三角函数与三角形

1、三角函数与三角形(一) 知识点与重难点知识点了解理解掌握三角函数的有关概念B同角三角函数的基本关系式B正弦、余弦的诱导公式B正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 B函数y=Asin(x+)的图象与性质A两角和(差)的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B积化和差、 和差化积、半角公式A正弦定理、余弦定理及其应用B(二) 基本公式与性质1.：, ： , , 2. ： , ： , , 3. ： , ： , ,4. ： , ： ,： , , 5. , 6. , 7. =， =8. ,，910.三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数奇偶性单调区间奇在上增在减偶在上增在减奇在上增11三角函数

2、的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；12函数的单调区间的确定，基本思路是把看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；13比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小14.正弦定理 ：（R为外接圆的半径）.15.余弦定理：;.16.面积定理：（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）. (三) 解题方法三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶

3、点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值

4、，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集(四) 典型例题与巩固练习例1（扬州市2011届高三数学第二轮调研试卷）已知函数求的最小正周期及对称中心；若，求的最大值和最小值.注解：本题考查了半角公式、二倍角公式、和差角公式的应用以及三角函数图象与性质解： 的最小正周期为， -6分令，则，的对称中心为； -8分 当时，的最小值为；当时，的最大值为。 -14分巩固练习：1. （2010湖南文数）（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。2. （2010江西理数）（本小题满分12分）已知函数。(1) 当m=

5、0时，求在区间上的取值范围；(2) 当时，求m的值。3. （2010山东文数）（本小题满分12分） 已知函数（）的最小正周期为，（）求的值；（）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.4. （2010安徽）已知函数的周期为. （1）当时，求的取值范围； （2）求函数的单调递减区间.例2（2011江苏）在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2） 若，求的值.注解：本题考查和差角公式、角的范围限制、特殊值所对应的角以及余弦定理巩固练习：1. （2010年高考浙江卷）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知.（）求的值；（

6、）当，求及的长.2. （2010年高考辽宁卷）（本小题满分12分）在ABC中，分别为内角A, B, C的对边，且（）求A的大小；（）求的最大值.3.（2010年全国）已知ABC中，角A、B、C所对的边a、b、c满足a2 + c2 b2 = ac 求sin2+ cos2B的值； 若b = 2，求ABC面积S的最大值4. （2010年福建）（本小题满分12分） ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且满足 （1）求角C； （2）若ABC的周长为2，求ABC面积的最大值。例3（2009年江苏）（本小题满分14分）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：注解：本题考查

7、到了向量的运算法则、向量垂直以及平行特殊性质、模的运算、和差角公式以及三角函数中最大值与最小值的处理，这是一题典型的向量与三角函数的结合题。巩固练习：1. (2009年广东卷文)（本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值2. （2011宿迁2模）（本题满分14分）在中，角的对边分别为，且满足。（1）求角的大小；（2）设，试求的最小值。3.（2011泰州2模） 已知向量，（1）求满足的实数的集合；（2）设函数，求在时的值域例4（2010陕西文数）（本小题满分12分）在ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB

8、的长.注解：此题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的一些应用。巩固练习：1. (2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，求2.（2009天津卷）（本小题满分12分）在中，（）求AB的值。（）求的值。3. （江苏省盐城市四星级高中2011）在ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.4. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2， A（1） 求四边形ABCD的面积; B D（2） 求三角形ABC的外接圆半径R; P C （3） 若，求PA+PC的取值范围。例5（2010天津文）（17）（本小题满分12分）在ABC中，。（）证明B=C：（）若=

9、-，求sin的值。注解：本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力. （）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C. （）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又0<2B<,于是sin2B=. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以巩固练习：1. （2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）

10、若，求的值2. （2009江西卷文）（本小题满分12分）在中，所对的边分别为，（1）求；（2）若，求,，3.（2009四川卷文）（本小题满分12分）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。例6（2010年高考江苏卷试题17）（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔的高度(单位：），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度，仰角,，.(1) 该小组已经测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最

11、大？ 解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，. ADAB=DB，故得，解得：.因此，算出的电视塔的高度H是.（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大.因为，则，所以当时，最大.故所求的是.巩固练习：1. （2009辽宁卷）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 2.（

12、2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。3. （2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 例7（2010福建理数）（本小题满分13分）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的

