第5章线性系统的频域分析法

1、2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法1第第5章章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法2频域分析法优点频域分析法优点1)1)根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能, , 得到定性和定得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响, ,并并提出改进系统的方法。提出改进系统的方法。2)2)时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的时域指标和频域指标之间有对应

2、关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。 3)3)具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。4)4)频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某

3、些频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。为多变量频域控制理论。5)5)可以有效地抑制噪声，若已知系统在某些频段范围内存在严重噪声时，应用可以有效地抑制噪声，若已知系统在某些频段范围内存在严重噪声时，应用频率分析法可设计出能够有效抑制该部分噪声的系统频率分析法可设计出能够有效抑制该部分噪声的系统2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法3 5.1.1 频率特性的基本概念ui(t)与与u0(t)分别为输入与输出

4、信号，其传递分别为输入与输出信号，其传递函数为函数为( )( )( )OiUs1G sUsTs1输出响应的拉氏变换为输出响应的拉氏变换为( )iO22U1UsTs1s2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法4对上式进行拉氏反变换可求得输出信号的时域表达式)arctansin(11)(22220TtTUeTTUtuiTti(5.1-1)(5.1-1)设有设有n 阶线性稳定系统的传递函数为阶线性稳定系统的传递函数为12( )( )( )( )( )( )()()()nC sN sN sG sR sD sssssss若初始条件为零，在该系统的输入端施加一个正弦信号，即若初始条件为零，在该系统的

5、输入端施加一个正弦信号，即tRtrmsin)(实际上，对于一个稳定的线性定常系统实际上，对于一个稳定的线性定常系统(或元件或元件)，在正弦信号的，在正弦信号的作用下，其稳态输出必是一个与输入信号同频率的正弦信号，作用下，其稳态输出必是一个与输入信号同频率的正弦信号，且其幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。且其幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法5式中Rm为输入正弦信号幅值，是输入正弦信号频率。经拉普拉斯变换后，可以得到22( )mRR ss2212121( )( )( ) ( )()()()mnniiiRN sC sG s R ssssssssb

6、aasjsjss经拉普拉斯反变换后，可得系统的输出为经拉普拉斯反变换后，可得系统的输出为121( )ins tjtjtiic tb ea ea e 稳 态 分 量暂 态 分 量2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法6由于系统是稳定的，闭环特征根s1，s2，sn 的具有负实部。则系统在正弦信号作用下的稳态输出为12( )lim ( )j tj ttcc ta ea e 式中：式中：a1、a2 为待定系数。利用待定系数法可得为待定系数。利用待定系数法可得1()( )()()()2mmRR GjaG ssjsjsjsjj 2()( )()()()2mmRR G jaG ssjsjsjsjj(

7、)()()jG jG jG je()()()()()j Gjj G jGjGjeG je 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法7从而可以得到()()()()( )22j G jj G jmmj tj tR G jeR G jeceejj ()()()2jtG jjtG jmeeR G jj() sin()mR G jtG j【例例5-1】某单位负反馈系统的开环传递函数为某单位负反馈系统的开环传递函数为，输入信号，输入信号r(t)=2sin2tr(t)=2sin2t，试求该系统的稳态输出。，试求该系统的稳态输出。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法8解：容易判断，所给系统是稳

8、定的。在正弦信号作用下，稳定的线性定常系统的稳态输出也是正弦信号，本题现利用频率特性的概念来求解。控制系统的闭环传递函数为：2( )4( )1( )24G ssG sss其对应的频率特性为：其对应的频率特性为：24()( )42 sjjsj由于输入正弦信号的频率由于输入正弦信号的频率 =2rad/s=2rad/s，可以算得：，可以算得：()j90j2j1e 即即A(2)=1A(2)=1，j j(2)= (2)= 9090。当输入信号。当输入信号r(t)=2sin2tr(t)=2sin2t时时, ,利用幅频特性和利用幅频特性和相频特性的定义，可以写出系统的稳态输出相频特性的定义，可以写出系统的稳

