初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题人教版

1、1 / 15 第 18 章整数几何 18.1.1 已知 ABC的两条高长分别是 5、15,第三条高的长数，求这条高之长的所有可 能值. 解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件. 设第三条高为 h，则 15 5 15 解得11 h 1515 , h可取 4、5、6、7 这四个值. 4 5 18.1.2 已知 ABC的三边长分别为 AB n 3x, BC n 2x , CA n x，且BC边上的 高AD的长为n,其中 n为正整数，且0 x 1，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB ABC之最长边，故 B 90，设 BD y , CD z，贝 U U y 0，而

2、 z 可 正可负. 2 n 2 2 -3x n n 3x ,展开得n 12x，由0 x 1及 n为正整数，知 2 n 1 , 2，12,这样的三角形有 12 个. 18.1.3 已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过 20,其外接圆 半径与内切圆半径之比为 5： 2，求此三角形周长的最大值. 解析 设该直角三角形直角边长为 a、b，斜边为 c ,则外接圆半径 R -，内切圆半径 2 r a b c，不妨设 a 2 .SPTP 24 . 30 24 1 2 2 12 条，其中与AB垂直的弦及AB各 一条，其余的弦每种长度有两条（关于 AB对称）. 18.1.6 在直角三角形

3、ABC中，各边长都是整数， C 90 , CD为边AB上的高，D为 垂足，且 BD p3 （ p奇素数），求 AC 的值（用p表示）. AB 又ST AC BD，于是由托勒密定理，知 A、B、C、D 必 共圆，且满足 AC BD .又由已知条件，b2 d2 250 , a2 平方和只有两组： 52 152和 92 132 .由对称性，不妨设 a 则 SABCD 1 1 AC BD ac bd 96. 2 2 2 2 2 由余弦 定理，因cos BAD cos BCD 0 ,得- -9 9一型 45 BD 4 .10，于是 AC 1 1n 1 设 AC kpt，代入得 2 x2 2 p t k

4、t k t k，易知只能有 t k p2 , t k 1，解得 2 2 t , k 匚 2 2 18.1.7 设正三角形 ABC外接圆于P、 解析 如图，易知 于是由相交弦定理，得 p2 1 p2 1 ABC , M、N 分别在 AB、AC 上， Q，若PM、MN、AB长均为正整数, PM 也是整数.设AM x , BM 2 z z x z , x y z 曰AC AC 疋 - AB NQ MN 求 y, II BC，两端延长MN，交 AB的最小值. PM NQ z，贝 U MN xy 设 y ks , z kt, k z , s t , s, t 1，则 x 卫，由于 s s t t, t2

5、 1，故 s 要使 AB x ks 达到最小, k得取 s t，于是 AB t2 s t s .由于 s s 2 , t 1，知 t2 t s t2 s 3 .当AM 1, BM 2时AB取到最小值 3, 此时 2 c 250 .经搜索知 250 表为 5, b 13, c 15, d 9, 2 2 2 13 15 BD 195 Q 5 / 15 5 18.1.9 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 ABC ?证明你的结论. 解析 存在满足条件的三角形. 当厶ABC的三边长分别为 a 6 , b 4 , c 5时， A 2 B . 如图，当 A 2 B

6、时，延长BA至点D，使AD AC b .连结CD , ACD为等腰三角 形.6 / 15 因为 BAC为 ACD的一个外角，所以 BAC 2 D .由已知， BAC 2 B，所以 B D .所以 CBD为等腰三角形. 又 D为 ACD与ACBD的一个公共角， AD 有厶ACD CBD，于是 AD CD ，即 b a CD BD a b c 所以 a1 2 b b c . 而 62 4 4 5，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形. 评注 满足条件的三角形是唯一的. 若 A 2 B，可得 a2 b b c .有如下三种情形： (i) 当a c b时，设a n 1 ,c n ,b n

