中考数学压轴题解题方法大全和技巧

1、中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学 明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第 24题和 25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型 综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解 析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研 究图形的某些性质。初中已知函数有：一次函数（包括正比例函数）和常值 函数，它们所对应的图像是直线；反比例函数，它所对应的图像是双曲线； 二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定 系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代 数法（解析法）。此类题

2、基本在第 24 题，满分 12 分，基本分 2 3 小题来呈 现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动 点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数 的解析式（即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么 ）和求函数的定义 域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等 腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条 件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求 x的值 等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列 出包含自变量和因变量之间的等量关系（

3、即列出含有 x、y 的方程），变形写 成y=f （x）的形式。一般有直接法（直接列出含有 x和y的方程）和复合法 （列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数 关系式，代入消去第三个变量，得到 y= f （x）的形式），当然还有参数法， 这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定 理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找 图形的特殊位置（极限位置） 和根据解析式求解。 而最后的探索问题千变万化， 但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x的值。几何型综合 题基本在第 25 题做为压轴题出现，满分 14 分，

4、一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件 不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严 谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目， 其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。 解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本 技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参 考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点

5、 是通过建立点与数即坐标之间的对应关系， 一方面可用代数方法研究几何图形 的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数， 即一次函数与二次函数所表 示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的 思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之 而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性， 常常通过条件的多 变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨 论，就有可

6、能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已 成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想， 初中数学中的转换大体包 括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识 之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合 试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识 点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的 知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐 惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就

7、得 不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段 的得分策略。 5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是 第（1 ）小题较易，第（ 2）小题中等，第（ 3）小题偏难，在解答时要把第（ 1） 小题的分数一定拿到，第（ 2）小题的分数要力争拿到，第（ 3）小题的分数要 争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不 会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据 是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识 点就给分，多踏多给分。因此，对

8、中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地 发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广， 综合性最强的题型。 综合近年来各地中考 2 的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。 压轴题考查知识点多，条件也相 当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数 学方法有较强的驾驭能力， 并有较强的创新意识和创新能力， 当然，还必须具有强大的心 理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧(先以 2009 年河南中考数学压轴题为例)， 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B( 4, 0 )、C( 8

9、，0)、D( 8, 8).抛物线 y=ax2+bx 过A C两点. (1) 直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2) 动点 P 从点 A 出发.沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动.速度均为每秒 1 个单位 长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE 丄 AB 交 AC 于点 E. 过点 E 作 EF 丄 AD 于点 F,交抛物线于点 G.当 t 为何值时， 线段 EG 最长? 连接 EQ 在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得厶 直接写出相应的 t 值. 解：点 A 的坐标为(4, 8) 将 A (4, 8)、C (

10、8, 0)两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得弋 -0=64a+8b 1 解得 a=- ,b=4 2 1 2 抛物线的解析式为：y=- x +4x 2 PE BC (2)在 Rt APE 和 Rt ABC 中，tan / PAE= = ,即 AP AB 1 1 PE=AP=t. PB=8-t . 2 2 一 1 CEQ 是等腰三角形？请 . 1 分 PE 4 AP 8 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广， 综合性最强的题型。 综合近年来各地中考 2 点E的坐标为(4+ t , 8-t ) 1 1 2 1 1 2 点 G 的纵坐标为：(4+_t ) +4(4+ _t ) =

11、-_t+8. . 5 分 8 1 2 1 2 EG=-_t2+8-(8-t) =- - 12+t. 8 8 1 - V 0,.当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. . 7 分 8 共有三个时刻 . 8 分 16 _40 八 3 13 2 .5 压轴题的做题技巧如下： 1、 对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心 定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点” 一个时 间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证 选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 2、 解数学压轴题做一问是一问。第

12、一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一 小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。 过程会多少写多少， 因为数学解答题是按步骤 给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但 是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用 三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 3、 解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正 确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构， 以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。 解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐 含的重要数学思想，如转

