2019届高三模拟考试试卷数学试题

1、2019届高三模拟考试试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据X1，X2,，Xn的方差2019.1于)，我中下T ,.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.2.3.4.已知集合 A=0, 1 , 2, 3 , B = x|0<x< 2,则 AA B=已知复数z=（2i）2（i是虚数单位）,则z的模为 W运行如图所示的伪代码，则输出的结果已知一组样本数据5, 4, x, 3, 6的平均数为5,则该组数据的方差为I 1While I<8I 1+2S2I + 3End WhilePrint S（第4题）5.若从2, 3, 6三个数中任取一个数记为a,

2、再从剩余的两个数中任取一个数记为b,则“整数”的概率为6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2 y2= 1的右焦点重合，则实数p的值为 37.8.9.不等式f(2 x)>0的解集为1在等差数列an中，若a5=2, 8a6+2a4=a2,则an的前6项和&的值为已知正四棱锥的底面边长为2,3,高为1,则该正四棱锥的侧面积为 已知a, bCR,函数f(x)= (x2)(ax+ b)为偶函数，且在(0, +00 )上是减函数，则关于 x的一1110 .已知a>0, b>0,且a+3b=b > 则b的最大值为兀_一一_. 一，,11 .将函数f(x)=

3、sin 2x的图象向右平移"6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数 f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为，, ，_ _、，. ,一，一一，, 一 w 3 一.2PA,则CP AB的值为12 .在4ABC 中，AB = 2, AC= 3, /BAC=60 , P 为4ABC 所在平面内一点， 满足CP = 2PB +13 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 Ci： x2+y2+2mx（4m+6）y4=0（mC R）与以C2（ 2, 3）为圆心的圆相交于 A（xi, yi）, B（X2, y2）两点，且满足X2X2=y2y2,则实数m的值为 w.14 .已

4、知 x>0, y>0, z>0,且 x+43y+z=6,则 x3+y2+3z 的最小值为 W.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分14分）在 ABC中,2兀).sin A= 一，3(1)求sin 2A的值；(2)若 sin B=1 求 cos C 的值.316 .（本小题满分14分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D, E, F分别是B1C1, AB, AA1的中点.（1）求证：EF /平面 A1BD;（2）若 A1B1 = A1C1,求证：平面 ABD，平面 BB1C1C.17 .(本小题满分14

5、分)如图，某公园内有两条道路AB, AP,现计划在 AP上选择一点 C,新建道路 BC,并把 ABC .TT所在的区域改造成绿化区域.已知/ BAC = , AB = 2 km.(1)若绿化区域 ABC的面积为1 km2,求道路BC的长度；(2)若绿化区域 ABC改造成本为10万元/km2,新建道路BC成本为10万元/km.设/ ABC= &0。2 兀 ,一，、，一 LL-，Wy),当。为何值时，该计划所需总费用最小？318 .(本小题满分16分)丫2/2如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C:卞+$=1何20)的离心率为 手，且右焦点到右 准线l的距离为1.过x轴上一点M(m,

6、 0)(m为常数，且 mC (0, 2)的直线与椭圆 C交于A, B两点, 与l交于点P, D是弦AB的中点，直线 OD与l交于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x)= (x a)ln x(aC R).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线的方程；(2)若对于任意的正数 x, f(x)0恒成立，求实数 a的值;(3)若函数f(x)存在两个极值点，求实数 a的取值范围.20.（本小题满分16分）已知数列an满足对任意的 nCN ,都有 an（qnan1）

7、 + 2qnanan+i = an+i（i qnan+u,且 an+1 + anW0,其中 ai=2, qw0.记 Tn = a+qa2+q2a3+ qn1an.（1）若 q=1,求 T2 0i9 的值；（2）设数列bn满足 bn= （1 +q）Tn-qnan.求数列bn的通项公式；若数列Cn满足C1=1,且当n>2时，Cn=2bn-1 1,是否存在正整数 k, t,使C1, CkC1, CtCk成等比数列？若存在，求出所有k, t的值；若不存在，请说明理由.2019届高三模拟考试试卷数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】 在A, B, C三小题中只能选做 2题，每小

8、题 作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A.（选彳42:矩阵与变换）10分，共20分.若多做，则按-70 11已知矩阵A= I一2 3B= |2118B.（选彳44:坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线 C:2cos。.以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy,设过点A（3, 0）的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线 l的斜率.C.(选彳45:不等式选讲)已知函数f(x)=|x 1|.(1)解不等式 f(x-1)+f(x+ 3)>6;b(2)右|a|<1, |b|<1,且 aw0,求证：f(ab)>|a|f(_).

