高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总(教师版)

1、任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点 O按一定的方向旋转到另一 位置OB,就形成了角 ，记作：角 或可以简记成 。注意：(1) “旋转”形成角，突出“旋转”(2) “顶点”“始边” “终边”“始边”往往合于x轴正半轴(3)“正角”与“负角”一一这是由旋转的方向所决定的。例 1、若90135 ,求 和 的范围。(0,45)(180,270)2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为 正角、 零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。例2、

2、(1)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960(2)将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 _-33、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角， 角的顶点合于坐标 原点，角的始边合于x轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限， 称为轴线角。例1、30 ; 390 ; 330是第 象限角 300;60是第 象限角585 ; 1180是第象限角2000是第 象限角。例2、(1) A=小于90°的角, B=第一象限的角,则AH B=一(填序号).小于90°的角0 090°的

3、角第一象限的角以上都不对(2)已知A=第一象限角, B=锐角, C=小于90°的角,那么A、B、C关 系是(B)A. B=AACB, BUC=C C. A C D, A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若 是第二象限的角，试分别确定2 ,-的终边所在位置.解是第二象限的角，k 360° +90° <<k - 360° +180° ( kG Z).(1) 2k 360° +180° <2 <2k 360° +360° (kGZ), .2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的

4、非正半轴上.(2) k 180° +45° < k 180° +90° ( k G Z),当 k=2n (nG Z)时，n 360° +45° < _<n 360° +90° ;当 k=2n+1 (nG Z)时，n 360° +225° < _ <n 360° +270° .:是第一或第三象限的角.2拓展：已知 是第三象限角，问-是哪个象限的角？3 是第三象限角，180° +k - 360° <<270°

5、 +k - 360° ( k G Z),60° +k - 120° < _ <90° +k - 120° .当k=3n(me Z)时，可得60。+m- 360° <_<90。+m- 360° ( mG Z).故的终边在第一象限.3当k=3m+1 ( me Z)时，可得180° +m- 360° < 一 <210° +m- 360° ( mG Z).故的终边在第三象限.3当k=3m+2 (me Z)时，可得300° +m- 360°

6、 < 一 <330° +m- 360° ( mG Z).故_的终边在第四象限.3综上可知，一是第一、第三或第四象限的角.34、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：(1)终边相同的角都可以表示成一个 0到360的角与k(k Z)个周角的和。(2)所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合S | k 360 ,k Z即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：1、k Z2、是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。例

7、1、(1)若 角的终边与8-角的终边相同，则在0,2上终边与一的角终边相54同的角为。若8角的终边与8冗/5的终边相同则有：8=2 +8兀/5 (k为整数)所以有：9 /4=(2k 兀 +8 兀 /5)/4=k 兀 /2+2 兀 /5当：0& k兀/2+2兀/5 0 2兀有：k=0时，有2冗/5与8/4角的终边相同的角k=1时，有9冗/10与8/航的终边相同的角(2)若 和 是终边相同的角。那么 在X轴正半轴上例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角:(1) 210 ;(2) 1484 37 .例3、求，使 与900角的终边相同，且 180 ,1260 .

8、2、终边在坐标轴上的点:终边在x轴上的角的集合:| k 180 ,k Z终边在y轴上的角的集合:18090 ,k Z终边在坐标轴上的角的集合:k 90 ,k Z3、终边共线且反向的角:终边在y=x轴上的角的集合:k 18045 ,k Z终边在y x轴上的角的集合:k 18045,k Z4、终边互相对称的角:若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:360若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系:360k 180若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系:36090360, m 360(k,mZ）则角与角的中变得位置关系是（A.重合B.关于原点对称

9、C.关于x轴对称D.有关于y轴对称例2、将下列各角化成0到2的角加上2k （kZ）的形式(1)19(2)315例3、设集合A x|k36060 x k 360300 ,k Z ,B x|k 360210x k 360 ,k Z ,求 AB, A B.、弧度与弧度制1、弧度与弧度制:弧度制一另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度定义：长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图： AOB=1rad , AOC=2rad , 周角=2 rad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角 的弧度数的绝对值-（1为弧长，r为半径）r3、用角度制和弧度制来度量 零角，

10、单位不同，但数量相同（都是 0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：= 360 =rad 180=rad1 =rad 0.01745rad1801801rad 28057.3057 18'注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零例1、把67 301化成弧度113斛：67 306767 30 rad 67 rad2180283例2、 把一 rad化成度5-33解：一rad 18010855例2、将下列各角从弧

11、度化成角度(1) rad36(2) 2.1 rad3(3) rad5例3、用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合2终边在y轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在x轴上的角的集合 S| k ,k Z2终边在y轴上的角的集合 S2| k ,k Z2 k3终边在坐标轴上的角的集合S3|,k Z2三、弧长公式和扇形面积公式C 1l r ;S lR2例1、已知扇形的周长是 6 cm,面积是2 cm2,则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为 1 ,求这连个角的大小分别例3、1654直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 3440 ,、解：r 10cm

12、 ：l r - 10 (cm)33，、,11.11：165 165(rad) rad ，l 一1801212例4、(1) 一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形 的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2) 一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 11)设扇形的圆心角是 rad,因为扇形的弧长是r ,所以扇形的周长是2r+r .依题意，得2r+r = r,=-2=(-2) X 18° 1.142 X57.30° = 65.44° 65° 26',:扇形的面积为S=lr2 =-

13、 (-2) r2.22(2)设扇形的半径为r ,弧长为l ,则l+2r=20,即 l =20-2r (0 <r<10) 1, 一扇形的面积S=-lr ,将代入，得2S=1(20-2 r) r=-r2+10r=-( r-5) 2+25,2所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时1=20-2X5=10,=1=2.r所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.例5、（1）已知扇形的周长为10,面积为4,求扇形中心角的弧度数;（2）已知扇形的周长为40,当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少?设扇形半径为R,中心角为，所对的弧长为l .12(1)依题意，得 2,R

14、 2R 10, 22-17+8=0,=8 或1.28>2 无，舍去，：=12（2）扇形的周长为40,R+2R=40,C 112 11R 2R 2S=-lR = - R = - R - 2R< - 100.22442当且仅当R =2 R即R=10,=2时面积取得最大值，最大值为 100.（七）任意角的三角函数（定义）1.设是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y）,则P与原点的距离2 .比值y叫做的正弦 r记作： sinyx-；比值一叫做rr的余弦记作：x cos 一 r比值y叫做的正切 x记作：y ,一tan 一；比值 xx-叫做y的余切记作：rxxy202 .

15、 / x2 ycot比值-叫做x的正割记作:sec比值-叫做y的余割记作:csc注意突出几个问题:角是“任意角”当=2k(k Z)时,与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。三角函数是以“比值”为函数值的 函数r 0,而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定三角函数在各象限的符号：定义域：ysinycotycosysecytanycsc4. 是第二象限角，P (x,而)为其终边上一点，且 cos =_L2x,则sin ="10.4 4 . 已知角的终边落在直线 y=-3x ( x<0)上，则 "n cos I 2.sin cos例8、例9、求下列各角的六个三角函数值303_ (4)22解：的解答见P16-17例10、当=一时 x2sin一=1 cos一 =0