13、化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条 件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思 路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条 件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 压轴题解题技巧练习 对称翻折平移旋转 1. （2010 年南宁）如图 12,把抛物线y x2 （虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再 向上平移 1个单位长度，得到抛物线11，抛物线12与抛物线h关于y轴对称点A、O、B 分别是抛物线11、|2与x轴的交点，D、C分别是抛物线11、12的顶点，线段CD交y轴 于点E. （1） 分别

14、写出抛物线 h与 l2的解析式； （2） 设P是抛物线|1上与D、O两点不重合的任意一点， Q点是P点关于y轴的对称 点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由 . （3）在抛物线|1上是否存在点 M，使得S ABM 出M点的坐标，如果不存在，请说明理由 2. （福建 2009 年宁德市）如图，已知抛物线 C1： y 相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1. （1 ）求 P 点坐标及 a 的值；（4 分） （2） 如图（1）,抛物线C2与抛物线C1关于 x轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移 后的抛物线记为 C3, C3的顶点为

15、M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3的解析 式；（4 分） （3） 如图（2）,点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线 C1绕点 Q 旋转 180后得到 抛物线C4.抛物线C4的顶点为 N,与 x轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当 以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标.（5 分）S四边形 AOED，如果存在，求 5的顶点为 P,与 x轴 E C A 动态：动点、动线 3. (2010 年辽宁省锦州)如图，抛物线与 x轴交于A(xi, 0)、B(X2, 0)两点，且Xi沁， 与y轴交于点C(0 , 4)，其中xi、X2是方程x2 2

16、x 8= 0 的两个根. (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 点P是线段 AB上的动点，过点 P作 PE/ AC交BC于点E,连接CP当厶CPE 的面积最大时，求点 P的坐标； (3) 探究：若点Q是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点 Q使厶QBC成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 4. (2008 年山东省青岛市) 已知：如图，在 Rt ACB 中，/ C= 90, AC= 4cm, BC= 3cm,点P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s;点 Q 由 A 出发沿 AC 方向 向点 C 匀速运动，速度为

17、 2cm/s ;连接 PQ 若设运动的时间为 t (s) (0v t v 2)，解答下 列问题： (1) 当 t 为何值时，PQ/ BC? (2) 设厶 AQP 的面积为 y ( cm2 )，求 y 与 t 之间的函数关系式； (3) 是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 Rt ACB 的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时 t 的值；若不存在，说明理由； (4) 如图，连接 PC,并把 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP C,那么是否存在某一 时刻 t，使四边形 PQP C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. 5. ( 09 年吉林省)如图所示，菱形 A

18、BCD 的边长为 6 厘米，/ B = 60 从初始时刻开始， 点 P、Q同时从 A 点出发， 点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 AT CT B 的方向运动， 点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 AT BTCT D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时，P、Q 两点同时停止Q 图 C 运动设 P、Q 运动的时间为 x秒时， APQ与厶ABC 重叠部分的面积为y平方厘米(这 里规定：点和线段是面积为 0 的三角形)，解答下列问题： (1) _ 点 P、Q 从出发到相遇所用时间是 秒； (2) 点 P、Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时 x的值是 _ 秒； (3) 求y与 x

19、 之间的函数关系式. 6.(2009 年浙江省嘉兴市)如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，MN 4 , MA 1 , MB 1.以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C, 构成 ABC，设AB x . (1) 求 x的取值范围； (2) 若厶 ABC 为直角三角形，求 x的值; (3) 探究： ABC 的最大面积？ 三、圆 7. (2010 青海) 如图 10,已知点 A ( 3, 0),以 A 为圆心作OA与 Y 轴切于原点，与 x 轴的另一个交点为 B,过 B 作OA的切线 I. (1) 以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及

20、点 C (0, 9),求此抛物线的解析式； (2) 抛物线与 x轴的另一个交点为 D,过 D 作OA的切线 DE, E 为切点，求此切线长； (3) 点 F 是切线 DE 上的一个动点，当 BFD 与 EADX 相似时，求出 BF 的长. 2 & (2009 年中考天水)如图 1，在平面直角坐标系 xOy,二次函数y = ax + bx + c(a 0)的 图象顶点为D与y轴交于点C,与x轴交于点A B,点A在原点的左侧，点 B的坐 标为(3 , 0) , OB= OC tan / AC (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点 M N,且以MN为直

