幂函数中档题(含答案)

1、3.3 幂函数中档题一选择题（共4小题）1若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在，3上的值域为（）A2，B2，C（0，D0，+）2已知指数函数f（x）=ax16+7（a0且a1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）ABCD3函数f（x）=（m2m1）x是幂函数，对任意x1，x2（0，+），且x1x2，满足0，若a，bR，且a+b0，ab0，则f（a）+f（b）的值（）A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断4已知，若0ab1，则下列各式中正确的是（）ABCD二填空题（共1小题）5已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1

2、，y1），Q（x2，y2）（x1x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：x1f（x1）x2f（x2）；x1f（x1）x2f（x2）；其中正确结论的序号是三解答题（共13小题）6已知幂函数f（x）=（m1）2x在（0，+）上单调递增，函数g（x）=2xk（）求m的值；（）当x1，2时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若AB=A，求实数k的取值范围7已知函数f（x）=（a1）xa（aR），g（x）=|lgx|（）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（）关于x的方程g（x1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1x2），求a+的取值范围8已知函数

3、f（x）=（a1）xa（aR），g（x）=|lgx|（）若f（x）是幂函数，求a的值；（）关于x的方程g（x1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1x2），求的取值范围9已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若ak，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小10已知幂函数g（x）=（m22）xm（mR）在（0，+）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（m+1）+f（m1）=（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a1）f（5a），求实数a的取值范围11函数f（x）=是偶函数（1）试确定a的值

4、，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（，0）上是减函数；（3）当x2，0时，求函数f（x）=的值域12如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A、B、C，记ABC的面积为f（a），ABC的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论13已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+）上是减函数（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围14已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（

5、3x+2）+f（2x4）015已知幂函数f（x）=xa和对数函数g（x）=logax，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0a1，且函数y=g（x+3）在区间2，1上总有|y|2，求a的取值范围16已知幂函数（mZ）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）f（12x）17已知函数f（x）=（m1）为幂函数，g（x）=x+f（x）（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在2，+）上是增函数18已知幂函数f（x）

6、=x（mZ）为偶函数，且在区间（0，+）上是单调增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）2对任意的xR恒成立，求实数c的取值范围3.3 幂函数中档题参考答案与试题解析一选择题（共4小题）1（2015吉安一模）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在，3上的值域为（）A2，B2，C（0，D0，+）【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x，3上的最值即可【解答】解：设f（x）=x，f（x）的图象过点（3，），3=，解得=，f（x）=；函数g（x）=+f（x）=+=+

7、，当x，3时，在x=1时，g（x）取得最小值g（1）=2，在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=+=，函数g（x）在x，3上的值域是2，故选：A【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目2（2015秋庄河市期末）已知指数函数f（x）=ax16+7（a0且a1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）ABCD【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论【解答】解：指数函数f（x）=ax16+7（a0且a1）的图象恒过定点P，令x16=0，解得x=16，且f（16

8、）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=xa，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A故选：A【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题3（2015秋九江校级期中）函数f（x）=（m2m1）x是幂函数，对任意x1，x2（0，+），且x1x2，满足0，若a，bR，且a+b0，ab0，则f（a）+f（b）的值（）A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）0【解答】解：根

9、据题意，得f（x）=（m2m1）x是幂函数，m2m1=1，解得m=2或m=1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29251=20150，满足题意；当m=1时，指数4×（1）9（1）51=40，不满足题意；幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又a，bR，且a+b0，ab，又ab0，不妨设b0，即ab0，f（a）f（b）0，f（b）=f（b），f（a）f（b），f（a）+f（b）0故选：A【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目4（2014西湖区校级学业考试）已知，若0ab1，则

10、下列各式中正确的是（）ABCD【分析】函数的单调性，对a、b、，区分大小，即可找出选项【解答】解：因为函数在（0，+）上是增函数，又，故选C【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较，是基础题二填空题（共1小题）5（2016春厦门校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：x1f（x1）x2f（x2）；x1f（x1）x2f（x2）；其中正确结论的序号是【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出正确【解答】解：依题意，设f（x）=x