9、a，【必做题】 第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.22 .如图， 在三棱锥 DABC 中，DA，平面 ABC, /CAB = 90° ,且 AC = AD=1, AB = 2, E 为 BD的中点.(1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2)求二面角ACEB的余弦值.23 .已知数列an满足 ai = 1, an+= 2a/2an, nCN*.3 1(1)用数学归纳法证明：anC(0, 2)；1汽;23出一3.(2)令 bn = 5 an,求证：":2019届高三模拟考试试卷（五）（苏北三市）数学参考答案及评分标

10、准1 . 1,2 2. 5 3. 2 4. 21 5. 1 6. 4 7. 15 8. 83 9. （0,4） 10. 1 11.型" 12. 3213237-1 13. -6 14.415 .解：（1）由 sin A = 2, AC兀），贝U cos A= .1 sin %= 、/1 （2） 2 = *, （2 分） 32-.33所以 sin 2A = 2sin Acos A= 2X 2 x （范）=嵬5 （6 分） 33 J 9 ,（2）由A e （万，兀），则B为锐角.又 sin B = 1,所以 cos B = 01 sin 2b=%/i（1） 2=2P，（8 分） 333所

11、以 cos C= cos （A+ B） = （cos Acos B sin Asin B）（12 分）=_（_近* 毡_2"_2加2333 3）-9.（14 分）16 .证明：（1）因为E, F分别是AB, AA1的中点，所以EF/AB.（3分）因为EF?平面ABD, A1B?平面ABD,所以EF/平面ABD.（6分）（2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中,BB1,平面A1B1C1.因为 AD?平面 A1B1C1,所以 BB11A1D. （8 分）因为A1B1 = A1C1,且D是B1C1的中点，所以 A1D，B1C1.（10 分）因为 BB1PB1C1=B1, B1C1, BB1?

12、平面 BB1C1C,所以AD,平面BB1CC.（12分）因为 A1D?平面 A1BD,所以平面 ABD,平面BB1C1C. （14分）.一,.兀 17 .解：（1）在 ABC 中，已知/ BAC=, AB = 2 km,所以 ABC 的面积 S= 1XABXACXsin = 1 ,解得 AC=2.（2 分） 26在 ABC 中，由余弦定理得 BC2= AB2+ AC2 2 X AB X AC X cos !6= 22+ 22-2X 2X2X cos =8-473, （4 分） 6所以 BC= 8-473= V6- V2（km）.（5 分）（2）由/ABC= Q 则Z ACB= it -（9+）

13、, 0< 0 <2.AC _ BC _ ABsin B sin A sin C',兀, 一、 一 一在4ABC中，/ BAC = , AB=2 km,由正弦定理得1 2sin 0,所以 BC , AC .(7 分)兀71sin (。+")sin ( 0+至)66记该计划所需费用为F(%贝U F(=2*2sin 0,，一兀、sin ( 0+ -)c 1“1X2X-X 10 +2.,.兀、sin ( 0+ "6-)“ 10 (sin 0 + 1)x 10 =,，一兀、sin ( 0+ )(0<-3).(10 分)令 f( =sin 0+11+ 2cos

14、 °1in 0 + 2cos-(11 分)2由 f' 9)=0,得所以当钱（0,兀至）时，f（0）o, f（e）单调递减;、 一 .兀 2 7t.当 0C （"6，飞-）时，f （0）0，f（9）单倜递增.（12 分）-.兀 .、.所以当0 =H时，该计划所需费用最小6答：当 上彳时，该计划所需总费用最小.（14分）618.解：(1)cja 2设椭圆的右焦点为（c, 0）,由题意，得 2a一 c= c1,a= V2,、c= 1,所以a2=2,2b2=1,所以椭圆C的标准方程为x2+y2=1.（4分）（2）由题意,当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意设AB的斜

15、率为k,则直线AB的方程为y= k（x m）.又准线方程为x=2,所以点P的坐标为P（2, k（2 m）.（6分）ry= k (x m) ,222"+2y2=2,得 x+2k(xm)=2.即(1 + 2k2)x2-4k2mx+ 2k2m2 2= 0,14k2m2k2m2k2m、 km所以 Xd=2. 2k2+1=2k2+1' yD=k(2k2 + 1-m) = -2k2+r (8 分)所以kOD = ，从而直线OD的方程为y = - -1x, 2 k2 k所以点Q的坐标为Q(2, 1), (10分) k所以以PQ为直径的圆的方程为(x-2)2+y-k(2-m)(y+k)=0,

16、即 x2- 4x+ 2+ m + y2一 k(2 一 m) Jy= 0.(14 分) ky=0.x= 2 g/2 m因为该式对？kw0恒成立，所以 p_4x+2+m + y2_0解得， °所以以PQ为直径的圆经过定点(2那二帚，0).(16分)19.解：(1)因为 f(x)= (x a)ln x(aC R),所以当 a=1 时,f(x) = (x1)ln x,则 f'x)= In x+ 1 1.(1 分)x、'当 x= 1 时，f(1)=0, f' (1) = 0,所以曲线f(x)在点(1, f(1)处的切线的方程为y = 0.(3分)(2)因为对于任意的正数

17、x, f(x)>0恒成立，所以当 lnx= 0,即 x=1 时，f(x)=0, aCR； (5 分)当In x>0,即x>1时，x>a恒成立，所以a< 1;(6分)当In x<0,即x<1时，xWa恒成立，所以a> 1.综上可知，对于任意的正数x, f(x)>0恒成立，a= 1.(7分)(3)因为函数f(x)存在两个极值点，所以f/ x)= In x- a+ 1存在两个不相等的零点.x设 g(x) = ln x- j+1,则 g'x)=1+a2=W2a (8 分) xx x x当a>0时，g' (x)>0,所以g

