机器人运动学旋转变换通式研究

1、第31卷第4期2010年8月华 北 水 利 水 电 学 院 学 报Journa l o f N orth Ch i na Institute ofW ate r Conse rvancy and H ydro electr i c Pow erV o l 31N o 4A ug.2010收稿日期:2010-05-13基金项目:河南省自然科学基金资助项目(1999510002. 作者简介:吴文静(1982 ,女,河南驻马店人,助教,硕士,主要从事自动控制系统、机电一体化等方面的研究.文章编号:1002-5634(201004-0092-03机器人运动学旋转变换通式研究吴文静1,刘广瑞2(1.中原

2、工学院,河南郑州451191;2.郑州大学,河南郑州450001摘 要:为便于进行机器人运动的控制,针对机器人各关节的一系列旋转变化进行研究,利用矢量回转的概念、展开式和性质,应用无论坐标系如何旋转矢量本身恒定不变!这一重要公理,推导出了直角坐标系旋转变换通式,并对旋转变换通式的应用进行了实例计算.结果表明:机器人直角坐标旋转变换通式的建立简化了动力学方程,有利于找到机器人的运动规律,从而有利于对机器人运动状态进行控制.关键词:运动学;矢量的回转;旋转变换中图分类号:T P242.2 文献标志码:A机器人运动学是机器人动力学、轨迹规划与控制的基础,而旋转变换在运动学中起着很重要的作用.分步变换

3、的方法是绕各坐标轴分别旋转一定角度达到目标坐标系1,即需找到一个等效的轴线后绕其旋转,这就是寻找旋转变换通式.然而,如何得到旋转变换通式,找到相应的瞬时轴线和转角在现有文献中介绍得很少.笔者从矢量回转的角度对此进行了分析,得到了旋转变换通式.1 矢量与坐标系的回转给定单位矢量 和矢量A,令A绕 转一个角度 (按右旋规则定 正负得到一个新矢量a,如图1所示.由A得到a的变换叫做矢量的回转,记a=( A式中 为矢量回转的记号.矢量回转展开式为2a=( A=cos A+( A (1-cos +A si n .设oxyz为oxyz绕过原点的回转轴 回转角而得,回转轴单位矢量为= 1i+ 2j+ 3k,

4、 21+ 22+ 23=1,坐标系oxyz的单位矢量为i,j,k,那么i=( i,j=( j,k=( k.(1图1 矢量回转示意图公理3 空间某矢量在坐标系oxyz中的分量为(x,y,z,在同原点的另一坐标系oxyz中的分量为(x,y,z,则有x i+y j+z k=xi+yj+zk.(22 旋转变换通式及其推导2.1 旋转变换通式利用回转矢量展开式及以上公理可以得到xyz=21+(1- 21cos 1 2(1-cos - 3sin 3 1(1-cos + 2si n1 2(1-cos + 3si n 22+(1- 22cos2 3(1-cos - 1si n3 1(1-cos - 2si n

5、 2 3(1-cos + 1sin 23+(1- 23cosxyz,(3则旋转变换通式为R( , =21+(1- 21cos 1 2(1-cos - 3si n 3 1(1-cos + 2si n1 2(1-cos + 3sin 22+(1- 22cos2 3(1-cos - 1si n3 1(1-cos - 2sin 2 3(1-cos + 1si n 23+(1- 23cos.(42.2 旋转变换通式推导根据式(2由矢量回转展开式,得到i=( i= 21+(1- 21cos i+ 1 2(1-cos + 3sin j+ 1 3(1-cos - 2sin k,(5 j=( j= 1 2(1-

6、cos - 3si n i+ 22+(1- 22cos j+ 2 3(1-cos + 1sin k,(6 k=( k= 3 1(1-cos + 2si n i+ 3 2+(1-cos + 1si n j+ 23+(1- 23cos k.(7把i,j,k的表达式代入式(2中整理得到x i+y j+z k=xi+yj+zk=x 21+(1- 21cos +y 1 2(1-cos - 3si n +z 3 1(1-cos + 2si n i+x 1 2(1-cos + 3sin +y 22+(1- 22cos +z 3 2(1-cos + 1si n j+x 1 3(1-cos - 2sin +y

7、2 3(1-cos + 1si n +z 2 3+(1- 23cos k.(8由式(8便可得到式(3进而得到式(4.2.3 特 例a.当 1=1, 2= 3=0时 ,由式(4得到绕x 轴回转 角的旋转矩阵R(x, =1000cos -sin0si n cos.(9b.当 2=1, 1= 3=0时,由式( 4得到绕y 轴回转 角的旋转矩阵R(y, =cos 0si n010-sin 0cos.(10 c.当 3=1, 1= 2=0时,由式(4得到绕z轴回转 角的旋转矩阵R(z, =cos -si n 0si n cos 0001.(11 3 旋转变换通式的应用3.1 等效转轴和转角的计算已知旋转

