创新方案高考数学一轮复习第九篇解析几何直线与圆锥曲线的位置关系理新人教

1、直线与圆锥曲线的位置关系考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2011·合肥模拟)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2 C1,1 D4,4解析由题意得Q(2,0)设l的方程为yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，当k0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k0时，16(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，综上1k1.答案C【训练1】 若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D0解析由题意知：2，即2，

2、点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2个答案B考向二弦长及中点弦问题【例2】若直线l与椭圆C：y21交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值审题视点 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可解设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)当ABx轴时，|AB|；(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得，即m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)·3.当k0时，上式334，当且仅当

3、9k2，即k±时等号成立此时|AB|2；当k0时，|AB|，综上所述|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值Smax×|AB|max×.【训练2】 椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程解法一设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故24·4，将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.考向

4、三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】(2011·湘潭模拟)已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点(1)求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围解(1)a22，b21，c1，F(1,0)，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M，则圆半径r，由|OM|r，得 ，解得t±，所求圆的方程为2(y±)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有

5、两个不等实根如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，点G横坐标的取值范围为.【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B、C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y2

6、4y1，由及p0得：y11，y24，p2，得抛物线G的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)考向四定值(定点)问题【例4】(2011·四川)椭圆有两顶点A(1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程(2)当点P异于A、B

7、两点时，求证：O·O为定值 (1)解因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，椭圆方程为x21.直线l垂直于x轴时与题意不符设直线l的方程为ykx1，将其代入椭圆方程化简得(k22)x22kx10. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1·x2，|CD|·.由已知得，解得k±.所以直线l的方程为yx1或yx1.(2)证明直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k±1)，所以P点坐标为.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1·x2，直线AC

8、的方程为y(x1)，直线BD的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y得.因为1x1，x21，所以与异号2·2.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1·，与y1y2异号，与同号，解得xk.因此Q点坐标为(k，y0)O·O·1.故O·O为定值【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21.如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|·|OE|，求证：直线l

9、过定点(1)解设直线l的方程为ykxt(k0)，由题意，t0.由方程组得(3k21)x26ktx3t230.由题意0，所以3k21t2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，所以y1y2.由于E为线段AB的中点，因此xE，yE，此时kOE.所以OE所在直线方程为yx，又由题设知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由0得0t2，因此当mk1且0t2时，m2k2取最小值2.(2)证明由(1)知OD所在直线的方程为yx，将其代入椭圆C的方程，并由k0，解得G.又E，D，由距离公式及t0得|OG|222，|OD| ，

10、|OE| ，由|OG|2|OD|·|OE|得tk，因此直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点(1,0)【示例】如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 解答示范 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1，(ab0)设直线l：xt(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A(t，)，B.当e时

11、，ba，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|AD|. (2)t0时的l不符合题意t0时，BOAN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即， 解得t·a.因为|t|a，又0e1，所以1，解得e1.(10分)所以当0e时，不存在直线l，使得BOAN；当e1时，存在直线l，使得BOAN.(12分)【试一试】 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由尝试解答(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x0)化简得y24x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)·0(x11)(x21)y1y2x1x2(x