18、(x)单调递增，至多一个零点.(9分)当 a<0 时，xC (0, a)时,g' (x)<0, g(x)单调递减,xC(a, +8)时,gz (x)>0, g(x)单调递增,所以 x= a 时，g(x)min = g(- a)= ln(- a)+ 2. (11 分)因为g(x)存在两个不相等的零点，所以 ln(a)+2<0,解得一e 2<a<0.因为一e 2<a<0,所以一:>e2> a. a因为 g( 一；)= ln( 1)+a2+1>0，所以 g(x)在(-a, + 00 )上存在一个零点.(13 分)因为一e 2&

19、lt;a<0,所以 a2< a.又 g(a2)= In a2 1+1 = 2ln( a) + +1, 'a a1 _1设 t = a,则 y= 2In t + -+ 1(0<t<-2).一.、，2t 11 一一1因为 y = -2<0,所以 y=2In t+；+1(0<t<e2)单倜递减.又函数图象是连续的，所以y>2In，+e2+1= e23>0,所以g(a2)= in a2- -+ 1>0,所以在(0, a)上存在一个零点. a综上可知，e 2<a<0.(16分)20.解：(1)当 q=1 时，由 an(qna

20、n1) + 2qnanan+i= an+i(1 qnan+i),得(an+l+ an) =an+ an.又 an+1+anw0,所以 an+1+an=1.(2 分)又 a1= 2,所以 T2019= a+ + a3)+ (a4 + as) + (a2018+ a2019)= 1 011.(4 分)(2) 由 an(q an 1)+ 2q anan+ 1 = an+ 1 (1 q an+ 1),得 q (an+ 1 + an) = an+ 1 + an.1又 an+I+anW0,所以 an+1 + an= n.(6 分)q因为= a +qa2+q2a3+ qn 1an,所以 qTn=qa+q2a

21、2 + q3a3+ qnan,所以(1 + q)Tn= a + q(a + a2)+ q2(a2+ a3)+ q3(a3+ a4)+ qn 1(an-1 + an) + qnan, bn = (1 + q)T nq“an=a1+1+1+ 1 + q“an q“an= a + n1 = n+1,所以 bn= n+ 1.(10 分)由题意，得 Cn= 2bn 1 1 = 2n 1, n>2.因为C1, Ck-C1 , Ct Ck成等比数列，所以(50)2=59 Ck),即(2k 2)2=202k,(12 分)所以 2t= (2k)23 2k+4,即 2t2 = (2kT)232k2+1(*)

22、.由于 Ck C1 0,所以 kw 1,即 k> 2.当 k=2 时，2t=8,得 t= 3.(14 分)当 k>3 时，由(*)得(2kT)23 2k 2+1 为奇数，所以t2=0,即t=2,代入(*)得22k2 3 2k2= 0,即2k=3,此时k无正整数解 综上，k=2, t= 3.(16 分)2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学附加题参考答案及评分标准1 一-3 1 21. A.解：由题意得A =2 2 , (5分)-1 0 1所以A B =B.解：曲线C: p= 2cos。的直角坐标方程为(x1)2+y2=1.(4分)设过点A(3, 0)的直线l的直角坐标方程

23、为 x= my+3,因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以空当=1,解得m= 郎.(8分)1 + m从而直线l的斜率为 盛3(10分)3C. (1)解：不等式的解集是( 8, 3U3, +8 ).(4分)(2)证明：要证 f(ab)>|a|f(b),只要证 |ab-1|>b-a|,只需证(ab1)2>(b a)2. a而(ab 1)2- (b- a)2= a2b2- a2- b2+ 1 = (a2 1)(b2- 1)>0,从而原不等式成立.(10分)22.解：因为DAL平面ABC, Z CAB = 90°,所以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

24、Axyz.因为 AC = AD = 1, AB = 2,所以 A(0, 0, 0), C(1, 0, 0), B(0, 2, 0), D(0, 0, 1).因为点E为线段BD的中点，所以E(0, 1, 2).(1) AE= (0, 1, 2), BC=(1 , -2, 0),所以 cos <AE, BC>AE - BC-2|AE|BC|5xV54,所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为4.(5分)5(2)设平面 ACE 的法向量为 n 1=(x, y, z),因为 AC=(1, 0, 0), AE=(0, 1, 2),所以 AC= 0, n 1 - AE= 0,即 x= 0 且 y+ 2z= 0,取 y= 1,得 x= 0, z= - 2, 所以n = (0, 1, 2)是平面ACE的一个法向量.设平面 BCE 的法向量为 n2=(x, v, z),因为 BC=(1, 2, 0), EBE=(0, 1, AN7rli1所以 n2BC= 0,n2 - BE= 0,即 x 2y =0 且一y + 2z= 0,取 y = 1,得 x= 2,z= 2,所以电=(2, 1, 2)是平面BCE的一个法向量.