9、态输出)902sin(2)(ttcs2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法95.1.2 频率特性的几种表示法1 幅相频率特性曲线1) 用j代替传递函数中的s，求出系统的频率特性G(j)。2) 求出幅频特性A()与相频特性 的表达式，判断G(j)所在的象限。3) 取 0(起点)和 (终点)两点以及在0之间的一些特殊点，计算这些点处的幅频值A()和相频值()，在幅相平面上找出这些点，并用光滑的曲线将它们连接起来。当频率从零变到无穷大时，幅相频率特性向量矢端的运动轨迹，即为幅相频率特性曲线。2 对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称为波特图（Bode图），包括对数幅频特性和对数相频特性两条曲

10、线，是频域分析法中广泛使用的一组曲线。 3 对数幅相曲线 ( )j (奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)曲线曲线，简称奈氏图奈氏图，也称极坐标图极坐标图)。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法10图5.1-3 线性分度与对数分度的示意图 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法115.2 频率特性的极坐标图（Nyquist图）5.2.1典型环节频率特性的极坐标图1. 比例环节比例环节的传递函数为 G(s)=K用j 替换s，可得其频率特性为 G(j)=K 比例环节的幅频特性和相频特性的表达式为 2. 积分环节理想积分环节的传递函数为 ( )AK0j 1( )G ss2022-2-

11、25第5章 线性系统的频域分析法12其频率特性为相应的幅频特性和相频特性表达式为3. 微分环节理想微分环节的传递函数为 G(s)=s其频率特性为211()jG jwej ( )1A90j ()j2G jje2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法13相应的幅频特性和相频特性表达式为4. 惯性环节惯性环节的传递函数为其频率特性为相应的幅频特性和相频特性表达式为 ( )A90j 1( )1G sTsarctan222222111()1+111TTG jjej TTTT( )( )arctan221A1TTj 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法145. 一阶微分环节一阶微分环节的传

12、递函数为 G(s)=Ts+1其频率特性为相应的幅频特性和相频特性表达式为6. 振荡环节振荡环节的传递函数为arctan()22jTG j1j T1T e( )( )arctan22A1TTj 2n22nnGs2s（s ）=2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法15其频率特性为相应的幅频特性和相频特性表达式为7. 二阶微分环节二阶微分环节的传递函数为()()2n22nnG jj2 =( )( )arctan2n2222222nn2nnn22n1A2212 j ( )22G ss2s12022-2-25第5章 线性系统的频域分析法16其频率特性相应的幅频特性和相频特性表达式为8. 延迟环节

13、延迟环节的传递函数为 其频率特性为 相应的幅频特性和相频特性表达式为22()12 G jj( )()()( )arctan222222A1221 j ( )( )A1j G(s)=e-sG(j)=e- j 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法175.2.2 系统开环频率特性的极坐标图1 定义线性定常系统的频率特性也有开环频率特性和闭环频率特性之分。显然，在系统的开环传递函数中令s=j 得到开环频率特性，在闭环传递函数中令s=j 得到闭环频率特性。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，因此利用频率分析法分析与设计控制系统一般是基于系统的开环频率特性。系统的开环频率特性

14、可表示为 对于由多个典型环节组合而成的系统（延迟环节除外），其频率特性应满足式(5.2-8)。121222112211(1)(21)()()(1)(21)mmikkkikKnnvjllljljjKGjjj TTjT (5.2-7)2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法181()()niiG jGj( )( )nii 1AA( )( )nii 1j j (5.2-8)(5.2-8)2. . 开环幅相曲线基本绘制规律开环幅相曲线基本绘制规律（1 1）低频段的确定（）低频段的确定（00）由式由式(5.2-7) (5.2-7) ，可得，可得GK(j)GK(j)的低频段表达式的低频段表达式根据向

15、量相乘原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为根据向量相乘原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为 , , (5.2-9)(5.2-9)对于对于0 0型系统（型系统（v=0v=0）：）：A(0)=KA(0)=K， =0=0，低频特性为实轴上的一点，低频特性为实轴上的一点(K,0)(K,0)。 对于对于型系统（型系统（v=1v=1）：）：A(0)A(0)， = -90= -90。对于对于型系统（型系统（v=2v=2）：）：A(0)A(0)， = -180= -180。()()KvKGjj( )( )KvKAG( )90j (0)j(0)j(0)j2022-2-25第5章 线性系统的频

