强化反比例函数应用教学的尝试

1、反比例函数用处多长期以来，我们对初中阶段所学习的三类函数：一次函数、二次函数、反比例函数中的二次函数情有独钟，进行了大量的研究和探讨，开拓了很多有新意的好题.但往往忽略了反比例函数在教与学的过程中的作用，导致许多高中学生在处理诸如求函数值域、解简单的分式不等式、讨论函数的单调性的问题时出现许多不应有的烦琐与错误.现代教育理论告诉我们：只有用最接近学生的认知水准的方式引导他们，才能使其更有效学好新知识、解决新问题.通过近几年的教学实践，我认为在初、高中函数教学的衔接处，加强反比例函数应用的教学，无论是帮助学生掌握“数形结合”的思想方法，还是引导学生在处理问题时避免不必要的繁杂计算方面都是大有裨益

2、的.一、 利用反比例函数处理与不等式有关的问题：xyo-23图1(1) 问题1.解不等式：-2<3，对于此问题许多高一学生都采用各边取倒数的 >-23 方式,但误解为：x|<x. 若转化为 虽可解，但有一定的计算量. 若利用反比例函数y=的图象来处理则极易得到 正确答解x|x<或x.如图（1）.类似地还可解：-3<<4-3<<4-4<<3，令x-1=t则可得：t<或t>1x|x<或x>2. 问题2.若a>b，且ab>0时，则<.此问题我们的常规推导方式为：由-=，a>b b-a<0

3、，则当ab>0时<.这个问题若从反比例函数的角度来处理也非常容易： 函数y=在（-，0）及（0，+）上分别是减函数，但在（-，+）不具备单调性，只有a、b同号即ab0时才有：若a>b，则<.这样学生理解起来既形象又简单.二、 利用反比例函数处理求形如y=的函数的值域. 问题3.求函数y=的值域. 分析：此问题的一般解法为判别式法，学生在转化上不易想到，且理解上也存在一定的困难，若令t=x2+x-1-，则利用反比例函数y=的图象易得：y|y-或y>0.问题4.求函数y=的值域.分析：函数y=可变形为，y=2-，令t= x2+x-1-，利用反比例函数u=-，可得u或u

4、<0，从而可得 y|y或y<2.问题5.已知函数y=的值域为-1，4，求a、b的值. 分析：（1）当ax+b=0时，y=0满足条件； （2）当ax+b0时，令ax+b=t，x=（由已知a0，否则由上述问题3知其值域不可能是-1，4），则 y=，u=-2b（-，-2b-2b，+），利用反比例函数y=可得y， =-1且=4a=±4且b=3.此种解法虽然计算量大一些，但学生易于理解，便于掌握.若用判别式法，虽然计算量小一些，但转化生涩，学生不易理解，且还要考虑检验端点、分二次项的系数是否为零来分类讨论等繁杂步骤.再如求函数y=的值域用此法极易求得：y. 一般来说，对于求形如： （a、a不同时为0）的函数值域的问题，若a= b=0时即为上述问题3型；若 aa= bb时即为上述问题4型；若a=0时即为上述问题5型（利用函数y=x+，a 0的单调性）；若a0，则可先分离常数后转化为问题5型求解.三.利用反比例函数讨论函数的单调性问题6.若函数在（-，-3）上单调递减，求a的取值范围. 分析：，将其与函数y=的单调性类比知a<为所求.问题7.求函数的单增区间. 分析： 令u=，t=x2+x+2>0，由于u是t的减函数函数的单增区间即为t=x2+x+2的单减区间，故x（