复数的三角形式

1、复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=abi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0<2的辐角的值，叫做辐角的主值，记作argZ说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2的整数倍(2)复数的三角形式：r(cosisin)叫做复数Z=abi的三角形式，其中说明：任何一个复数Z=abi均可表示成r(cosisin)的形式其中r为Z的模，为Z的一个辐角2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosisin)，Z1=r1(cos1isin1)，Z2=r2(cos2isin2)则3、应

2、用例1求下列复数的模和辐角主值（1） （2）解：（1） 又=1，点（1,1）在第一象限。所以（2）有，点（）在第四象限，所以想一想：怎样求复数的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1） （2）（3）例2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；（2）； （3） 解：（1）=1，辐角主值为=，所以-1=（2） 辐角主值为=，所以=（3），由和点在第四象限，得，所以=总结：复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是：求复数的模：；由及点所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；写出复数的三角形式。例3求复数Z=1+cos+isin(&l

3、t;<2)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin).(1) <<2 <<,cos<0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) << <+<2，argZ=+. 例4将Z=(<<3)化为三角形式，并求其辐角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为

4、弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化. 解:=cos2+isin2 <<3, <2<6, <2-4<2， argZ=2-4 例5若Zc，|Z-2|1，求的最大，最小值和argZ范围. 解:法一，数形结合 由|Z-2|1，知的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1|Z|3, |Z|max=3, |Z|min=1, 另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知 AOC=BOC=，argZ0,2) 法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(

5、x,yR) 则由|Z-2|1得(x-2)2+y21, |Z|=, (x-2)2+y21, (x-2)21, -1x-21, 1x3, 14x-39, 1|Z|3. 例6求-3-4i的平方根 解法一利用复数代数形式设-3-4i的平方根为x+yi(x，yR)，则有 (x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得 -3-4i的平方根是±(1-2i) 法二利用复数的三角形式 练习：求1的立方根例7已知zC,|z|=1且z2-1,则复数（ ） A、必为纯虚数B、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数 思路分析：选择题，从结论的一般性

6、考虑，若z=±1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演 解：法1设z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0. 则=R，故，应选C。 法2设z=cos+isin (R,且k+)，则=R。 法3z·=|z|2, 当|z|=1时有z·=1, =R. 法4当|z|=1时有z·=1， =R. 法5复数z为实数的充要条件是z=, 而()=, 又|z|=1时，=， =， R。 例8设x,yR, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i, 已知|z1|=|z2|，arg=, (1)求()100=? (2)设z=, 求集

7、合A=x|x=z2k+z-2k, kZ中元素的个数。 (1)解：|z1|=|z2|, |=1,又arg=, =|(cos+isin)=i, 即z1=z2i, 2-x+xi=y-1+(-y)ii即，解得 x=y=+, ()100=(+i)100=(-+i)50=-i. (2) 思路分析：由(1)知 z=+i，z的特性：z3=-1=3, |z|=1, =； z=cos+isin, z2=w, ，z2k+z-2k 可怎么理解呢？ (z2)k+(z2)-k, z2k+2k, 解法1：令w=-+i，则z2k+z-2k=wk+w-k,w3=1,而kz, k= 当k=3m时，z2k+z-2k=(w3)m+(

8、w3)-m=2,当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+=-1, 当k=3m+2时，z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1,综上可知，集合A中有2个元素。 法2：|z|=1, =,z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos = 由此可判定集合A中有2个元素。 例9设复数z=cos+isin(0<<), w=, 并且|w|=, argw<,求。（93年全国理） 解：w= =tg2(sin4+icos4) |w|=|tg2| 由|w|=得 tg2=±. 0<<, 故有(i)当tg2=时，得=或=. 此时 w=(cos+isin)，argw=<,适合题意。 (ii)当 tg2=-时，得=或=，此时，w=(cos+isin). argw=>, 不合题