13、A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故

14、可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。巩固练习：1. （2010年高考陕西卷理科17）（本小题满分12分） 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？2. （2010年高考福建卷理科）（本小题满分13分）.，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以海里/

15、小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.3. （）A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?例8（2009福建卷理）（本小题满分13分）如图，某市拟在长

16、为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0, >0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 注解：本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在MNP中MNP=120°，MP=5，设PMN=，

17、则0°<<60°由正弦定理得,故0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长亦即，将PMN设计为30°时，折线段道MNP最长解法二：（）同解法一（）在MNP中，MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MNP=即故从而，即当且仅当时，折线段道MNP最长注：本题第（）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；点N在线段MP的垂直平分线上等巩固练习：1. 如图，现在要在一块半径为1 m，圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P

18、在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式； (2)求S的最大值及相应的值OxyBAC2. （2008广东高三地区模拟）如图A、B是单位圆O上的点，且在第二象限. C是圆与轴正半轴的交点，A点的坐标为，AOB为正三角形.（）求； （）求. 3. 【南通市2011模拟】（本题满分15分）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 ，时的图象，且图象的最高点为B（1，2）。赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD/ EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧（1）求的值和的大小；（2）

19、若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值4. （泰州2模）如图，中， ，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积BMNCAO（五）题库：l 三角函数的定义yPQO1如图，以为始边作角与（0<<<）,它们的终边分别于单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（，）（1） 求；（2） 若y2如图，A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限。C是圆O与轴正半轴的交点，为正三角

20、形。记BAOC（1） 若A点的坐标为（），求的值；（2） 求的取值范围。l 三角恒等变换与求值3已知（1） ；（2） 。4已知（1） 化简；（2） （2）若是第三象限角，且。5已知（1）求的值；（2）求的值。6 已知（1）求的值；（2）求的值。7已知（1）求的值；（2）求的值。8已知 （1）求 （2）求。9已知（1）求（2）求。10已知， 11已知求l 三角函数与向量12中内角A，B，C的对边分别为，b，c，向量=(2sinB,) =(cos2B,),且（1） 求锐角B的大小；（2）如果b=2，求的面积的最大值。13中内角A，B，C的对边分别为，b，c，向量，且（1） 求角A的大小；（2） 若

21、=2，=，求b的大小。14已知中，设内角A，B，C的对边分别为，b，c，向量,向量的夹角的余弦值为（1）求角B的大小；（2）若的外接圆半径为1，求的取值范围。15在中，设内角A，B，C的对边分别为，b，c，向量（1）求角A的大小；（2）16已知向量，设函数（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）求函数图象的对称轴方程；（3）当，求函数的单调递增区间。17已知，函数之间的距离为2，且过点M（1）求的表达式；（2）求。18已知的面积为3，且满足的夹角为（1）求的取值范围；（2）求l 三角函数19已知函数（1）若有最大值2，求实数的大小；（2）求函数的单调递增区间20已知函数（1） 求的最小正周期；

22、（2） 设，求的值域和单调递增区间21已知函数且是函数的零点（1） 求的值，并求函数的最小正周期；（2） 当时，求函数的值域，并写出取得最大值时对应的值。22设函数（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）利用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；（3）说明此图象是由的图象经过怎样的变化得到的。23设函数（1）求函数最小正周期；（2）若函数时，的最大值。24已知函数（1）求的值；（2）求函数在区间。25已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为（1）求的解析式；（2）当26已知函数（1）求函数的值域；（2）若对任意的的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值

23、（不必证明），并求函数。l 正弦定理与余弦定理 27已知中，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（1） 求角B的大小；（2） 若。28已知中，b，c分别是内角A，B，C的对边，C=，（1） 求，c的值；（2） 求的值。29在锐角中，b，c分别是内角A，B，C的对边，且,成等差数列（1） 求角B的大小；（2） 求的取值范围。30设锐角中，b，c分别是内角A，B，C的对边，（1） 求角B的大小；（2） 求的取值范围。31已知的周长为，且（1） 求边AB的长；（2） 若的面积为。32设的内角A，B，C所对的边分别为，b，c（1） 求；（2） 若的面积为（六）总结(A)策略与方法1.三角函数恒等变形的

24、基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思

25、路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。（B）注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值2三角变换的一般思维与常用方法注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如也要注