课堂导学（2.1.2演绎推理）

1、.课堂导学三点剖析一,“三段论的构造【例1】 指出下面推理中的错误.1自然数是整数 大前提-6是整数 小前提所以-6是自然数 结论2中国的大学分布于中国各地 大前提北京大学是中国的大学 小前提所以北京大学分布于中国各地 结论解:1大、小前提中的“自然数P与“-6S都分别与“整数M的一部分存在联络,这样“整数M就不能起到联结“自然数P与“-6S的作用,因此不能使“自然数P与“-6S发生必然确实定关系.2这个推理的错误原因是“中国的大学未保持同一,它在大前提中表示中国的各所大学,而在小前提中表示中国的一所大学.温馨提示 三段论推理的论断根底是这样一个公理：“凡肯定或否认了某一类对象的全部,也就肯定

2、或否认了这一类对象的各部分或个体.简言之,“全体概括个体.M、P、S三个概念之间的包含关系表现为：假如概念P包含了概念M,那么必包含了M中的任一概念S如图1;假如概念M排斥概念P,那么P必排斥M中的任一概念S如图2. 弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯或少犯错误.二,应用三段论证明数学问题【例2】 梯形的两腰和一底假如相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.在梯形ABCD中如以下图,AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线.求证：AC平分BCD,DB平分CBA.证明:1等腰三角形两底角相等大前提,DAC是等腰三角形,DA、DC是两腰小前提,1=2结论.2两条平行线被第三条直线截出的

3、内错角相等大前提,1和3是平行线AD、BC被AC截出的内错角小前提,1=3结论.3等于同一个量的两个量相等大前提,2和3都等于1小前提,2=3结论,即AC平分BCD.4同理,DB平分CBA.温馨提示 这个证明中假如把4也详细地写出,那么一共通过六次三段论的形式.因此一个命题的证明形式,确切地常叫做复合三段论的形式,或说命题的推证方法是复合三段论法.但是事实上,每一次三段论的大前提并不写出,某一次三段论的小前提假如是它前面某次三段论的结论,也就不再写出了.如例2的证明可写成：DA=DC省略了大前提,1=2.ADBC,且被AC截得的内错角为1和3省略大前提,1=3.2=3,即AC平分BCD省略大前

4、提,小前提,同理可证DB平分ABC.这样,一般地在推论命题时所采用的这种表达的方法,就叫做简化的复合三段论法.三,创新应用【例3】 设fx=sin2x+-<<0,y=fx图象的一条对称轴是直线x=.1求;2求函数y=fx的单调增区间;3证明直线5x-2y+c=0与函数y=fx的图象不相切.1解:x=是函数y=fx的图象的对称轴,sin2×+=±1.+=k+,kZ.-<<0,=.2解:由1知=,因此y=sin2x.由题意得2k-2x2k+,kZ.函数y=sin2x的单调增区间为k+,k+,kZ.3证明:|y|=|sin2x|=|2cos2x|2,曲线y

5、=fx的切线斜率取值范围为-2,2.而直线5x-2y+c=0的斜率为>2,直线5x-2y+c=0与函数y=sin2x的图象不相切.各个击破类题演练1 指出下面三段论的大前提、小前提和结论.一样边数的正多边形都是相似的;这两个正多边形的边数一样;所以这两个正多边形也是相似的.解：是“大前提,是“小前提,是“结论.变式提升1 月食时落在月球上的地球影子,轮廓始终都是圆形的. 只有球形的东西,才能在任何情形下投射出圆形的影子. 这就证明地球是球形的. 以上证明过程是否正确.正确时指出大前提、小前提和结论,不正确时指出错误.解析:以上证明正确.是大前提,是小前提,是结论.类题演练2 由三段论形式

6、证明:在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,那么B=C.证明：延长AB,DC交于点M,平行线分线段成比例,大前提AMD中,ADBC,小前提,结论等量代换,大前提AB=CD,小前提MB=MC.结论在三角形中等边对等角,大前提MB=MC,小前提1=MBC=MCB=2,结论等量代换大前提ABC=-1,BCD=-2,小前提ABC=BCD.结论变式提升2 设a>0,b>0,a+b=1.求证+8.证明：因为a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b2ab,所以ab,所以4.所以+=a+b+2·2+4+4=8,当且仅当a=b时等号成立,所以+8.类题演练 3 如下图,三棱

7、锥PABC中,PABC,PA=BC=l,PA,BC的公垂线ED=h,求证:VPABC=vl2h.证明：连AD,PD,PA=BC=l,ED=h,又PABC,EDPA于E,EDBC于D,SPAD=ED·PA=lh,且BC面PAD.截面PAD把三棱锥PABC分割成两个三棱锥:BPAD和CPAD且BD+DC=BC=l,VPBAC=VBPAD+VCPAD=SPAD·BD+SPAD·DC=··lhBD+DC=l2h.变式提升 3 fx=-x3-x+1xR,证明y=fx是定义域上的减函数,且满足fx=0的实数值x至多只有一个.证明：1设x1<x2R,那么fx1-fx2=-x13-x1+1-x23-x2+1=x2-x1x22+x1x2+x12+1=x2-x1x2+x12+x12+1>0,所以fx1>fx2.所以fx在R上是减函数.2fx=-3x2-1=-3x2+1<0恒成立,所以fx的减区间为-,+.假设fx=0的实数根x不止一个,不妨设x1x