16、域分析法19（2）高频段（ ）实际的物理系统通常是，由式(5.2-7)知 ， 当(n-m)=1，则 =-90，即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点当(n-m)=2，则 =-180，即幅相特性沿负实轴进入坐标原点当(n-m)=3，则 =-270，即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点（3）中频段部分，将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实频特性与虚频特性，确定幅相曲线与实轴、虚轴的交点。曲线与实轴的交点处的频率由虚频特性为零时求解,曲线与虚轴的交点处的频率由实频特性为零时求解得到。（4）按频率从小到大的顺序用光滑曲线将频率特性的低频、中频和高频部分连接起来即可。0)(limjGK( )lim ( )()

17、nm90jj ( )j( )j( )j(5.2-10)2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法20【例5-2】某系统开环传递函数如下，试绘制其开环极坐标图。解：由系统的开环传递函数得频率特性：当 0时，A(0) =K， =0，低频特性为正实轴上的一点(K,0) 在 时，A()=0， =-(n-m)90=-3*90=-270 此系统无开环零点，因此在 从0过程中，特性的相位单调连续减小，从0连续变化到-270，中间有-180角，故曲线与负实轴有交点。极坐标图应该是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。极坐标图如图5.2-11所示。K123( )(1)(1)

18、(1)KGsTsT sT sK123()(1)(1)(1)KGjj Tj Tj T( )j(0)j。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法21图图5.2-11 .2-11 例例5-2系统的极坐标图系统的极坐标图【例例5- -3】某系统开环传递函数如下，某系统开环传递函数如下，请请绘制其开环绘制其开环幅相曲线。幅相曲线。解：系统的频率特性：解：系统的频率特性：1212( )(1)(1)kKG sTTs TsT s，12()(1)(1)kKGjjj Tj T2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法22（1）此系统为型系统。当 0时，A(0)， =-90，低频特性始于负虚轴的无穷远处。

19、将频率特性表达式进行分母有理化。则低频渐近线为频率特性实部0，故曲线只在第二、三象限。（2） 时，A()=0， =-(n-m)90= -390= -270，即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。（3） 有-180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定。令 ImG(jw)=I(w)= =0，得：2121 2222222221212()(1)()(1)(1)(1)(1)kK TTKTTGjjTTTT1200lim Re ()lim( )()xG jRK TT 21 2222212(1)(1)(1)KTTTT1 21/TT(0)j( )j( )j 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析

20、法23曲线与负实轴交点的坐标为（4）此系统无开环零点，因此在从0过程中，特性的相位单调连续减小，从0连续变化到-270。极坐标图是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。极坐标图如图5.2-12所示。 图5.2-12 例5-3系统的开环幅相曲线12,0KTT2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法24【例5-4】某系统开环传递函数如下，绘制其开环极坐标图。解：由系统的开环传递函数求得其幅频特性和相频特性此系统为型系统。当 0时，A(0) ， =-180 ；当 时，A()=0， =-(n-m)90=-3*90=-270 ；由于没有开环零点，所以极坐标图从低频

21、段到高频段为连续变化的光滑曲线，幅值连续减小，最后沿正虚轴终止于原点。极坐标图如图5.2-13所示。K21( )(1)KGss Ts2221( )1KAT1( )180arctanTj (0)j( )j，2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法25图图5.2-.2-13 3 例例5-4系统的开环幅相曲线系统的开环幅相曲线若若在在该系统该系统中中增加一个开环零点，开环频率特性表达式为增加一个开环零点，开环频率特性表达式为此时，有12122,) 1()() 1()(TTTjjTjKjG12( )180arctanarctanTTj 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法26此系统仍为

22、型系统。当 0时，A(0)， =-180，即极坐标图（奈氏图）的起点基本未变。当 时，A()=0， =-(n-m)90=-2*90=-180，极坐标图（奈氏图）沿负实轴终止于原点。极坐标图如图5.2-14所示。 图5.2-14 例5-4系统中增加一个开环零点后的极坐标图( )j(0)j2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法275.3 频率特性的对数坐标图（Bode图）5.3.1典型环节频率特性的Bode图1. 比例环节比例环节的对数幅频特性和相频特性为其Bode图如图5.3-1所示，对数幅频特性的是一条高度为20lgK且平行于横轴的直线，对数相频特性与零度线（横轴）重合。 图5.3-1

