自动控制原理设计性实验

1、 1 引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。1.1 问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望

2、的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。1.2 倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。本次设计中我们采用其中的牛顿欧

3、拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，采用频域法进行模拟控制矫正。2 直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出

4、关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数直线倒立摆系统是一个机电一体化系统，由小车和摆杆组成。小车可以沿水平方向上的导轨运动，导轨的一端固定有位置传感器，可以测量小车的位移；摆杆通过转轴固定在小车上，小车和摆杆的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆杆的角度。直流永磁力矩电机和位置传感器固定在同一侧，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动。导轨的两端装有行程开关，限制小车的左右位置。2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）

5、为了在数学上推导和处理问题的方便，可作出如下假设：（1） 摆杆在运动中是不变形的刚体；（2） 齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象；（3） 小车在运动过程中，摩擦系数一定；（4） 忽略空气阻力； 基于以上几点，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统（图2.3）图2.3 一级倒立摆小车摆杆位置图在本文中，将应用牛顿一欧拉法对倒立摆进行数学建模17。在上面的图2.3中假设:x小车位移，单位(m);摆杆与垂直方向的夹角，单位(rad);M小车的质量，单位(kg);m摆杆的质量，单位(kg);l摆杆的转动轴心到摆杆质心的长度，单位m;J摆杆对重心的转动惯量，单位();u电机对小车施加

6、的作用力，单位(N);F小车所受的等效摩擦力，单位(N);b小车所受的等效摩擦系数，单位(N/m/s);f摆杆所受的摩擦阻力矩系数，单位();首先，对小车进行受力分析，小车的受力分析如图2.4所示。图2.4 小车隔离受力图其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。其余字母同图2.3中的说明。图24中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向分量，F为小车受到的作用力，x为小车位移，为摆杆与垂直向上方向的夹角，为摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程: （2-1） （2-2）其次，对摆杆进行受力分析，摆杆的受力如

7、图2.5所示。图2.5 摆杆受力分析图 （2-3）即： （2-4）把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：得 （2-5）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析(图25)，可以得到下面方程： （2-6）即： （2-7）力矩平衡方程为 （2-8）注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负号。为了推出系统的第二个运动方程，我们合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： （2-9）用U来代表被控对象的输入力F，则运动方程组为：设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设无限趋近于零，则可以进行近似处理：，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下

8、： （2-10）对上式做拉普拉斯变换，得： （2-11）注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度为，求解方程组(2-11)的第一个方程，可以得到： （2-12）把式(212)代入方程组(29)的第二个方程，得到：整理后得到传递函数为18： （2-13）2.2实际系统的模型参数M：小车质量1.093kgm：摆杆质量0.106kgb：小车摩擦系数0.1N/secl：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI：摆杆惯量0.0032kgm22.3 实际数学模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。1) 摆杆角度和小车位移的传递函数： (2-13)2) 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

9、(2-14)3) 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： (2-15)4) 小车位置和加速度的传递函数 (2-16)3 开环系统的时域分析3.1 摆杆角度为输出响应的时域分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传递函数为 (3-1)图3.1 摆杆角度的单位脉冲响应曲线图图3.2 摆杆角度的单位阶跃响应曲线图3.2 小车位置为输出响应的时域分析采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，则此时的传递函数为 (3-2) 图3.3 小车位置的单位脉冲响应曲线图图3.4 小车位置的单位阶跃响应曲线由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，所以系统不稳定，

10、需要校正。4 频域法设计4.1系统频域响应分析 系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下两种方法进行分析：一种为伯德图，采用两幅分离图，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；另一种是奈奎斯特图，表示的是当从0 变化到无穷大时，向量 的矢端轨迹。奈奎斯稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。根据式（2-17）我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为：其中输入为小车的加速度,输出为摆杆的角速度。利用Matlab绘制系统的Bode图（图5

11、.1）和Nyquist图（图5.2）如下。图 5.1 直线一级倒立摆系统的Bode图图 5.2 直线一级倒立摆系统的Nyquist图由4.1节中的计算可知：系统不存在零点，但存在两个极点，其中一个极点位于S平面的右半部分。根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当由变化时， 曲线逆时针包围平面上点的次数等于开环传递函数右极点个数。对于直线一级倒立摆，由图5-1和图5-2我们可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点。因此，曲线逆时针包围点的次数。而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围点一圈即。因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。5.2频域法控制器设计直线一级倒立摆的频率响应设

12、计可以表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为： 设计控制器，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为，增益裕量等于或大于。控制器的选择根据图5-1和图5-2可以初步观察出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为： （5-1）则已校正系统具有开环传递函数，设 （5-2）其中。系统开环增益的计算根据稳态误差要求计算增益 可以得到： （5-4）于是有：（5-5）校正装置的频率分析利用MATLAB画出的Bode图和Nyquist图，如图5.3、图5.4所示。 图 5.3 校正装置的Bode图 图 5.4 校正装置的Nyquist图可以看出，系统的相位裕量为。根

13、据设计要求，系统的相位裕量为，因此需要增加的相位裕量为，增加超前校正装置会改变 Bode 图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的的相位滞后增量进行补偿。因此，假设需要的最大相位超前量为55º。由 （5-6）计算可以得到值：控制器转折频域和截止频域的求解确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率和，可以看出，最大相位超前角发生在两个转角频率的几何中心上，即，在点上，由于包含(Ts +1) /(Ts +1)项，所以幅值的变化为：（5-7）又因为分贝，并且分贝对应的因此我们选择此频率作为新的截止频率，这一频率相应于，即 于是求得（5-8）校正装置的确定由式（5-8）可以确定校正装置为： （5-9）利用Matlab绘制校正后系统的Bode图和Nyquist图，如下图所示。图 5.5 校正后系统的Bode图 图 5.6 校正后系统的Nyquist图从图5-5中可以看出，系统具有要求的相角裕量和幅值裕量；从图5-6中可以看出，曲线绕点逆时针一圈，与校正后系统开环传递函数右极点个数相等，即。因此，校正后的系统稳定，利用Simulink仿真后，校正后系统的单位阶跃响应如图