7、1( n为大于 1 的正整数)，代入 a2 b b c , 2 得 n 1 n 1 2n 1，解得 n 5，有 a 6, b 4 , c 5; (ii) 当c a b时，设c n 1, c n , b n1( n为大于 1 的正整数)，代入 a2 b b c, 得 n2 n 1 2n.解得n 2,有a 2, b 1 , c 3，此时不能构成三角形； (iii) 当a b c时，设a n 1 , b n ,c n1( n为大于 1 的正整数)，代入 a2 b b c, 得 n 1 2 n 2n 1 ,即 n2 3n 1 0 ,此方程无整数解. 2 所以，三边长恰为三个连续的正整数， 而且只有三边

8、长分别为 4、5、6 构成的三角形满足条件. 18.1.10 三边长为连续整数、周长不大于 解析 设三角形三边依次为 n 且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角形存在, 100、且面积是有理数的三角形共有多少个? 1 , 7 / 15 S ppapbpc于是3 n2 4 是平方数， 3 n2 2 2 2 3k ，得 8 / 15 2 2 n 4 k w 18. k W340 , 33 又 k不 可能是 奇数， 否贝 V n2 3k2 4 3k 2 ，得 n2 4 3k2 ，贝 U n w 32 , 2 2 n 4 102 k w 18. k w 340 , 33 又 k 不可能是奇数，否

9、则 n2 3k2 4 3 mod4，将 k 2 , 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 代入，发现仅当k 2 , 8 时满足要求.因此这样的三角形共有两个，三边长依次为 3、4、5 与 13、14、15. 18.1.11 某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小 1575,求其周长的最小值. 解析 设直角三角形直角边长 a、b，斜边为a 1575，则 a2 b2 a 1575 2 , b2 1575 2a 1575 . 由于 1575 32 52 7，设 b 105k，则 7k2 2a 1575，设 a 7s，则 k2 2s 225，于是 k 的最小值为 17,此时s 3

10、2, a 224, b 1785, c 1799 .此时的最小周长为 3808. 18.1.12 已知 ABC , AD是角平分线， AB 14 , AC 24 , AD也是整数，求 AD所 有可取的值. 故 AD 17 . 18.1.13 面积为 a b c 的正方形DEFG内接于面积为 1 的正三角形 ABC ,其中 a、b、c 是整数，且b 不能被任何质娄的平方整除，求 王的值. b解析 如图，作 DE II AB , E在AC上，则易知 AE ED . 又EDED AB CDCD ACAC ，故 BC AB AC AD AE DE 2ED 336 19 17.68 ， 2AB AC A

11、B AC 又当AD 17时，不难通过 AED构造出 ABC，故AD所有可取的值为 1, 2, 17. 9 / 15 设正方形DEFG的边长为 x ,正三角形ABC的边长为 m ,则 m2 ADGsABC，可得 解得 x 2 、3 3 m .于是 28.3 48 . 由题意得a 28, b 3, c 48，所以 a c 20 b 3 . 17.1.14 如图，AD是厶ABC的高，四边形 PQRS 是厶ABC的内接正方形，若 BC ab 的所有可能值. 解析 易知 SR AR 彳 1 CR 1 ，于是有 -1，或 1 1 1 BC AC AC AD 10a b d 11a 1 a 3 a 2 移项

12、， 得 1 或 2 a 6a 5 0，解得 a 1 或 5. 于是有两解： 11a 1 a 2 a 3 BC 12, BC 56, SR 3, SR 7, AD 4 ; AD 8. 易知这两组数据都符合要求，故 SA ABC 24 或224 . 解析 x2 （即两位数），SR c, AD d，且 a、b c、d恰为从小到大的 4 个连续正整数, SA ABC A 10 / 15 18.1.15 已知 ABC中，B是锐角.从顶点A向BC边或其延长线作垂线， 垂足为D ; 从顶点 C向AB边或其延长线作垂线， 垂足为E 当2B2BD 和 空 均为正整数时， ABC是 BC AB 什么三角形？并证明

13、你的结论. 解析 设2BD 2BE m,m、n均为正整数， 则 BC AB BD BE 2 mn 4 4cos B 4 , ABC 所以, mn 1 , 2, 3. (1) 当mn 1时, 1 cos B - B 60，此时m n 1 .所以AD垂直平分 BC , CE垂直 2 平分AB，于是 ABC是等边三角形. (2) 当 mn 2 时，cosB , B 45，此时 m 1, n 2，或 m 2 n 1，所以点 E 与 2 点A重合，或点 D与点 C 重合故 BAC 90，或 BCA 90，于是 ABC是等腰直角 三角形. J3 (3) mn 3时，cosB , B 30，此时 m 1,