21、径的圆与x轴相切， 求该圆的半径长度； 如图 2,若点Q2，y)是该抛物线上一点，点 P是直线AG下方的抛物线上的一动 点，当点P运动到什么位置时， AGP的面积最大？求此时点 P的坐标和厶AGP 的最大面积. 9. ( 09 年湖南省张家界市) 在平面直角坐标系中，已知 A( 4, 0), B(1, 0)，且以 AB 为直径的圆交y轴的正半轴于点 C,过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D. (1) 求点 C 的坐标和过 A, B, C 三点的抛物线的解析式； (2) 求点 D 的坐标； (3) 设平行于 x轴的直线交抛物线于 E, F 两点，问：是否存在以线段 EF 为直径的圆， 恰好与

22、x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由. D，与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C . (1) 求抛物线的解析式； (2) 抛物线的对称轴交 x轴于点E ,连结DE ,并延长DE交圆O于F，求EF的长. (3) 过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明 理由. 四、比例比值取值范围 11. (2010 年怀化)图 9 是二次函数y (x m)2 k的图象，其顶点坐标为 M(1,-4). (1) 求出图象与x轴的交点 A,B 的坐标； 5 (2) 在二次函数的图象上是否存在点 P,使S PAB S MAB,10. (2009

23、 年潍坊市)如图，在平面直角坐标系 xOy中，半径为 1 的圆的圆心0在坐标 原点，且与两坐标轴分别交于 A B、C、D四点.抛物线y 2 ax bx c与y轴交于点 若存在，求出 P 点的坐 4 标；若不存在，请说明理由;(3)将二次函数的图象在 x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得 到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y x b (b 1)与此图象有两个 公共点时，b的取值范围 12. 中，矩形 QABC勺两边分别在 x轴和y轴上， QA 8 2 cm, QC=8cm,现有两动点P、Q分别 C同时出发，P在线段QA上沿QA方向以每秒,2 cm 的速度匀速运动,

24、 t秒. 从Q Q在线段CQ上 沿CC方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为 (1 )用t的式子表示 QPQ勺面积S; (2)求证：四边形 QPB的面积是一个定值，并求出这个定值; (3 )当厶QPQfA PABH QPB相似时，抛物线 段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于 MN把四边形OPBQ成两部分的面积之比. lx2 bx c经过B P两点，过线 4 当线段MN勺长取最大值时，求直线 13.(成都市 2010 年)在平面直角坐标系 xQy中，抛物线y ax2 bx c与x轴交 于A、B两点(点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(3,0)，若将经 2 过A C两

25、点的直线y kx b沿y轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点， 且抛物线的对 称轴是直线x 2. (1) 求直线AC及抛物线的函数表达式； (2) 如果P是线段AC上一点，设 ABP、 BPC的面积分别为SABP、SBPC， 且S ABP : S BPC 2:3，求点p的坐标； (3) 设e Q的半径为 I，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在 e Q与 坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q的坐标；若不存在，请说明理由.并探究：若 设OQ的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当 r取何值时，O Q与两坐轴同时相切? 五、探究型 A B两点，与y轴交于C点. (1) 请求出抛物线顶点 M

26、的坐标(用含 m 的代数式表示)，A B两点的坐标； (2) 经探究可知， BCM与厶ABC的面积比不变，试求出这个比值； (3) 是否存在使 BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说 14.(内江市 2010)如图，抛物线y 2 mx 2mx 3m m 0与x轴交于 2 轴相交于 A、B,点 A 的坐标为(2, 0),点 C 的坐标为(0, -1 ) (1)求抛物线的解析式； (2) 点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作DEL x轴于点 D,连结 DC 当厶 DCB 的面积 最大时，求点 D 的坐标； (3) 在直线 BC上是否存在一点 卩，使厶 ACP 为等腰三

