圆直线与圆的位置关系

1、第三讲 圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一、复习目标：1掌握圆的标准方程及一般式方程，理解圆的参数方程及参数的意义，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化。 2能根据所给条件，选取适当的方程的形式，运用待定系数法求出圆的方程，注意运用圆的几何性质优化解题过程。3掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与圆的问题。 4渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程。二基础知识：1圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。(2)一般式：x2+y2+Dx+E

2、y+F=0 (D2+E2-4F>0)，其中圆心为(-，-)，半径为(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）参数式：，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心，（圆心角）为参数（5）半圆方程：等（6）圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E

3、1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)该方程不包括圆C2； （时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程；当两圆相切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。）2圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系：二元二次方程表示圆的充要条件A=C0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。3若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在4直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：（1） 代数法（判别式法） （2）几何法，圆心到直线的距离一般宜用几何法。5弦长与切线方程，切线长的求法（1）弦长

4、求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则（2）改写圆方程写出圆的切线方程：(x0,y0)为切点的圆的切线方程，分别以x0x, y0y,改写圆方程中的x2，y2,x,y（3） 切线长6圆与圆的位置关系：设圆C1：(xa)2+(yb)2=r2和圆C2：(xm)2+(yn)2=k2(kr)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=kr 两圆内切；(3)dk+r 两圆外离；(4)0<dk-r 两圆内含；(5)krdk+r 两圆相交三题型归类题型一：求圆方程常用待定系数法例1、根据下列条件，求圆的方程。(1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4；(

5、2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) O与Q相外切于PO、P、Q共线，且= -= - 由定比分点公式求得a=-3，b=3所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：= 即x+y-1=0解方程组 x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 (3)设圆的方程为x2+y2+D

6、x+Ey+F=0 将P、Q点的坐标分别代入，得：4D-2E+F=-20 D-3E-F=10 令x=0，由得y2+Ey+F=0 由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的两根。(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 、组成的方程组，得 D=-2 D= -10 E=0 或 E= -8 F= -12 F=4故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0【思维点拔】无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。题型二：与圆有关的轨迹问题例2、

7、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。 设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)。因为平行四边形对角线互相平分，故=，=从而 x0=x+3 y0=y-4N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(-，)和(-，)【思维点拔】：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的

8、关系或动点所满足的几何条件。题型三：含参数的圆的方程例3、已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a1，且aR。(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；(2)求圆心的轨迹方程。(3)求与圆相切的直线方程；解：（2）将方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a（2x-2y）=0令 x2+y2-4y+2=0 x-y=0解之得 x=1 y=1 定点为(1，1)(2) 圆心坐标为(a，2-a)，又设圆心坐标为(x，y)，则有 x=a y=2-a 消去参数得x+y=2为所求的圆心的轨迹方程。(3)易得已知圆的圆心坐标为（a，2-a），半径

9、为|a-1|。设所求切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a-1|恒成立。整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立。比较系数可得 2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2 解之得k=1，b=0。所以，所求的切线方程是y=x。【思维点拔】本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时，方程表示圆的集合，即圆系。解本题(1)可用分离系数法求解；(2)可用

10、待定系数法求解；(3)可用配方法求解。一般地，过两圆C1：f(x，y)=0与C2：g(x，y)=0的交点的圆系方程为：f(x，y)+g(x，y)=0(为参数)。题型四：直线与圆的综合问题例4、已知两个圆C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和L相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+( x2+y2-4)=0，即(1+)x2+(1+)y2-2x-4y+4-4=0所以圆心为，半径为依题意有解之得，舍去，故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0。四作业1圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且直线y=x截圆所得的弦长为，求此圆的方程。解：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设圆方程为，由于直线截圆所得的弦长为，则有解得，故所求圆方程为或2设A(-c,0),B(c,0) (c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹。 解：设动点P的坐标为（x，y），由.化简得当，整理得.当a=1时，化简得x=0.所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为