14、n 3，或 m 3, n 1 .于是 AD 垂 直平分BC，或CE垂直平分 AB .故 ACB 30，或 BAC 30，于是 ABC是顶角为120 的等腰三角形. 18.1.6 某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍(就数字上讲) ，问问 这样的直角三角形有多少个？ 解析 设直角边分别为 a、b，则斜边 c b2，由条件知它是有理数，故必定是整 数. 设 a b .a2 b2 k kab , k 为正整数，于是 2 由于 a b a2 b2也是正整数，故它只能为 1、2 或 4,记作 k 由 a b k . a2 b2，得 2ab 2k a b k2 0 , 2 a k b k k

15、2 , k 1 时无解； k 2 时，有 a 2 b 2 2 , a , b=3 , 4 ; k 4 时，a 4 b 4 8, a , b =5 , 12或6 , 8，所以这样的直角三角形共有 3 个. 18.1.17 在等腰 ABC中，已知 AB AC kBC，这里 k 为大于 1 的自然数，点 D、E 依次在AB、AC上，且DB BC CE , CD与BE相交于 O ,求使 C 为有理数的最小自 BC 然数 k .11 / 15 18.1.18 对于某些正整数 n来说，只有一组解 xyz n （不计顺序），这里，x、y、z 是正整数且可构成三角形的三边长，这样的 n ab 1 a b .

16、因此，有解的 n共有 23 个. 18.1.19 面积为整数的直角三角形周长为正整数 k，求 k 的最小值，并求此时这个直角 三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可） 解析 设该直角三角形的直角三角形周长分别为 a、b，则ab 1 , a b 2 . ab 2 2 , 2 y/a b A j A 2 , k a b b212 2，故 k5 . 下令k 5 , ab 2，如有解，则可. a2 b2 5 a b , 平方得 1,1)；当 n pq ( p、 q为不冋素数） 时无解； 当 n 4p ( p 为大于 3 的素数）时也无解.剩 下的数为 8, 12, 16, 18,

17、24, 27, 30, 32, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 70, 72, 75, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 96, 98, 99, 100. 易验证，无解的 n有： 30, 42, 54, 56, 63, 66, 70, 78, 88, 99; 唯一解的 n有：8, 12, 16, 18, , 27, 32, 40, 45, 48, 50, 75, 80, 81, 84, 90, 96, p （素数）时无解；当 1, 解析 显然，当n 解析 如图，连结DE，贝U DE II BC , DE BC AD

18、AB AB BC AB 1 - , DE BC k k 则由托勒密定理（或过D E作BC垂线亦可）， CD2 CD BE DE BC DB CE CO BC k 工曰 CO 于 CD DE BC 2k 1 B BC2 BC2 k 由题设知其必须均为平 k 1， k 25适合，这是满足要求的最小自然数. 2 n p 或1时只有一组解（1, p , p ）或（ A 由于四边形DBCE为等腰梯形, BC2 k 2kk k1，由于k与2k 1互质， 方数, 12 / 15 a2 b2 25 10 a b a2 b2 2ab .13 / 15 a 取ab 2，得 ab b 29 10 2. 因此 a、b

19、 为方程 2 10 x 29x 20 0 的根，解得 a、b 为 2929 4141与2929 4141，故 k 的最小 20 20 值是 5. 18.1.20 解析 若 ABC的三边长 a、b、c 均为整数，且 不妨设 ab c 只可能为 bw c,于是 140 1 c 10. c 7 . ,孑 140 ，故 c w , c c 7时，ab 20,只可能 c 10时，ab 14，没有满足要求的解. 18.1.21 证明: b、c 是一组勾股数 b2 1 使得c k u2 v2 ，而 a k u2 解析 a2 b2 2 。，设(a , b , c ) k，贝 U a 知 ai、 从而 abc