27、角形，若存在，求点 P 的坐标, 若不存在，说明理由 16. (2008 年福建龙岩)如图，抛物线y ax2 5ax 4经过 ABC的三个顶点，已知 BC / x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC BC . (1)求抛物线的对称轴; (2)写出A, B, C三点的坐标并求抛物线的解析式; 探究：若点 P是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点，是否存在 PAB是等 (1 )填空：点 C 的坐标是_ , b= _ , c= _ (2)求线段 QH 的长(用含 t 的式子表示)； (3) 依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与 COQ 相 似？若存在，求出所有 t

28、 的值；若不存在，说明理由. 18. (09 年重庆市)已知：如图，在平面直角坐标系 xoy中，矩形 OABC 的边 OA 在y轴 的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA = 2, OC = 3.过原点 O 作/ AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC,过点 D 作 DE 丄 DC,交 OA 于点 E. (3) P坐标；不存在，请说明理由. 如图，已知抛物线 y = 3 x2 + bx + c 与坐标轴交于 4 3 标为(一 1, 0),过点 C 的直线 y= x- 3 与 X 轴交于点 4t 点，过 P 作 PH 丄 OB 于点 H .若 PB = 5t，且 0 v tv 1 .

29、A、B、C 三点, A 点的坐 Q,点 P 是线段 BC 上的一个动 年广西 17 . 钦州)26.(本题满分 10 分) (1) 求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； (2) 将/ EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y轴的正半轴交于点 F，另一 边与线段 0C 交于点 G .如果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐 标为6，那么 EF = 2G0 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理 5 由； (3) 对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的 PCG 是等腰三

30、角形？若存在，请求出点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由. 19. (09 年湖南省长沙市) 如图，抛物线y= ax2 + bx+ c(aM 0)与 x轴交于 A( 3, 0)、B 两点，与y轴相交于点 C( 0, ,3 ).当 x = 4 和 x= 2 时，二次函数 y= ax2+ bx+ c( a丰 0)的函数值y相等，连结 AC、BC. 1)求实数 a, b, c 的值； (2) 若点M、 N同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动， 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为 t 秒时， 连结 MN， 将 BMN沿 MN 翻折，B 点恰好

31、落在 AC 边上的 P 处，求 t 的值及点 P 的坐标； (3) 在(2)的条件下， 抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得以 B, N, Q 为顶点的三 角形与 ABC 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 20. (08 江苏徐州)如图 1, 一副直角三角板满足 AB= BC, AC= DE / ABC=Z DEF= 90, / EDF= 30 2 如图 3,当C = 2时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由 . EA 【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕 点 E旋转，并使边 DE 与边

32、 AB 交于点 P,边 EF 与边 BC 于点 Q 【探究一】在旋转过程中， CE (1) 如图 2,当一一=1时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明 . EA CE （3） 根据你对（1 ）、（2）的探究结果，试写出当 =m时，EP 与 EQ 满足的数量关 EA 系式 为 _ ,其中m的取值范围是 _ （直接写出结论，不必证明） 【探究二】若，AC= 30cm,连续 PQ 设厶 EPQ 的面积为 s（cm2），在旋转过程中： （1） S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理 由 （2） 随着 S 取不同的值，对应 EPQ 的个数有哪些变化？不出相应

33、 S 值的取值范围 A(D) 六、最值类 22. （2010 年恩施）如图 11,在平面直角坐标系中，二次函数 y x2 bx c的图象与x 轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3, 0）,与 y 轴交于 C（ 0, -3 ） 点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点 （1） 求这个二次函数的表达式. （2） 连结PO PC,并把 POC沿 CO翻折，得到四 边形POP c,那么是否存在点 P,使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 请说明理由. P的坐标；若不存在 （3）当点P运动到什么位置时， 大并求出此时 P点的坐标和四边形 四边形ABPC勺面积最 ABPC勺最大