23、 比例环节的Bode图 20lg0j LK2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法282. 积分环节理想积分环节的对数幅频特性和相频特性为其Bode图如图5.3-2所示。 120lg20lg190j Ljj2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法293微分环节理想微分环节的对数幅频特性和相频特性为其Bode图如图5.3-3所示。( )20lg20lg( )90j Ljj2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法304. 惯性环节惯性环节的对数幅频特性和相频特性为1）低频段在T 1（或 1（或 1/T）的区段，可近似地认为惯性环节的Bode图如图5.3-4所示。2( )20lg(

24、)120lg20lg20lg LTTT2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法325. 一阶微分环节一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性为一阶微分环节的Bode图如图5.3-5所示。 2220lg 1arctanj LTT2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法336. 振荡环节 振荡环节的对数幅频特性和相频特性为1）低频段（0 1）T 1(或 1(或 1/T)时，L( )=20lg(wT)2=40lg(Tw)=40lgT40lgw（dB）。高频段是一条斜率为40dB/dec的斜线，称为高频渐近线。振荡环节的Bode图如图5.3-6所示。 2222221=20lg212( )arc

25、tan j nnnnL2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法34图图5.3-6 .3-6 振荡环节的振荡环节的Bode图图2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法357. 二阶微分环节与一阶环节类似，二阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与振荡环节的相应特性互以横轴为镜像。低频幅频特性渐近线与0dB线重合，高频段渐近线是斜率为+40dB/dec的直线，转折频率为 =1/ 。二阶微分环节的Bode图如图5.3-7所示。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法368. 延迟环节延迟环节的对数幅频特性和相频特性为 lgjL2010ej 图5.3-8 延迟环节的Bode图2022-2

26、-25第5章 线性系统的频域分析法375.3.2系统开环频率特性的Bode图绘制系统开环对数频率特性（Bode图）的一般步骤：1) 将系统开环传递函数写成标准的时间常数表达式形式，确定各典型环节的转折频率。2) 选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为最高转折频率的10倍左右。确定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。3) 确定低频渐近线（由积分环节个数v与开环传递系数K决定）：找到横坐标为=1、纵坐标为20lgK 的点，过该点作斜率为-20vdB/dec 的斜线。4) 由低频向高频延伸，每到一个转折频率，斜率根据具体环节作相应的改变。例如，若

27、遇到惯性环节，其转折频率为1/T1，则当1/T1 时，分段直线斜率的变化量为-20dB/dec；如遇到比例微分环节，其转折频率1/T2，则当1/T2 时，分段直线斜率的变化量为+20dB/dec，其他环节按类似的方法处理，最右侧折线斜率为-20（n-m）dB/dec。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法385) 绘出对数幅频特性的渐近线后，可再按照前述的各典型环节的误差进行适当修正，例如，振荡环节的阻尼比不在0.40.7 范围内时，就需要对L( w)进行修正；两个惯性环节的转折频率相距很近时，也要对L( w )进行修正。修正后即可得到实际的对数幅频特性曲线。6) 相频特性曲线的绘制可

28、根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成光滑曲线。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法39【例5-5】设系统开环传递函数为 ，试绘制该系统的Bode图。解：（1）系统由一个比例环节、两个惯性环节组成。（2）该系统为0 型系统，故低频起始段为高度在20lgK(dB)处的水平线。（3）计算系统中各典型环节的转折频率 =0.1rad/s， =1rad/s，并将各转折频率由低到高依次标于横坐标上。（4）由低频到高频顺序绘出系统对数幅频特性曲线渐近线。以低频起始段渐近线为基础，每遇到一个环节的转折频率，根据该环节的性质作一次斜率变化，直至最后一个环节

29、完成为止。本例中，在 =1 处，作高度为20lgK(dB)的水平线；在 =0.1rad/s处，曲线斜率由0变为-20dB/dec；在 =1rad/s( )(1)(101)KG sss12122022-2-25第5章 线性系统的频域分析法40处，曲线斜率由-20 dB/dec变为-40dB/dec，绘制出系统的开环对数幅频特性渐近线。（5）分别画出各典型环节的对数相频特性曲线，并将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向叠加，便可得到系统的对数相频特性曲线。系统Bode图如图5.3-9所示。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法41【例5-6】设系统的开环传递函数为试绘制该系统的Bode图