20、140，求 ABC内切圆半径. 8，内切圆半径 则存在正整数 k、u、v、 2kuv ;或 a ka1 , b kd , b、C1两两互质；a1与 b1不可能同偶，否则 2 a1 , bi , G ; mod 4 ，矛盾于是 ci P|2c , 2b1, 于是可设G 2 2kuv, b k u c c1 .易 a1与 bi 也不会同奇，否则 a a 与 d 必一奇一偶，不妨设 a1a1 奇而 D D 偶，于是 G G 为奇数. bi Ci bi , c1 b1 与 c1 b1必互质，否则有 bi），与（ bi) =1 矛盾. 2 U1 U1 V1 2 b1 ,v v1 ) =1, 均为奇数，解

21、得 U1 2 V1 U1 Vi 2 ， Ui 2 2 Ui M 人 Ui vi -，令 u -, 2 2 Ui vi v 2 ， 18.1.22 如图, 于D , 即得结论. 求证：AF、BF、 E在 ABC的边AB、 CB、CD、AE、EC、 的延长线与BC的延长线交 AC上, FE FE、ED的长度不可能是 18 的排列. 解析 如果 EF 1，贝 U AE AF EF 1 ,得 AE AF ,矛盾，故EF 1，同理AF、AE、 ED、 CD、EC都不等于 1 . 14 / 15 A 因此 1 只可能等于FB或BC之长，不失对称性，设 BF 1，贝 U FD BD BF 1 , FD BD

22、，作CG II AB , G在ED上，四边形FBCG乃一等腰梯 形，于是EG FG EF BC EF为正整数. 又 EG EC CG BF 1，故EG EC ,但/ BFD为等腰三角形DFB的底角， Z BFD 90 , ZEGC 180 Z BFD 90，为 EGC 的最大内角， EC EG，矛盾，因 此结论证毕. 18.1.23 已知梯形 ABCD 中，AD BC , E、F 分别在 AB、CD 上，EF II AD II BC , ED II BF，如果AD、EF、BC均为正整数，称该梯形为“整数梯形” .现对于正整数 n , 有正整数 x x y 9如果 xy 或 x y 25，则 n

23、 2.25 10 若 xy 或 x y =9 或 16,则 n 1 9 或 2 8 10 .于是 n 的最小值为 10, x 1 , x =2, y =8, y=9. 18.1.24 求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四 边形.15 / 15 设 PM a , MS b , SN c ,贝 U b a b c 3 b PA PM PN a a b c a -a b 设a ks , b kt ,k (a , b ), 则, (s, t) =1 , s t, 易见 (s t , s t ) =1,贝 U s、 t 一奇一偶于是由（t s 由PA为整数知 st x2, s

24、t 11 k，于是k的最小值为 s t , 易知上述 6 个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个 a，但正整数有无限个，因 此有无限个 a,使 6 个多项式两两不等， 又当a a时，AD 0，因此有无限个这样的凸四边形两两不相似 18.1.25 已知 PA、PB为圆的切线，割线过 P，与圆交于 M、N，与AB交于S,若 PA、PM、MS、SN均为正整数，求 PA的最小值. 解析 如图，作圆内接四边形 ABCD , AC与 2 2 2 BP a 4 , DP 4a 1，贝 U AB a 4 , 而由 ABPs DCP , BPCsAPD 知, BD垂直于 P，设 a 为- 整数, a 2

25、 , AP 4a , 2 2 a 4 4a 1 AD 4a2 1由此知 CP 4a 2 2 , a 4 2 4a 1 2 B 4a 1 ,CD a 4 . 4a 4a AD 4a 4a2 1 BC 2 9 a 4 4a 1 , CD 4a2 1 a2 4 ， AC 4a4 a2 4，BD 20a a2 解析如图，易知有空蹙（调和点列）. MS SN ac c t y2 , x、y为奇数.因为 s kt 16 / 15 c t s t , PA s s t s t sxy，当 s 1, 2, 3, 4 时，t 无解（即 PA不是整数），故 s 5，又 x 3 , y 1，于是 PA 15,当 a