34、面积 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型 综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解 析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研 究图形的某些性质。初中已知函数有：一次函数（包括正比例函数）和常值 函数，它们所对应的图像是直线；反比例函数，它所对应的图像是双曲线； 二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定 系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代 数法（解析法）。此类题基本在第 24 题，满分 12 分，基本分 2

35、3 小题来呈 现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动 点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数 的解析式（即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么 ）和求函数的定义 域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等 腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条 件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求 x的值 等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列 出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写 成y=f

36、（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有 x和y的方程）和复合法 （列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数 关系式，代入消去第三个变量，得到 y= f （x）的形式），当然还有参数法， 这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定 理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找 图形的特殊位置（极限位置） 和根据解析式求解。 而最后的探索问题千变万化， 但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x的值。几何型综合 题基本在第 25 题做为压轴题出现，满分 14 分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：

37、数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件 不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严 谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目， 其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。 解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本 技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参 考。 1、 以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点 是通过建立点与数即坐标之间的对应关系， 一方

38、面可用代数方法研究几何图形 的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、 以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数， 即一次函数与二次函数所表 示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的 思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之 而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性， 常常通过条件的多 变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨 论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类

39、讨论思想解题已 成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想， 初中数学中的转换大体包 括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识 之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合 试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识 点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的 知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐 惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得 不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，

40、考试中还需要有一种分题、分段 的得分策略。 5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是 第（1 ）小题较易，第（ 2）小题中等，第（ 3）小题偏难，在解答时要把第（ 1） 小题的分数一定拿到，第（ 2）小题的分数要力争拿到，第（ 3）小题的分数要 争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会， 要将片段的思路转化为得分点， 因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分 段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给 分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥

41、自 己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。 近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐， 它不仅综合考查初中数学骨干知识， 如三 角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程 等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。 此类题型也往往起到了考试的选拔作 用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离， 所以准确快速解决此类问题是赢得中考 数学胜利的关键。 如何准确、 快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方 法以静制动。 另外， 需要强调的是此类题型一般起点低， 第一步往往是一个非常简单的问题， 考生 一般都能拿分， 但恰恰是这一步问题的解题

42、思想和方法是本题基本的做题思想和方法， 是 特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答 案，更重要的是明确此题的方法和思路。 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。 一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，5 然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 例 1 :(北京市石景山区 2010 年数学期中练习)在厶 ABC 中，/ B=60 ,BA=24CM,BC=16CM, 求厶 ABC 的面积； (2) 现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q 从 C 点出发，沿射线 CB 也向点 B

43、方向运动。如果点 P 的速度是 4CM/秒，点 Q 的速度是 2CM 秒,它们同时出发， 几秒钟后， PBQ 的面积是 ABC 的面积的一半？ (3) 在第(2)问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？ 点评：此题关键是明确点 (1 )当 0 t W 6 时，P、Q 分别在 AB、BC 边上； (2)当 68 时,P、Q 分别在AB、BC 边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解 (2)设点Q的运动时间为t秒， OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式; 48 (3) 当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点 0、P、Q为顶点的平行四边P、Q 在厶 ABC 边上的位置，有三种情况

44、。 例 2:(北京市顺义 2010 年初三模考)已知正方形 ABCD勺边长是 1, E为CD边的中点， P为正方形ABCDfe上的一个动点，动点 P从A点出发，沿 A TB T C TE运动，到达点 E.若点P经过的路程为自变量 x,A APE的面积为函数y, (1) 写出 y 与 x 的关系式 (2) 求当y =丄时，x的值等于多少？ 3 点评：这个问题的关键是明确点 的位置分三种情况：分别在 AB 上、BC 边上、EC 边上. 例 3:(北京市顺义 2010 年 初三模考)如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中，/ B=90 , DC/ AB,动 点 P 从 B 点出发， BT C T D

