导数与函数的单调性

1、知识回顾知识回顾问题问题2 2函数单调性的定义是什么？函数单调性的定义是什么？问题问题1 1导数的定义与几何意义是什么导数的定义与几何意义是什么. . 00()( )( )= limlimxxyf xxf xfxxx 几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0) 处的切线的斜率.引例：引例：的单调性讨论函数342xxy)2 ,()(), 2()()()()(, 04,2)()()(, 042)4)()(4)()34()34()()(,21212121212121212121212221212121单调递减区间为单调递增区

2、间为综上单调递增则当单调递减则时，则当取（法一：定义法）解：xfyxfyxfyxfxfxxxxxfyxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfRxx2 2y yx x0 0（法二：（法二：图像法图像法）342xxy递增区间：递增区间：, 2递减区间：递减区间：2 ,问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但比较麻烦;如果函数图象也不方便作出来时.是否有更为简捷的方法呢？43)() 3(52)()2()() 1 (xxfyxxfyxxfy其单调性讨论下面函数的导数及，减，增，增3)(2)(1)(xfxfxf自主探究自主探究2 2y yx x0 0. . . . . . . .观察函数

3、观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象上的点的切线：的图象上的点的切线：自主探究自主探究小结小结: :该函数在区间该函数在区间 上上递减递减, ,切线切线斜率小于斜率小于0 0, ,即其即其导数导数为负为负, ,在区间在区间 上上递增递增, ,切线斜率大切线斜率大于于0 0, ,即其即其导数为正导数为正. .而当而当x=2x=2时其切线斜时其切线斜率为率为0,0,即导数为即导数为0.0.函函数在该点单调性发生数在该点单调性发生改变改变. ., 22 ,猜测下面一般性的结论猜测下面一般性的结论: :如果在某区间上如果在某区间上 , ,则则f(x)f(x)为该区间上为该区间上增增函数函数;

4、 ;0)( xf如果在某区间上如果在某区间上 , ,则则f(x)f(x)为该区间上为该区间上减减函数函数. .0)( xf问题问题2：还可以用其他方法表示吗？：还可以用其他方法表示吗？ 0)()(2121xxxfxf深入思考，揭示本质深入思考，揭示本质问题问题4：既然是：既然是“任取任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近，那么我们干脆把两个点无限靠近，大家觉得可以得到什么大家觉得可以得到什么.瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点处的导数都大于零. 1212()()0( )0( )f xf xfxf xxx为增函数问题问题3：结合上一章的变化率，观察这个式子和变化率有什：结合上一章

5、的变化率，观察这个式子和变化率有什么联系呢？么联系呢？函数单调性与其导数正负的关系：函数单调性与其导数正负的关系：( )( , )f xa b设设函函数数在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上可可导导, ,fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递增增fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递减减，函数函数 为常函数为常函数. .( )f x( )f x如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ，则，则 是什么函数？是什么函数？( )0fx 小结思考引例：引例：（方法（方法3:3:导数法导数法）42x-(x)fR，函数导数为解：函数的定义域为的单调

6、性讨论函数342xxy220,f(x),x,(x)f单调递减区间为的则解得再令,f(x)x,(x)f2, 20单调递增区间为的则解的令的单调区间：求函数例163632)(123xxxxf1ln)(, 0 xxf解：函数的定义域为),1()(.101lnexfexx单调递增区间是的则时，解得当)1, 0()(.1001lnexfexx单调递减区间是的则时，解得当的单调区间求函数例1ln)(2xxxf练习：求下列函数的单调区间练习：求下列函数的单调区间.xxxfln)() 1 (1)()2(xexfx思考交流思考交流函数单调性决定了函数图像的大致形状，如何根据函数单调性决定了函数图像的大致形状，如

7、何根据导数信息来画函数的简图呢？导数信息来画函数的简图呢？2( )0;23( )0;3( )032( )0.xfxxfxxfxxxfx 当当时时，当当时时，当当时时，；当当或或时时，例例3 3、已知函数、已知函数f (x)的导函数的导函数f (x)满足下列信息：满足下列信息：试画出函数试画出函数f (x)图像的大致形状图像的大致形状. ABxyo23( )yf x 变式练习变式练习1：已知函数：已知函数f(x)的导函数的导函数 的图像如下图的图像如下图所示，那么函数所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是的图像最有可能的是 ( )( xfAA利用导数求函数单调区间的一般过程：利用导数求函数单调区间的一般过程： 先求函数先求函数f(x)的的定义域定义域 求出导数求出导数