数学分支之实变函数论

1、.数学分支之实变函数论实变函数论的产生微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经根本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析根底本身还存在着学多问题。比方，什么是函数这个看上去简单而且非常重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以致长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清终究谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够明晰的理解。十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级

2、数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深化了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深化研究各种函数的性质。比方，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？假如改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论

3、，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。实变函数的内容以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步开展，它的根底是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的根底上研究分析数学中的一些最根本的概念和性质的。比方，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、构造问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的根本概念作简要的介绍。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规那么。

4、由于积分归根到底是数的运算，所以在进展积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论非常重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的?分析教程?中，提出了“约当容度的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表?积分、长度、面积?的论文，提出了“勒贝格测度、“勒贝格积分的概念。勒贝格还在他的论文?积分和圆函数的研究?中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，

5、这就完全解决了黎曼可积性的问题。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广阔多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。什么是逼近理论呢？举例来说，假如能把A类函数表示成B类函数的极限，就说A类函数能以B类函数来逼近。假如已经掌握了B类函数的某些性质，那么往往可以由此

6、推出A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。

7、看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。和逼近理论亲密相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言开展的障碍。不少幼儿当众说话时显得害怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和

8、谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学形式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的时机，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断进步，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，

9、提出表扬，并要其他幼儿模拟。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断进步。总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就锋利地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文程度低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中程度以上的学生都知道议论文的“三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的根本构造:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样,就是讲不出“为什么。根本原因还是无“米下“锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空