30、。解：（1）系统由一个比例环节、一个积分环节、一个一阶微分环节、两个惯性环节组成。将系统的开环传递函数化为标准形式，即（2）该系统为型系统，故低频起始段渐近线的斜率为-20dB/dec，低频段在 =1时的高度为20lg10=20dB。（3）在横坐标上标出各典型环节的转折频率，系统转折频率 =1rad/s， =2rad/s， =20rad/s。（4）找到 =1处，高度为20dB的点，通过该点作斜率为-20dB/dec 的直线，在 =1rad/s处，曲线斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec；在 =2rad/s处，曲线斜率由-40dB/dec变()( )()()100 s2G ss s1

31、s20( .)( )()( .)10 0 5s1G ss s1 0 05s11231232022-2-25第5章 线性系统的频域分析法42为-20dB/dec，在 =20rad/s 处，曲线斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，绘制出系统开环对数幅频特性渐近线。 （5）分别画出各典型环节的对数相频特曲线，并将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向叠加，便可得到系统的对数相频特性曲线。系统Bode图如图5.3-10 所示。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法435.3.3 最小相位系统1. 最小相位系统的概念“最小相位”这一概念来源于网络理论。它是指具有相同幅频特性的一些环节

32、，其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节；反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节。2. 最小相位系统的性质（1）最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性是一一对应的。也就是说，对于最小相位系统，一条对数幅频特性只有一条对数相频特性与之对应，知道其对数幅频特性，也就知道其对数相频特性。因此，利用Bode图对最小相位系统进行分析时，往往只分析其对数幅频特性L( )。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法44（2）最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L( )的斜率减小（或增大），则 的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特

33、性L( )的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。（3）对于最小相位系统，可以通过实验的方法测量并绘制出开环对数幅频特性曲线L( )，就可以唯一确定此系统，推出相应的 ，写出其开环传递函数。( )j ( )j 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法45【例5-7】 某最小相位系统开环对数幅频特性曲线的渐近线如图5.3-13所示，求此系统的开环传递函数。 图5.3-13 系统开环对数幅频特性曲线解：根据上述步骤容易求得系统的开环传递函数为( )()( .)( .)14s1G s30s40s1 0 2s1 0 1s12022-2-25第5章 线性系统的频域分析法465.4 频率

34、域的稳定判据 5.4.1 幅角原理 设复变函数为 (5.4-1) 其幅角为 式中-zi(i=1,2,m)为F(s)的零点，-pj(j=1,2,n)为F(s)的极点。 函数F(s)是复变量s的单值、连续的正则函数，对于s平面上除了极点之外的每一点 ，在F(s)平面上必有一点与之对应。例如 ，当 时， 。同理，在s平面上的任意一条闭合曲线， 在F(s)平面上必有一条唯一的闭合曲线与之对应。对于在s平面上的一条顺时针运动的闭合曲线，映射在F(s)平面上的闭合曲线是顺时针运动还是逆时针运动，取决于F(s) 函数的特性。)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFnjjmiipszss

35、F11)()()()2/() 1s ()(ssFjs15 . 05 . 0)1(jjF(5.4-2)2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法47特别值得注意的是，我们不关心映射曲线的形状，而关注映射在F(s)平面上的闭合曲线是否包围坐标原点、包围次数和运动方向。 综上所述，可以归纳幅角原理为：在s平面上的闭合曲线包围了F(s)的Z 个零点和P 个极点，并且闭合曲线不通过F(s)任何零、极点，当s沿着闭合曲线顺时针运动一周，则在F(s)平面上与之对应的闭合曲线绕原点顺时针旋转的圈数为N = Z P。 5.4.2 奈奎斯特稳定判据 设控制系统如图5.4-3 所示,其开环传递函数为 图5.4-

