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文档简介

1、第四讲:因式分解的常见变形技巧在因式分解学习过程中,除要掌握教材上介绍的三种基本方法:提公因式,公式法,分组分解法外,还常常要进行一些灵活的变换。下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。掌握了这些变换方法后,这类因式分解问题基本可以迎刃而解了。需要说明的是,要想熟练掌握这些技巧,还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。技巧一 符号变换有些多项式有公因式或者可用公式,但是结构不太清晰的情况下,可考虑变换部分项的系数,先看下面的体验题。体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指点迷津 y-x= -(x-y)体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y

2、)(m+n-m+n) =2n(x-y)小结符号变化常用于可用公式或有公因式,但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题1 分解因式:-a2-2ab-b2技巧二 系数变换有些多项式,看起来可以用公式法,但不变形的话,则结构不太清晰,这时可考虑进行系数变换。体验题2分解因式 4x2-12xy+9y2体验过程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小结系数变化常用于可用公式,但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题2分解因式技巧三 指数变换有些多项式,各项的次数比较高,对其进行指数变换后,更易看出多项式的结构。体验题3分解因式x4-y4指点迷津把x2看成(x2)2,把y

3、4看成(y2)2,然后用平方差公式。体验过程原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下,指数变化后更易看出各项间的关系。实践题3 分解因式 a4-2a4b4+b4技巧四 展开变换有些多项式已经分成几组了,但分成的几组无法继续进行因式分解,这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab指点迷津表面上看无法分解因式,展开后试试:a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b

4、)=(a+b)(a+b+2)小结展开变化常用于已经分组,但此分组无法分解因式,相当于重新分组。实践题4x(x-1)-y(y-1)技巧五 拆项变换有些多项式缺项,如最高次数是三次,无二次项或者无一次项,但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难,往往对部分项拆项,往往拆次数处于中间的项。体验题5分解因式3a3-4a+1指点迷津本题最高次是三次,缺二次项。三次项的系数为3,而一次项的系数为-4提公因式后,没法结合常数项。所以我们将一次项拆开,拆成-3a-a试试。体验过程原式= 3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)3a(a+1)-1=(a

5、-1)(3a2+3a-1)另外,也可以拆常数项,将1拆成4-3。原式=3a3-4a+4-3=3(a3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3a2+3a-1)小结拆项变化多用于缺项的情况,如整式3a3-4a+1,最高次是三,其它的项分别是一,零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题5分解因式 3a3+5a2-2技巧六 添项变换有些多项式类似完全平方式,但直接无法分解因式。既然类似完全平方式,我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。体验题6分解因式x2+4x-12指点迷津本题用

6、常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程原式= x2+4x+4-4-12=(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小结添项法常用于含有平方项,一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式,添项的基本目的是配成完全平方式。实践题6分解因式x2-6x+8实践题7分解因式a4+4技巧七 换元变换有些多项式展开后较复杂,可考虑将部分项作为一个整体,用换元法,结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题7分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指点迷津直接展开太麻烦,我们考虑两两结合。

7、看能否把某些部分作为整体考虑。体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*令x2+5x=m.上式变形为(m+4)(m+6)+1m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以这样变形,令x2+5x+4=m原式可变为:m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2小结换元法常用于多项式较复杂,其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项x2+5x.,换元法实际上是用的整体的观点来看问题。实践题8 分解因式x(x+2)(x

8、+3)(x+5)+9巩固练习:分解因式(1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)a3b-ab3+a2+b2+1(5)x3-9x+8 (6) (x2+x+1)(x2+x+2)-12(7)(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 (8)(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2 (9)6x4+7x3-36x2-7x+6 (10) (x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)实践题答案实践题1 分解因式:-a2-2ab-b2实践详解各项提出符号,可用平方和公式.原式=-a2-2ab-b2=-( a2+2

9、ab+b2)= -(a+b)2实践题2分解因式实践详解原式=()2+2.+()2=(+)2实践题3 分解因式 a4-2a4b4+b4指点迷津把a4看成(a2)2,b4=(b2)2实践详解原式=(a2-b2)2=(a+b)2(a-b)2实践题4x(x-1)-y(y-1)指点迷津表面上看无法分解因式,展开后试试:x2-x-y2+y。然后重新分组。实践详解原式= x2-x-y2+y=(x2-y2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)实践题5分解因式 3a3+5a2-2指点迷津三次项的系数为3,二次项的系数为5,提出公因式a2后。下一步没法进行了。所以我们将5a2拆成3a2 +2a2,化为 3a3+3a2+2a2-2.实践详解原式=3a3+3a2+2a2-2=3a2(a+1)+2(a2-1)=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a2+2a-2)实践题6分解因式x2-6x+8实践详解原式=x2-6x+9-9+8=(x-3)2-1=(x-3)2-12=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)实践题7分解因式a4+4原式=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-4a2=(a2+2+2a)(a2+2-2a)=(a2+2a+2)(a2-2a+2

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