NASTRAN可考虑摩擦效应，拥有十多种摩擦模型可供选择，显示求解和隐式求解分别有多种高效的接触算法，支持接触分离、摩擦和滑移边界。此外，还以可通过定义三维滑移线类型以及gap单元接触，模拟缝隙的打开与闭合。NX NASTRAN非线性分析提供丰富的迭代和运算控制算法，如N-R法、改进Newton法、弧长法、Newton-弧长混合法、两点积分法、Newmark 法以及自动时间调整功能，与尺寸无关的判别准则可自动调整非平衡力、位移和能量增量，可自动完成全刚度矩阵更新或Quasi-Newton更新，使用线性搜索或自动二分载荷增量，大大提高计算效率。NX NASTRAN可以确定屈曲和后屈曲属性，对于屈曲问题，可以同时考虑材料和几何非线性；对于后屈曲问题，NX NASTRAN提供三种弧长法的自适应混合使用，包括Crisfield 法、Riks法及改进的