36、3 系统的方块图 )(sR)(sC)(sG)(sH)()()()()(sAsBsHsGsGk（5.4-3）2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法48)()(1)()()(sHsGsGsRsC （5.4-4）系统的特征多项式为系统的特征多项式为 由于实际物理系统的阶数由于实际物理系统的阶数n n大于的阶数大于的阶数m m，根据式（，根据式（5.4-35.4-3）和式（和式（5.4-55.4-5）可以得出：）可以得出：F(s)F(s)的极点等于开环传递函数的极的极点等于开环传递函数的极点，其极点数用点，其极点数用P P表示；表示；F(s)F(s)的零点就是闭环传递函数的极点，的零点就是闭环

37、传递函数的极点，其个数用其个数用Z Z表示。表示。 1. 1. 奈奎斯特路径奈奎斯特路径)()()()()(1)(1)(sAsBsAsAsBsGsFk闭环传递函数为（5.4-5）2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法49 为了分析系统的稳定性,判别F(s)是否在s右平面上有零点，选取s平面上的闭合曲线顺时针包围s的整个右半平面，如果F(s)在s右平面上有零、极点，则一定被包围在闭合曲线中，这一闭合曲线称为奈奎斯特路径，如图5.4-4所示。注意奈奎斯特路径不能通过F(s)的零、极点。从图可见，闭合曲线由两部分构成，一部分是整个虚轴；另一部分是半径为无穷大的半圆。由于 分母的阶数n大于分子

38、的阶数m，有 常数，所以当s沿着半圆从 变化时，函数F(s)保持常数。因此，F(s)的曲线包围F(s)平面上原点的情况取决于奈奎斯特路径的虚轴部分，即s沿着虚轴从 变化的部分。 )(sGksksG)(1limjj)(1)(jGjFk0)(jF1)(jGk)(jF)(jF)(jGk)(jGk由于由于，当，当时，有时，有。这就说明在。这就说明在平面上的平面上的曲线包围原点的情况，就等于在曲线包围原点的情况，就等于在平面上平面上对（对（-1, j0）点包围情况）点包围情况。 曲线曲线2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法502. 奈奎斯特稳定判据判据：当 从 到 变化时，在平面上的奈奎斯特曲

39、线顺时针包围（-1, j0）点N次，则 (5.4-6) 如果开环系统是稳定的， 在s右平面上无极点，即P=0，其闭环系统稳定的充分必要条件是奈奎斯特曲线不包围（-1, j0）点；如果开环系统是不稳定的， 在s右平面上有P个极点，其闭环系统稳定的充分必要条件是PNZ)(sGk)(sGk奈奎斯特曲线逆时针包围（-1, j0）点P次；如果奈奎斯特曲线穿越（-1, j0）点，闭环系统是临界稳定的。值得注意的是，如果奈奎斯特曲线顺时针包围（-1, j0）点，则不论开环系统是否稳定，闭环系统都是不稳定的。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法51【例5-8】 设系统的开环传递函数为 试用奈奎斯特稳

40、定判据确定闭环系统的稳定性。 解：系统的开环频率特性为 幅频特性和相频特性为 ) 1)(15 . 0(3)(sssG) 1)(15 . 0(3)(jjjG2215 . 013)(Ajarctan5 . 0arctan)(2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法52 当 0时，A() 3， = 0，可见极坐标图的起始点是在正实轴上值为3。 当 时，A() 0， = -180，说明极坐标图沿着负实轴趋于原点。 系统的奈奎斯特曲线如图5.4-5所示。开环系统是稳定的，G(s)在s右半平面上无极点，即P=0，从图可见，奈奎斯特曲线没有包围（-1,j0）点，所以N=0，从而得Z=P+N=0。根据奈

41、奎斯特稳定判据，闭环系统是稳定的。 ( )j ( )j 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法533 Gk(j )有极点位于有极点位于s平面原点的奈奎斯特路径平面原点的奈奎斯特路径 当Gk(s)在s平面原点有极点时，为了避免奈奎斯特路径穿越Gk(s)的极点，采用以原点为圆心，半径趋于无穷小的右半圆绕过原点处的极点。 0jj0jjj0jj这样,s沿着虚轴从 ,通过小半圆逆时针绕到,从,再从如图5.4-6 所示。顺时针绕无穷大的半圆，构成封闭曲线。型、型、型系统应用型系统应用) 1)(1()(21sTsTsKsGk2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法54 【例5-9】设系统的开环

