专题函数常见题型归纳(教师版)

1、专题函数常见题型归纳本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。考点一 分段函数求值问题【例1】 已知函数f(x) 若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()【解析】 由已知，得f(1)2；又当x>0时，f(x)2x>1，而f(a)f(1)0，f(a)2，且a<0，a12，解得a3【例2】设f(x)则f(f(2)_.【解析】 f(x) 2<0，f(2)102；102>0，f(102)lg1022.【解题技巧点睛】求f(g(x)类型的函数值时,应遵循先

2、内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.考点二 函数性质的基本应用【例3】下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1 Cyx21 Dy2|x|【答案】B【解析】 A选项中，函数yx3是奇函数；B选项中，y1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，yx21是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y2|x|x|是偶函数，但在上是减函数故选B.【例4】若函数f(x)为奇函数，则a()【解析】 法一：由已知得f(x)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a，故选A.法二：f(x)是奇函数，f

3、(x)f(x)，又f(x)，则,因函数的定义域内恒成立，可得a.【例5】函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标之和等于( )A2 B4 C6 D8【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定

4、整个定义域内的图象.考点三 基本函数的性质与图像 【例6】已知则( ) A B C D 【答案】C【解析】根据对数函数的运算性质可知：再由指数函数为单调递增函数，因为，且，所以【例7】 对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()【解析】本题考查二次函数的性质和图像。 f(x) 则f的图象如图：yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1<c<.考点四 函数图像的应用【例8】 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f

5、(x)，则yf(x)的图像可能是()【答案】B【解析】 由f(x)f(x)可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x2)f(x)，可知函数为周期函数，且T2，必满足f(4)f(2)，排除D，故只能选B.【例9】 已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图像与函数y|lgx|的图像的交点共有()【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图容易判断出两函数图像的交点个数为10个【解题技巧点睛】函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在考

6、查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点。考点五 与方程根的相关问题【例10】设,一元二次方程有整数根的充要条件是= 【答案】 3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根【例11】已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【答案】(0,1)【解析】单调递减且值域为(0,1，单调递增且值域为，函数f(x)

7、的图象如图所示，故有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）考点六 函数零点问题【例12】在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()【解析】 因为fe2<0，fe1>0，所以f·f<0，又因为函数yex是单调增函数，y4x3也是单调增函数，所以函数f(x)ex4x3是单调增函数，所以函数f(x)ex4x3的零点在内【例13】已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用因为2<a<3，所以loga2<1lo

8、gaa<loga3，因为3<b<4，所以b2>1>loga2，b3<1<loga3，所以f(2)·f(3)(loga22b)(loga33b)<0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n2.【例14】 函数f(x)cosx在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点【答案】B【解析】 在同一个坐标系中作出y与ycosx的图象如图，由图象可得函数f(x)cosx在0，)上只有一个零点【解题技巧点睛】判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接

9、求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断 针对性训练一填空题部分。1.“”是“函数在区间上存在零点”的_条件。解析：在区间上存在零点，则，即，或，“”是“或”的充分不必要条件，“”是“函数在区间上存在零点”的充分不必要条件.2.若，则函数的图像大致是_解析： 函数在定义域为减函数，将函数故答案为B。3.设若，则的值是_ 解析：4.实数的由小到大的关系是_ 答案：解析：根据指数函数和对数函数的性质，。5.函数在定义域内零点的个数是_ 解析：在同一坐标系中画出函数与的图像，可以看到2个函数的图像在第二象限有2个交点，在第一象限有1个交点，所以函数在定义域内

10、有3个零点。6.若函数在上有零点，则的取值范围为_解析： 由函数得在上的最大值是，最小值是所以，解得.7.已知是奇函数，且，当时，则当时_解析： 由是奇函数，且，得，所以函数的周期又因为当时，所以当时，因为函数是奇函数，所以当时.8.已知函数则关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有1个不同实根；存在实数，使得方程恰有2个不同实根；存在实数，使得方程恰有3个不同实根；存在实数，使得方程恰有4个不同实根；其中假命题的个数是 _答案：2个解析： 当当当是增函数，是减函数，由得方程解的个数即与的图像交点的个数，由图像得当有1个解；当有2解。9.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是_解析：由得，又，.是上的增函数， 又，结合图象知为半圆内的点到原点的距离，故，10.若为奇函数，则实数 .解析：11.已知函数若方程有解，则实数的取值范围是 _ _答案：解析：若方程有解，即函数的值域即为的范围，故实数的取值范围是12.函数的最大值为 .解析： 因对号函数在区间1,2上单调递减，故当时函数取得最大值为5.13.若不等式