专题质量评估(八)

1、专题质量评估(八)(时间：120分钟,满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)x y _11.若x,y满足约束条件x - y _ -1 .目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围2x - y 一 2是.【解析】作出可行域如图所示，直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知一1 ：-号：2即-4a2.【答案】(-4,2)2已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0x3时,f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx2【答案】(-5,-427.已知函数 f (x) =ax 2ax 4(0 :a3),若x2 x x2

2、=1-a 则 f(xj 与 f(x2)的大小关系是关系疋【解析】f(x)的图象对称轴为x=-1,因为0a3,则-21-a1,若 Xi ： X2 _-1 则 XX2 ：-2,不满足 x1 x2 =1 -a 且-21-a1;当 X10恒成立，则实数m的取值范围是.【解析】易知f(x)为奇函数、增函数,f(mcosr)f(1m) 0,即 f(mco)f(m-1),/ mcos；m -1而 0 _ t1 _ 2 时,cos v 0 1.fm m 1.得m0),在区间-8,8上有四个不同的根 x2 x3 x4则X x2x3 x4.【解析】因为定义在 R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),所以f(4

3、-x)=f(x),因此，函数图象关于直线x=2对 称且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间0,2上 是增函数，所以f(x)在区间-2,0上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四 个不同的根x-!x2x3x4不妨设 ：x2x3：X4.由对称性知xx2= -12 x3x= 4所以X1X2 X3X-12+4=-8.【答案】-8二、解答题(本大题共6小题,共90分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P

4、,怎样设计才 能使冲成的零件面积最大 ？ 并求出它的最大面积.【解】如图，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为7 x2矩形的另一边长为 AB =2(p _x-：2)= 2P-(42)x设零件的面积为S,则S 1 二 x2 、” 2P-(二 2)x 二 4x2 s x xx2 448当x =迟时,S有最大值，这时AB 匚.当矩形的两邻边 AB与BC之比为1 : 2时SmaxP28 + 2 江 .16. (本小题满分14分)求函数f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值 【解】y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin 2 x)=2sin $ x 4a sinx+12 2=2(si

5、n x a) 1 2a .设sinx=t,则 -1 _t _1并且y=g(t) =2(t _a)21 _2a2.当a-1时,如图.有 y最大二g(1)= 3-4a,y最小 弋(-1)=34a;当1空a 1时,有 y最小二 g(a) =1 -2a2 .y最大为g(-1)和g(1)中的较大者,即 y最大=3-4a(-1Ea0).或y最大=3 4a(0 2汨).当a1时，有y最大=g(-134a,y最小 =g(1) = 3 - 4a.17. (本小题满分14分)(2011安徽滁州二模)若f(x)是三次函数，且2 2f (X)二-X 4mx-3m 0 ： m : 1 f(0)=1.(1)求f(x)的单

6、调区间和极值；若x 0 m - 2求f(x)的最大值、最小值【解】 f(x)是三次函数， f(0)即为其常数项故由题意可得 f (x -1 x3 2mx2 -3m2x 1.(1)f (x) =0二 x = m 3mf x)=-(x-m)(x-3m), x (m)时,f x)0,f(x)为增函数；x (3m厂)时,f x)3m,由图可得最大值在f(0)与f(3m)中产生. 又f(0)=f(3m)=1,所以最大值为1.最小值在f(m)与f(m+2)中产生.f (m)4一3f (m 2) = m3 4m 一乌.33 f(m)-f(m 2) =4(3 -m).当 0 cm 兰刍时，最小值为 f(m +

7、2) = -m3 +4m_5 ;当2 : m : 1时,最小值为f(m)=1訓3.18. (本小题满分16分)已知函数f(x)在(-1,1)上有意义，追)=-1,且对任意的X、(-1,1)都有X十V ,f(x)+f(y)= f(1 xy) 12x(1) 若数列Xn满足为记冷.1专(nN ”)求f(xn)；2 1%(2) 求 1 f(1) fG)f(T )f (朽)的值.511n +3n+1n+22x【解】(1) T1 - _2|Xn|,.| 专|釘.1+Xn又咅=2 f x)=f(2)=.2Xn1Xn2Hf(XnXn1XnXn二 f(Xn)f (Xn) =2f (人)2.- f (Xn) 是以

8、-1为首项，以2为公比的等比数列， 故 f (xn-2n4.(2)由题设，有f(0)+f(0) =f(0) =f(0),故f(0)=0.又 X (_1 1)有f(x)+f( X)二 f (红善)=f(0)=0,得f(-x)=-f(x),故知 f(x)在(-1,1)上为奇函数.1 -x由丁1k2 3k 1 (k 1)(k 2) -11 1 1k 1 k 2(k 1)(k 2)f( 1 ) f( 1 )vk 1k 2)=f 诗)-f(k 1)(k 2)-(k 1)(k2)f (k2 3k 1)=k 2).f (已)启n 于是f (丁k4k2 3k 1-一1 _ f().n +27(5)f(H)f(

9、n3rn)f(n)=.322219.(本小题满分16分)设函数f(x)=x ax - a x 1 g(x)= ax -2x 1其中实数a = 0.(1)若a0,求函数f(x)的单调区间；当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且 g(x)存在最小值时，记g(x)的最小值为h(a),求h(a) 的值域；若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数，求a的取值范围.【解】(1) t f (x)二 3x2 2ax - a2 二 3(x 一 a)(x a).又a0, 当 x0；3当-a : x 月时,f x)0, - h(a) =1 -1a h(a)的值域为当a0时,f(x)在(-

10、：a)和(a .:)内是增函数，g(x)在(-.:)内是增函数.3 a由题意得 a -旦.解得a丄1.3a色-a当a0时,f(x)在(-：.)和(-a . ：)内是增函数，g(x)在(-：.1)内是增函数3aa 0.由题意得 a 20.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值；求证：f (x) _ g (x)(x0).【解】(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0 .y0)处的切线相同. f x(=x+2a,g (x)二亘.x由题意 f (冷)=g(x) f (x) = g (x).x： +2ax3 =3a2l n +b.x 2a 二宣xX。由x 2a =写得二a或x - -3a(舍去).即有 b =2a2 2a2 -3a2ina = 5a2 -3a2ina.2 2令 h(t) = ；t2 -3t2Int(t0), 则 h t(=2t(1-3I nt).1于是当 t(1-3In t)0,即 0t0