11、，则有（）=，即（）=（），所以=，于是f（x）=x由于函数f（x）=x在定义域0，+）内单调递增，所以当x1x2时，必有f（x1）f（x2），从而有x1f（x1）x2f（x2），故正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故，所以正确答案【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定三解答题（共13小题）6（2016春宜春校级期末）已知幂函数f（x）=（m1）2x在（0，+）上单调递增，函数g（x）=2xk（）求m的值；（）当x1，2时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若AB=A，

12、求实数k的取值范围【分析】（）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若ABA，得到关于k的不等式组，解的即可【解答】解：（）依题意得：（m1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x2在（0，+）上单调递减，与题设矛盾，舍去m=0 （）由（）知f（x）=x2，当x1，2时，f（x），g（x）单调递增，A=1，4，B=2k，4k，ABA，解得，0k1故实数K的取值范围为0，1【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题7（2016春江阴市校级期中）已知函数f（x）=（a1）xa（aR），g（x）=|lgx|（）若f（x）是

13、幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（）关于x的方程g（x1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1x2），求a+的取值范围【分析】（）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（）把方程化为g（x1）=1a，利用函数y=g（x1）与y=1a在x（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a+的取值范围【解答】解：（）f（x）=（a1）xa（aR），f（x）是幂函数，由题有a1=1，得a=2；2f（x）=x2的单调递减区间为（，0）4（）方程g（x1）+f（1）=0化为g（x1）=1a，由题意函数y=g（x1）与y=1

14、a在x（1，3）上有两不同交点5y=g（x1）=|lg（x1）|=；7在x（1，2时，y=g（x1）单调递减，又y=g（x1）0，+），在x2，3）时，y=g（x1）单调递增，y=g（x1）0，lg2），9所以01alg2，即1lg2a1，11由x1x2，可知x1（1，2），x2（2，3），且即相加消去a，可得lg（x11）+lg（x21）=0，即（x11）（x21）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=114所以a+的取值范围为（2lg2，2）16【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类讨论与转化思想，是就综合性题目8（2015秋资阳期末）

15、已知函数f（x）=（a1）xa（aR），g（x）=|lgx|（）若f（x）是幂函数，求a的值；（）关于x的方程g（x1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1x2），求的取值范围【分析】（）利用幂函数的定义能求出a（）函数y=g（x1）与y=1a在x（1，3）上有两不同交点，y=g（x1）=，推导出1lg2a1，x1（1，2），x2（2，3），由此能求出的取值范围【解答】解：（）f（x）=（a1）xa（aR），f（x）是幂函数，由题有a1=1，得a=2 （2分）（）方程化为g（x1）=1a，由题有函数y=g（x1）与y=1a在x（1，3）上有两不同交点 （3分）y=g（x

16、1）=|lg（x1）|=在x（1，2时，y=g（x1）单调递减，y=g（x1）0，+），在x2，3）时，y=g（x1）单调递增，y=g（x1）0，lg2），5分所以01alg2，即1lg2a1，（7分）由x1x2，可知x1（1，2），x2（2，3），且即相加消去a，可得lg（x11）+lg（x21）=0，即（x11）（x21）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即 （11分）所以的取值范围为（2lg2，2） （12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用9（2015秋长沙校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在

17、区间（0，+）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若ak，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过kN*，求出k的值，写出函数的解析式（2）利用指数函数y=（lna）x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案【解答】解：（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，k22k30，解得1k3，因为kN*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+）为减函数，k=1，函数的解析式为：f（x）=x4（2）由（1）知，a1当1ae时，0lna1，（lna）0.7（lna）0.6；当a=e时，lna=1，（lna）0.7=（

18、lna）0.6；当ae时，lna1，（lna）0.7（lna）0.6【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用10（2014秋旌阳区校级月考）已知幂函数g（x）=（m22）xm（mR）在（0，+）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（m+1）+f（m1）=（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a1）f（5a），求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；（2）根据题意，利用f（x）的单调性，列出不等式组，求出实数a的取值范围【解答】解：（1）幂函数g（x）=（m22）xm（m

