专题：简单的线性规划(含答案)

1、高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线

2、性规划的意义并会简单应用。典例精析线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。考点1：求给定可行域的最优解例1.（2012广东文）已知变量、满足约束条件,则的最小值为（）A3B1CD解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最小值.联立,解得,所以的最小值为. 例2.（2009天津）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6 （B）7 （C）8 （D）23解析：画出不等式表示的可行域，如右图， 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B. 发

3、散思维：若将目标函数改为求的取值范围；或者改为求的取值范围；或者改为求的最大值；或者或者改为求的最大值。方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。练习1.（2012天津）设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为（）ABCD3【解析】做出不等式对应的可行域如图,由得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B.练习2在约束条件下，的最小值为_解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到可视为该区域内的点(x，y)与点(1,0)之间

4、距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2yx1的距离，即为. 答案练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=的最大值为（）A、3B、4 C、3D、4解答：解：首先做出可行域，如图所示：z=，即y=x+z 做出l0：y=x，将此直线平行移动，当直线y=x+z经过点A时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值因为A（，2），所以z的最大值为4故选B练习4.（2011福建）已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是()A1,0 B0,1 C0,

5、2 D1,2【分析】 由于·xy，实际上就是在线性约束条件下，求线性目标函数zxy的最大值和最小值【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又·xy，取目标函数zxy，即yxz，作斜率为1的一组平行线当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin110；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax022.z的取值范围是0,2，即·的取值范围是0,2，故选C.考点2：求给定可行域的面积例3在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为（ ）A B C D答案c 考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数例4(2012广州一模文数)在平面直角坐标系

6、中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数的值为A1 B2 C3 D4答案B练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.练习6. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是c（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9练习7设zxy，

7、其中x、y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为A3 B3C2 D2解析如图所示，作出不等式组所确定的可行域OAB，目标函数的几何意义是直线xyz0在y轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A时，取得最大值，由解得A(k，k)，故最大值为zkk2k，由题意，得2k6，故k3.当目标函数经过点B时，取得最小值，由解得B(6,3)，故最小值为z633.故选A.答案A练习8.（2012课标文）已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在ABC内部,则的取值范围是（）A(1-,2)B(0,2)C(-1,2)D(0,1+)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法

8、,是简单题. 【解析】有题设知C(1+,2),作出直线:,平移直线,有图像知,直线过B点时,=2,过C时,=,取值范围为(1-,2),故选A. 练习9.（2012福建文）若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（）A-1B1CD2【答案】B 【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确. 【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力. 练习10.（2012福建理）若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（）AB1CD2【答案】B 【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区

9、域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力考点四：实际应用与大题例5（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。练习11. （2012四川理）某公司生产甲、乙两种

10、桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（）A1800元B2400元C2800元D3100元答案C 解析设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y 且 画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y= 这是随Z变化的一族平行直线 解方程组 即A(4,4) 点评解决

11、线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解). 练习12.(2012广州二模文数)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：食物类型甲乙丙维生素（单位/）300500300维生素（单位/）700100300成本（元/）543某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为（1）试以表示混合食物的成本;（2）若混合食物至少需含35000单位维生素及40000单位维生素，问取什么值时，混合食物的成本最少？ (本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意得 2分 由，得，代入， 得. 3分(1) 解:依题意知、要满足的条件为 6分把代入方程组得 9分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为. 10分让目标函数在可行域上移动,由此可知在处取得最小值. 11分当(kg),(kg),(kg)时, 混合食物的成本最少. 12分【点