8、变换矩阵R=n x o x a xn y o y a yn z o z a z,(12求等效转轴 和等效转角 .式(12与式(4建立等量关系,即R=R( , =21+(1- 21cos 1 2(1-cos - 3si n 3 1(1-cos + 2 si n1 2(1-cos + 3sin 22+(1- 22cos2 3(1-cos - 1si n3 1(1-cos - 2sin 2 3(1-cos + 1si n 23+(1- 23cos.(13将R,R( , 两矩阵的主对角元素分别相加,并令它们相等,即n x+o y+a z= 21+ 22+ 23-( 21+ 22+ 23# cos +3

9、cos ,化简后得n x+o y+a z=1+2cos ,则cos =12(n x+o y+a z-1.(14两矩阵的非对角元素成对相减并令它们分别相等,得到o z-a y=2 1si n ,a x-n z=2 2si n ,n y-o x=2 3si n ,(15式(15中3个方程两边分别平方再相加,整理得到:si n =12(o z-a y2+(a x-n z2+(n y-o x2,(1693第31卷第4期吴文静,等: 机器人运动学旋转变换通式研究tan =(o z -a y 2+(a x -n z 2+(n y -o x 2n x +o y +a z -1,(171=o z -a y 2

10、sin , 2=a x -n z 2si n , 3=n y -o x2si n.(18 在已知旋转变换矩阵R 时,利用式(17、(18可以得到等效转轴和等效转角.3.2 计算实例例:求旋转矩阵R ( , =00110001的等效转轴 和等效转角 .由式(14、(15和(16计算得到:cos =12(0+0+0-1=-12,tan = 3,sin =12(1-02+(1-02+(1-02=32,取等效转角 =120%,由式(18得到等效转轴的3个分量:1=33, 2=33, 3=33,从而等效转轴=33i +33j +33k .4 结 语通常,对关节式机器人作运动学分析时,相邻关节之间的坐标变

11、换分为4步变换来实现4,包括两次旋转和两次平移,要用到4个参数5,若能找到旋转变化通式,则能找到等效转轴和等效转角,参数会减少一半.并且,在建立机器人的动力学方程时,若能找到等效转轴和等效转角,机器人的动力学方程会大为简化而且容易写成封闭形式,有利于找到机器人的运动规律,从而有利于对机器人的运动状态进行控制,为机器人运动学和动力学分析与控制开辟新的途径.参 考 文 献1&机械工程手册、&电机工程手册编委会.机械工程手册:基础理论卷M .北京:机械工业出版社,1996.2陈安军.冗余度机器人机构动力学仿真的高效优化方法J.河南师范大学学报:自然科学版,2000,28(3:17-2

12、4.3(美约翰J 克拉克.机器人学导论(英文版,第3版M .北京:机械工业出版社,2005.4(美Saeed B N i ku .机器人学导论 分析、系统及应用M .北京:电子工业出版社,2004.5(美理查德#摩雷,(中李泽湘,(美夏恩卡#萨思特里.机器人操作的数学导论M .北京:机械工业出版社,1997.Study of C oordinate C ircu m volving Transfor m ati o n General Expression of R obot K i n e m aticsWU W en !ji n g ,LI U Guang !r u i(1.Zhongyu

13、an U niversity of T echno logy ,Zheng zhou 451191,Ch i na ;2.Zhengzhou U n i ve rs i ty ,Zheng z hou 450001,Ch i naAbstrac t :In o rder to contro l conveniently the m ove m ent of robot ,ser i es o f study abou t coordi nate c ircu m vo l v i ng transfor m ation of robot arti culati on are made .R i

14、 ght !ang le coo rdina te circu m vo l v i ng transfo r ma ti on gene ra l expressi on i s deduced m ak i ng use o f t u rning vector ,the un f o l d i ng express i on and its character ,an ax i om tha t i s ,ho w ever circumvo l v ing t he coordi nate t he vecto r i n it keep i m m ovability .T he appli cation o f c i rcu mvo lv i ng transfor m ation gene ra l expression i s i nvestigated ,and so m e examp l es are g iven to prove the results .R i ght !ang l e coordi nate c ircu m vo l v i ng transf o r m ati on gene ra l expressi on has the i