19、R）在（0，+）上为减函数，解得m=，g（x）=；又f（x）是对数函数，且f（m+1）+f（m1）=，设f（x）=logax（a0且a1），loga（m+1）+loga（m1）=，即loga（m21）=loga2=，解得a=4，f（x）=log4x；（2）实数a满足f（2a1）f（5a），且f（x）=log4x在（0，+）上单调递增，解得；即a2，实数a的取值范围是（，2）【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目11（2013秋大姚县校级期末）函数f（x）=是偶函数（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（，0）上是减函数

20、；（3）当x2，0时，求函数f（x）=的值域【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（x）=f（x），求出a=0；（2）用定义证明f（x）在（，0）上是减函数；（3）由（2）得，根据f（x）在2，0的单调性，求出f（x）在2，0上的值域【解答】解：（1）f（x）是偶函数，f（x）=f（x），即=，x2+ax3=x2ax3；a=0，f（x）=；（2）证明：任取x1、x2（，0），且x1x2；=；x1x20，x1+x20，x1x20，（x1+x2）（x1x2）0，1，即f（x1）f（x2）；f（x）在（，0）上是减函数；（3）由（2）知，f（x）在（，0）上是减函数；当x2，0时，f（2）=2，f（

21、0）=；函数f（x）在2，0上的值域是，2【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题12（2011福建模拟）如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A、B、C，记ABC的面积为f（a），ABC的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论【分析】（1）间接法求f（a），利用f（a）=SAB'C =S梯形AA'C'C SAA'B'SCC'B'求出f（a）的值，直

22、接法求g（a）= ACBB（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小【解答】解：（1）连接AA、BB、CC，则f（a）=SAB'C =S梯形AA'C'C SAA'B'SCC'B'=（），g（a）=SABC= ACBB=BB=，=，f（a）g（a），【点评】本题考查幂函数的应用，不等式比较大小的方法，体现转化的数学思想13（2011秋高安市校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+）上是减函数（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围【分析】（1）幂函数y=x的图象关

23、于y轴对称，且在（0，+）上是减函数则必须满足为偶数且0，则易得m的值（2）再根据幂函数y=x的单调性，求满足的a的取值范围【解答】解：（1）函数在（0，+）上递减，m22m30即1m3，又mN*m=1或2，又函数图象关于y轴对称，m22m3为偶数，故m=1为所求（2）函数在（，0），（0，+）上均为减函数等价于a+132a0或0a+132a或a+1032a，解得故a的取值范围为【点评】幂函数y=x，0时则为减函数；0时，幂函数为增函数要注意的不同，其定义域是不同的解不等式时要注意14（2010秋如东县期末）已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的

24、单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x4）0【分析】（1）设y=xa，代入可得a值，从而得到幂函数的解析式（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断（3）将不等式化为f（3x+2）f（42x），分3x+2与2x4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集【解答】解：（1）设y=xa，代入，得a=1，（2）定义域（，0）（0，+），又 ，f（x）为奇函数单调区间（，0），（0，+）（3）由f（3x+2）+f（2x4）0得 f（3x+2）f（2x4），即 f（3x+

25、2）f（42x），当3x+20，42x0时，当3x+20，42x0时，x无解，当3x+2与42x异号时，x2，综上所述，或x2【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式15（2010秋盐城校级期末）已知幂函数f（x）=xa和对数函数g（x）=logax，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0a1，且函数y=g（x+3）在区间2，1上总有|y|2，求a的取值范围【分析】（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出，据0，幂函数单调递增（2）求出函数的解析式，根据0a1

26、时，对数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式求出a的范围【解答】解：（1）幂函数的图象过点（27，3），3=27，故函数在（，+）上是单调增函数（2）y=g（x+3）=loga（x+3）0a1，y=loga（x+3）在区间2，1上单调递减所以当x=2时y取得最大值0，当x=1时y取得最小值loga2|y|2loga22【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数不等式16（2007秋虹口区校级期末）已知幂函数（mZ）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）f（12x）【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过mZ，求出m的值，写出函数的解析式（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集【解答】解：（1）幂函数（mZ）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）为减函数，所以，m24m0，解得0m4，因为mZ，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x4（2）不等式f（x+2）f（12x），函数是偶函数，在区间（0，+）为减函数，所以|12x|x+2|，解得，又因为12x0，x+20所