45、T A 运动的路程为x , ABC 的面积为( A. 32 B. 18 X, 沿梯形的边由 运动，设点 P ABP 的面积为 ) C. 16 D. 10 例 4 : ( 09 齐齐哈尔)直线y 动点P、Q同时从0点出发，同时到达 A点，运动停止.点 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P沿路线0 T B T 接写出A B两点的坐标； P 在四边形 ABCD 边上的位置,根据题意点 P ，那么 ,如果关于x的函数y的图象如图 2 所示 3 x 6与坐标轴分别交于 4 形的第四个顶点M的坐标. 点评：本题关键是区分点 P 的位置：点 P 在 0B 上，点 P 在 BA 上。 例 5： (2009

46、宁夏)已知： 等边三角形 ABC的边长为 4 厘米， 长为 1 厘米的线段MN 在厶ABC的边AB上沿AB方向以 1 厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点 M与 点A重合，点N到达点B时运动终止)，过点M、N分别作AB边的垂线，与 ABC的 其它边交于P、Q两点，线段 MN运动的时间为t秒. (1) 线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩 形的面积； (2) 线段MN在运动的过程中，四边形 MNQP的面积为S，运动的时间为t 求四 边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量 t的取值范 围. 解：(1)过点C作CD AB，垂足为D 则AD

47、 2 , 3 当MN运动到被CD垂直平分时，四边形 MNQP是矩形，即AM 时， 3 四边形MNQP是矩形，t?秒时，四边形MNQP是矩形 Q PM AM tan60 Sa边形MNQP 2 2 (2)1 当 0 t 1 时，S四边形 MNQP 1(PM QN)MN J3t 弓 1 3 2 当 1 t 2时，S四边形 MNQP (PM QN)-MN V3 1 7 3 当 2 t 3 时，S四边形 MNQP (PM QN)-MN . 3t 3 点评：此题关键也是对 P、Q 两点的不同位置进行分类。 例 6 : ( 2009 四川乐山).如图(15 ), A 90, AD 6厘米，DC 4厘米，BC

48、的坡度i 3： 4,动点P从A出 发以 2 厘米/秒的速度沿 AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3 厘 米/秒的速度沿B C D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其在梯形ABCD中， DC / AB, 图(3) 当Q在CD上，即10 t 14时, 3 3 -PB-CE -(12 2t) 6 = 36 6t. 2 2 中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 (1)求边BC的长； (2 )当t为何值时，PC与BQ相互平分； t 秒. 6.解： (1)作CE AB于点E ,如图(3)所示，则四边形 AECD为矩形. AE CD 4, CE DA 6.又i 3：4, CE

49、EB 3 4 . EB 8, AB 12. 2 分 在Rt CEB中， 由勾股定理得 B .CE2 EB2 1 (3)连结卩0,设厶PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有 最大值？最大值是多少? (2)假设PC与BQ相互平分.由DC / AB,则PBCQ是平行四边形(此时Q在CD 上) 22 22 即CQ BP, 3t 10 12 2t.解得t ，即t 秒时，PC与BQ相互平分. 5 5 (3)当Q在BC上，即0 t 10时，作 3 QF AB于 F， 贝U CE / QF. QF BQ CE BC Q3t 9t 1 1 “ c、9t 9 2 8 QF SA -PB-QF

50、 二2t)-= -(t 3)2 6 10 5 2 2 5 5 5 当t 3秒时, SA PBQ 有最大值为 81厘米2 . 易知S随t的增大而减小.故当t 7秒时， SA PBQ有最大值为36 16厘米2. SA PBQ 3 15 4 又 BPD BA CQP , B C，则 BP PC 4, CQ BD 5, 点P，点Q运动的时间t BP -秒, 3 3 CQ 5 15 厘米/秒. 4 4 (2)设经过 x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 x 3x 2 10，解得 x 80 3 9t2 聖 t, 0 t 10 Q81 16, y 5 5 3 5 10 - 1 6t 36- t x,所以点