42、传递函数为试用奈氏判据分析该系统的稳定性。解：该系统的频率特性为： 当 从-变化到+时，系统的奈氏曲线如图5.4-7所示。由于系统含有一个积分环节（v=1），故当 由0-至0+时，对应奈氏曲线需要补充顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图5.4-7中虚线所示）。( )( )()()v22KG s H s01s T s2 Ts1()()()v22KG jH jj1Tj2 T2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法55图图5.4-7 例例5-9系统奈氏曲线系统奈氏曲线2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法56 该系统开环传递函数无右半S平面的极点，即p=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负

43、实轴的交点坐标值 的大小，当 时，奈氏曲线不包围(-1, j0)点，即N=0,如图5.4-7（a）所示，系统是稳定的；当 时,奈氏曲线顺时针包围(-1, j0)点两周，即N=2，图5.4-7（b），系统不稳定。vK T2vK T12vK T122022-2-25第5章 线性系统的频域分析法57 【例5-10】已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当T 时系统的稳定性。解：系统的开环频率特性为其幅频特性和相频特性分别为 ()( )( )()2Ks1G s H ssTs1()()()()2K j1G jH j1jT()()22222K1G jH j1T ()()0G jH j180arc

44、tgTarctg 2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法58(a) 当T 时，arctanTarctan ，当由0变至+时，|G(j)H(j)|由变至0， G(j)H(j)由-180在第III象限内变化为-180，其对应的奈氏曲线如图5.4-8（a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围(-1, j0)点（N=0），系统无S平面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知，当T 时，arctanTarctan ，当由0变至+时，|G(j)H(j)|由变至0，G(j)H(j)由-180在第II象限内变化后再

45、次变为-180，其对应的奈氏曲线如图5.4-8（c）所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了(-1, j0)点两周（N=2），由奈氏判据知，当T 时，该系统是不稳定的。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法605.4.3 对数频率稳定判据对数频率稳定判据1. 奈氏图与伯德图的对应关系奈氏图与伯德图的对应关系 （1）在GH平面上, |GK(j)|=1的单位圆，对应于对数幅频特性的0分贝线；单位圆外部如(-，-1)区段，对应L()0dB，单位圆内部对应L () 0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180； 特别注意：在L()0dB的范围内，()曲线在-180线上方，所以闭环系统稳定

46、。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法73（2）求相角裕度和幅值裕度Kg 当c 时， 有L(c)0dB， 即| G(c)|=1。从图5.5-4可以看出，c 1 且c2 。根据伯德图的近似画法（渐近线），可认为：c1 ；c 2 。取渐近模值方程为解之得 又因为()位于-180线上方，与-180线无交点。可理解为当 时，()与-180线相交，所以Kg。 可见，此系统不但稳定，而且稳定裕度足够大。 1) 10()0(101)01. 0(110)(2222ccccccjG10/crad s6 .78)(180cj2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法745.6 利用开环频率特性分析系

47、统的性能1三频段与系统性能的关系利用开环频率特性来分析闭环控制系统性能时，通常将开环频率特性分成低、中、高3个频率段，称为三频段。典型开环频率特性的三频段如图5.6-1所示。 图5.6-1 典型开环频率特性的三频段2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法75（1） 低频段系统的型别及开环增益与系统的稳态误差有关，因此低频段反映了系统的稳态性能。低频段对应的开环传递函数可近似为其对数幅频特性为由式可知，低频渐近线（或其延长线）在=1处，有L(1)=20lgK；数值上，低频渐近线（或其延长线）交于0dB线的频率和开环增益K的关系为K=。因此，可以从低频段的对数频率特性上确定开环增益K 的值，

48、而在讨论稳态误差时，有稳态位置误差系数Kp、稳态速度误差系数Kv、稳态加速度误差系数Ka分别为0 型、型、型系统的开环增益K，进而可求出系统的稳态误差( )vKG ss( )20lg20lg20lgvKLKv2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法761) 0型系统的稳态误差对于0型系统Kp=K，Kv、Ka 均为0。0型系统在阶跃输入时是有差系统，其稳态误差为： 式中，A为阶跃输入信号的幅值。2) 型系统的稳态误差对于型系统Kv=K，Kp=，Ka =0。型系统在斜坡输入时是有差系统，其稳态误差为： 式中，A 为斜坡输入信号的幅值。11sspAAeKKsspAAeKK2022-2-25第5

