标量场和静电场的仿真分析

1、实验一 标量场和静电场的仿真分析实验目的：1、掌握标量场的梯度计算方法，理解梯度的物理意义； 2、掌握点电荷产生的电场特性；3、熟悉多个极性不同的点电荷形成的点电荷系的电场特性；4、熟悉电偶极子的电场特性以及电力线和等位线的关系。实验原理：1，标量场：标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数就是标量场的梯度，计算公式为由此就可以计算出标量场的梯度。2静电场：电位表达式这就是等位面方程在Matlab中可求解该方程并用极坐标作图，即可得到电场的等位线图(也可画出三维立体等位面图，如图4)电位求出后就可得到球坐标系下电场E的表达式实验步骤：1、标量场的梯度和等位线仿真（1） 建立梯度的

2、数学模型（2） 利用matlab软件进行仿真（3） 观察并分析仿真图中梯度和等位线之间的相互关系 2、点电荷系的电位分布（1）建立点电荷系电位的数学模型（2）利用matlab软件进行仿真（3）观察并分析仿真图中电位分布的特点 3、电偶极子的场（1）建立电偶极子的电位和电场的数学模型（2）利用matlab软件进行仿真（3）观察并分析仿真图中电位线和电力线的特点和关系实验报告要求：（1）抓仿真程序结果图（2）理论分析与讨论例1 求二维标量场u( r) = y2 - x 的梯度。理解梯度的关键是：梯度是与等值面垂直的一个矢量。Matlab程序如下：x,y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2

3、:2); %设定坐标x，y的范围z=y.2-x; %计算公式px,py=gradient(z,.2,.2); contour(z) %求梯度hold on quiver(px,py) %绘制梯度图像hold offtitle('等值线与梯度'); %图像标题理论分析：由实验原理中梯度的概念和计算公式，按照题目的要求就可以得到上图所示的图形。根据图形分析可得到，场中每一点处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向，也就是说，梯度就是该等值面的法相矢量。 例2 (1) 2个等量同号点电荷组成的点电荷系的电势分布图 为了方便求解，令则：clearv='1./(x-3)

4、.2+y.2).0.5+1./(x+3).2+y.2).0.5' %读入电势计算方程xmax=10; %x轴的坐标最大值ymax=10; %y轴的坐标最大值ngrid=30;xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid); %绘图区域、网格线设定x,y=meshgrid(xplot); %生成二维网格vplot=eval(v); %执行输入的电势计算方程explot,eyplot=gradient(-vplot); %计算电场强度clf;subplot(1,2,1),meshc(vplot); %画含等势线的三维曲面xlabel('x');ylabel

5、('y');zlabel('电位');subplot(1,2,2),axis(-xmax xmax -ymax ymax)cs=contour(x,y,vplot); %画等势线clabel(cs);hold on; %在等势线上编号quiver(x,y,explot,eyplot) %用箭头描述矢量场xlabel('x');ylabel ('y');hold off;分析：(1)如右图所示，电场线从正电荷出发，终止在无穷远处。电场线与等势线垂直，任何两条电场线都不相交。(2)电势较高的等势线分别包围着电荷，电势较低等势线包围着两

6、个电荷。电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。(3)当两个电荷的电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的。(4)根据左图所示，点电荷场强的分量Ex在电荷附近特别大。在点电荷附近的右侧，Ex的方向沿x轴正向，在点电荷附近的左侧，Ex的方向沿x轴负向，因此在点电荷的右侧形成高峰，左侧形成深谷。(5)根据左图所示，点电荷场强的分量Ey在电荷附近也特别大。在点电荷附近的前方，Ey的方向沿y轴正向，在点电荷附近的后方，Ey的方向沿y轴负向，因此在点电荷的前方形成高峰，后方形成深谷。(2) 2个等量异号点电荷组成的点电荷系的电势分布图clearv='1./(x-3).2+y.2).0.5-

7、1./(x+3).2+y.2).0.5' %读入电势计算方程xmax=10; %x轴的坐标最大值ymax=10; %y轴的坐标最大值ngrid=30;xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid); %绘图区域、网格线设定x,y=meshgrid(xplot); %生成二维网格vplot=eval(v); %执行输入的电势计算方程explot,eyplot=gradient(-vplot); %计算电场强度clf;subplot(1,2,1),meshc(vplot); %画含等势线的三维曲面xlabel('x');ylabel('y'

8、);zlabel('电位');subplot(1,2,2),axis(-xmax xmax -ymax ymax)cs=contour(x,y,vplot); %画等势线clabel(cs);hold on; %在等势线上编号quiver(x,y,explot,eyplot) %用箭头描述矢量场xlabel('x');ylabel ('y');hold off;分析：(1)根据左图所示，点电荷场强的分量Ex在电荷附近特别大。在点电荷附近的右侧，Ex的方向沿x轴正向，在点电荷附近的左侧，Ex的方向沿x轴负向，因此在点电荷的右侧形成高峰，左侧形成深谷

9、。(2)根据左图所示，点电荷场强的分量Ey在电荷附近也特别大。在点电荷附近的前方，Ey的方向沿y轴正向，在点电荷附近的后方，Ey的方向沿y轴负向，因此在点电荷的前方形成高峰，后方形成深谷。 (3)如右图所示，电场线从正电荷出发，终止在负电荷。电场线与等势线垂直，任何两条电场线都不相交。(4)电势较高的等势线分别包围着电荷，电势较低等势线包围着两个电荷。电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。(5当两个电荷的电量相等且异号时，电场线和等势线对中垂线是对称的。 例3 画电偶极子的等位线和电力线a=linspace(0,2.*pi); for c=-2:0.4:2r1=c.*cos(a).(1.

10、/2);r2=c.*sin(a).2;polar(a,r1,'r');hold on;polar(a,r2,':')endtitle('电偶极子的等位线和电力线')分析：电偶极子的电位随着距离的平方反比变化，电场按距离的三次方反比衰减。由图形可以明显的知道，随着离电荷的距离越远，电偶极子比单个点电荷的电场衰减的更快，这是因为在远处正负电荷的相互抵消的缘故。点偶极子的电场和电位的另一个特点就是具有轴对称性，如上图所示。例4 电偶极子的场（等位线和梯度）clear;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=

11、x; X,Y=meshgrid(x,y); % 设置坐标网格rp=sqrt(X-a).2+(Y-b).2);rm=sqrt(X+a).2+(Y+b).2); %正电荷在x=1.5;y=-1.5;负电荷在x=-1.5;y=1.5。V=q*k*(1./rp-1./rm); % 计算电位Ex,Ey=gradient(-V); %计算场强AE=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %场强归一化，使箭头等长cv=linspace(min(min(V),max(max(V),49); %产生49个电位值contourf(X,Y,V,cv,'k-') %用黑实线画等位线%axis(''square'') %在Notebook中，此指令不用title('电偶极子的场'),hold onquiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) %第五输入宗量0.7，使场强箭头长短适中plot(a,b,'wo',a,b,'w+') %用白线画正电荷位置plot(-a,-b,'wo',-a,-b,