51、 E 一定在 点 P 的左侧. 若以 P, Q , M, N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点 F 定在点 N 的右侧，且 PE=NF , 即 2x x x2 3x .解得 x 0(舍去),X2 4 . 由于当 x=4 时，以 P, Q, M , N 为顶点的四边形是平行四边形，所以 ，以 P, Q, M , N 为顶点的四边形不能为等腰梯形. 第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点， 然后再去解，第二是对称性， 如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系， 列出一些方程来。中等的动点题也就没 问题了。

52、但是在难一点的动点题就要你的能力了， 比如让你找等腰三角形的题， 最好带着 圆规，这样的题你要从三个顶点考虑， 每一条边都要想好， 然后再求出来看看在不在某个 范围内 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是 通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的 性质,另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、 以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表 示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思 想。例如

53、函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而 得。 3、 利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多 变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论， 就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为 新的热点。 4、 综合多个知识点，运用等价转换思想 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包 括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之 间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题， 转换的思

54、路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并 非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广， 所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自 己的水平一般,做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数， 为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。 5、 分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第 小题较易，第小题中等，第小题偏难，在解答时要把第(1)小题的分数一定拿 到，第(2)小题的分数要力争拿到，第(3)小题的分数要争取得到，这样就大大提高 了获得中考数学高分的可能性。

55、6分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会,要将 片段的思路转化为得分点，因此,要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评 分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分 ，踏上知识点就给分，多 踏多给分。因此,对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平， 把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。 重点难点： 1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索 不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以 及发现所形成的客观规律。 2. 难点： 探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。 三. 具体内容： 通常情景中的

56、“探索发现”型问题可以分为如下类型： 1. 条件探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。 2. 结论探索型给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与 之相应的结论的题目。 3. 存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的 题目。 4. 规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有 的规律性或不变性的题目。 由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固 定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： （1）利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等） 进行归纳、 概括，从特殊到一般，从而得出规律。 （2）反演推理法（反证法）

57、，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是 推导出矛盾还是能与已知条件一致。 （3）分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定， 难以统一解答时，则 需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不 同结论综合归纳得出正确结果。 （4）类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似 问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注 重数学思想方法的综合运用。 【典型例题】 例1（2007呼和浩特市）在四边形 中，顺次连接四边中点二 构成一个新的四边形，请你对四边形 填加一个条件，使四边形三二三三成 为一个菱

58、形，这个条件是_0 解：=弓二或四边形二二是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以） 例2 （2007荆门市）将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设 较短直角边为1o （1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由: 0 （2）如图2,将Rt BCD沿射线BD方向平移到Rt BCD的位置，四边形 ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _ o (3) _ 在Rt BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为 _ 时，四边形ABCD为矩形，其理由是 _ ;当点B的移动 距离为 _时，四边形ABCD为菱形，其理由是 _ 。 (图3、图4用于探究) 解： (1) 是，此时

59、AD；BC, 组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (2) 是，在平移过程中，始终保持 A腔CD, 组对边平行且相等的四边 形是平行四边形。 (3) 一，此时/ ABC=90。，有一个角是直角的平行四边形是矩形。 、-，此时点D与点B重合，AC丄BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱 形。 例3 (2006广东)如图所示， 在平面直角坐标中， 四边形 OAB(是等腰梯形， BC/ OA OA=7 AB=4 / COA=60，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O 点A重合。连结CP过点P作PD交AB于点Do (1) 求点B的坐标； (2) 当点P运动什么位置时， OCP为等腰三角形，求这时点 P

60、的坐标； BD_ 5 (3) 当点P运动什么位置时，使得/ CPDM OAB且丿百卫，求这时点P 的坐标。 V 1 C B 4 1 / / - 0 F x 解析：（1）过 C作 CHL OA于 H, BEL OA于 E 则厶OCHPAABE四边形CHE助矩形 OH=AE CH=BE v OC=AB=4 / COA=60 CH= , OH=2 CB=HE=3 OE=OH+HE=5 vBE=CH= .B （5,丄） （2） vZ COA=60 , OCP为等腰三角形 OCP是等边三角形 OP=OC=4 .P （4, 0） 即P运动到（4, 0）时， OCP为等腰三角形 （3） vZ CPDM OABM COP=6