49、章 线性系统的频域分析法773) 型系统的稳态误差对于型系统Ka=K，Kp=，Kv=。型系统在斜坡输入时是有差系统，其稳态误差为： ssaAAeKK（2）中频段 中频段是指L( ) 在剪切频率 附近的区域。而在剪切频率Wc 处系统的开环对数幅频特性的斜率对系统相角裕度影响最大。因此，中频段反映了系统的动态响应的平稳性和快速性。 幅值穿越频率Wc 反映了系统响应的快速性。在一定条件下， Wc 越大，ts就越小，系统响应就越快。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法78(3) 高频段高频段是指L( )在中频段以后的区段( 10 )。高频段特性主要由系统中小时间常数的环节决定的，其转折频率和

50、幅值穿越频率 相距较远，且分贝值较小，因此对系统的动态性能影响不大。但在高频段，系统的开环对数幅频特性的幅值大小，却反映了系统对输入端高频干扰的抑制能力，高频段分贝值越低，系统抗高频干扰的能力越强。必须指出的是三频段的划分界限没有严格的规定，三频段理论也没有给出具体的设计指标，但是三频段的概念为直接运用开环频率特性判别、估计系统的性能和设计控制系统指出了原则和方向。cc2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法792 频域性能指标与时域动态性能指标的关系频域分析法是通过系统的频率特性（开环、闭环）的一些特征量间接地表征系统动态响应的性能，这些特征量称为频域性能指标。常用的开环频域性能指标包

51、括：相角裕度、增益裕度Kg、幅值穿越频率 ；闭环频率频域性能指标包括谐振峰值Mr、频带宽度BW和谐振频率 等。频域性能指标没有时域性能指标那样直观，但对于二阶系统而言，它们与时域性能指标间有着确定的对应关系；在高阶系统中，只要存在一对闭环主导极点，则它们也有着近似的对应关系。cr2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法805.7 利用闭环频率特性分析系统的性能5.7.1 闭环频率特性 对于单位负反馈系统，其闭环传递函数为对应的闭环频率特性为 (5.7-1)5.7. 2 闭环频域指标与时域指标的关系1 闭环频域指标(1) 零频幅值M0 =0 时的闭环幅频特性值称为零频幅值M0，即M0=20

52、lg(j0)，它反映了系统的稳态精度。( )( )1( )G ssG s)()()(1)()(jeMjGjGj2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法81(2) 谐振峰值Mr闭环幅频特性的最大值和零频幅值的比值称为谐振峰值Mr。对于I 型及以上的开环系统，M0=1，谐振峰值Mr就是幅频特性的最大值。谐振峰值反映了系统的相对稳定性。一般而言，Mr值越大，则系统阶跃响应的超调量也越大。通常希望系统的谐振峰值在1.11.4 之间，相当于二阶系统的 为0.40.7(3) 谐振频率产生谐振峰值对应的频率称为谐振频率 。它在一定程度上反映了系统动态响应的速度， 越大，则动态响应越快。 rrr2022

53、-2-25第5章 线性系统的频域分析法8220lg()20lg(0.707( 0)20lg( 0)3jjjjjj0bbbb(4) 截止频率 闭环幅频特性下降到0.707 M0 时（或零频幅值以下3dB）所对应的频率称为截止频率 。当 时，有(5) 频带宽度BW频率范围 称为频带宽度BW，它反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。BW越大，响应速度越快。反之，BW越小，只有较低频率的信号才易通过，则动态响应往往比较缓慢。2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法832 二阶系统的闭环频域指标与时域指标的关系 二阶系统的时域响应与频域响应之间有着确定的对应关系。标准二阶系统的闭环传递函数为 对应的闭环频率特性为 则闭环幅频特性为 在谐振频率 处 产生峰值Mm，用求极值的方法，即令222( )(01)2nnnsss)(222)(2)()(jnnneMjj22222( )()(2)nnnM r( )M( )0dMd(5.7-2)(5.7-3)2022-2-25第5章 线性系统的频域分析法