26、 PA s t st , s t 2x3 , s t 2y2，当 s 1 , 3 时，无 t 使 PA 为整数，于是 s 5 , 又 x y，所以 y 1 , x 2 , PA sxy 5 2 10 当 a 5 , b 3 , c 12 时取到 PA 10. 综上，PA的最小值是 10. 18.1.26 圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数， 求这类四边形中周长最小者. 解析 显然长与宽为 4、3 的矩形满足要求，其周长 =14.若等腰梯形上、下底分别为 3、4, 腰为 2,则由托勒密定理，对角线长为 4,满足要求，此时周长为 11.故最小周长W 11. 显然对圆内接凸四边形 ABCD，无边

27、长为 1否则若设 AB 1 , AD BD AB 1，得 AD BD，同理AC CB，于是C、D均在AB中垂线上，构不成凸四边形.因此最小周 长2X 4=8. 3 2 3 5, b 4, c 36 时取到 PA 15. 若(s t , s t ) =2,此时 s、t 同奇， k的最小值为-_t ,此时 c 2 四边均为 2,得正方形，对角线为 2,2，不合要求；三边为 2,另一边为 3，得等腰梯形, 17 / 15 对角线长为.10，亦不合要求故最小周长 10. 当周长为 10 时，显然至少有两边为 2 若是 2、2、2、4,则对角线为.12，不合；于是只 能为 2、2、3、3，四边形为矩形或

28、筝形，总有对角线长为 ,13，亦不合. 故最小周长为 11 . 18.1.27 在 RtA ABC中，Z BCA 90 , CD是高，已知 ABC的三边长都是整数, 且BD 114，求 BCD与厶ACD的周长之比. BC BD BA，故 a 11 c . 于是设 a 112l，得 11l2 c 由勾股定理得 b c2 a2 完全平方数，设为 t2 t 0，则 l2 112 t2, 18 / 15 解析 设 ABC的三边长分别为 a、b c .由题设知 11l . l2 112是整数，所以 l2 112是 2 l t l t 11 . l t 1 l 由于0 I t I t，所以 ；解得l l

29、l t 112. t 61 , 60. 于是 112 61, b 11 61 60 . 因为 BCD CAD，所以它们的周长比等于它们的相似比，即 11 b 60 19 / 15 18.1.28 已知锐角三角形 ABC中，AD是高，矩形 SPQR 的面积是 ABC的 1/3, 其顶点S、P在BC上，Q、R 分别在AC、AB上，且BC、AD及矩形 SPQR 的周长均为 有理数，求 警的最小值. 解析 如图，设 ABC的三边长依次为 a、b、c , AD h , PQ x , RS y，则竺 1 , ah 6 及x y -AQ CQ 1 .由条件，知 a、h、x y均为有理数. a h AC AC

30、 =5a，于是AB AC的最小值为 5，仅当AB AC时取到. BC 18.1.29 整数边三角形 ABC中，Z BAC 90 , AD是斜边上的高，BD也是整数.若 对同一个BD能长度，有两个不全等的直角整数边三角形 ABC满足要求，求BD的最小值. bc 解析 不妨设 ABC的三边长为 a、b、c , AD h , BD d，首先h 为有理数，又 a 2 h2 c2 d2为整数，因此h也是整数又CD为整数，故 也是整数.又 ABDCBA, d c2 d2及 d |h2，这样的整数边三角形就存在.因为此 时b 匹是有理数，而 b2 h2 CD2为整数，从而b为整数.易知由 d | h2可得

31、d | c2. d c1，代入得 d/ G2 h；，又由 d |h2 , c2 得 d： | h(2 , 其在 d1的指数 s 4 不会比h的指数高，否则 s d1 s h设 d d；, 、d1为正整数，且 无平方因子，于是由 2 _ 2 |h及 c 知| h , c .设 h h h1 , x a x 由 1，得一 a 6x a h，因此只能有a h. 若过A作BC的平行线l，再作C关于I的对称点 C，贝U AB AC AB AC BC 因此，只需正整数h、c、d满足 h2 c2，今对 d1的任一素因子p , 2 2 1 , s d1 s h1 2，而 s 20 / 15 最多为 s d12 s h2，这是不可能的于是 d1山，同理 d1 . d；h；, G d，代入 d/ c2 h；得 d2 2 C2 于是对 2 d1有两组不同的 C2、h2满足 d