曲率及其计算公式

1、一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径3.7 曲率 曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样度量曲线的弯曲程度？一、弧微分曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数. 在曲线yf(x)上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向. s0s0 相反时s0. 显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x). 一、弧微分v弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds. 因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式

2、 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD21 y. dxyds21. 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD二、曲率及其计算公式提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量曲线的弯曲程度？ 记sKsDDD0lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率. 记sKDD 称K为弧段 MN 的平均曲率. 平均曲率

3、：曲率：v曲率 设曲线C是光滑的 曲线上点M对应于弧s 在点M处切线的倾角为 曲线上另外一点N对应于弧sDs 在点N处切线的倾角为D . 曲率：v曲率的计算公式 在0limDssDDdsd存在的条件下 dsdK. 记sKsDDD0lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率. 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数. 因为tan y 所以 sec 2dydx 在0limDssDDdsd存在的条件下 dsdK. 又知 ds21 ydx 从而得曲率的计算公式 232)1 (|yydsdK . dxyydxydxyd2221tan1sec dxyydxydxyd2221tan1sec

4、dxyydxydxyd2221tan1sec . v曲率的计算公式232)1 (|yydsdK . 例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率.曲率的计算公式：曲线在点(1 1)处的曲率为因此y|x11 y|x12.解解 由xy1 得 21xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221 解 21xy 32xy . 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221. 例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大. 因此

5、抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|. 232)2(1 |2|baxaK. 曲率最大时 xab2 对应的点为抛物线的顶点. 232)1 (|yydsdK . 曲率的计算公式：讨论： 3. 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 1. 直线yaxb上任一点的曲率是什么？ 2. 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何计算？ 提示： 1. 设直线方程为yaxb 则ya y 0. 于是K0. 3. 圆的参数方程为xR cos t yR sin t . 2/322)()(| )()()()(|ttttttKyjyjyj . 2. 三、曲率圆与曲率半径 上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆 其圆心叫做曲率中心 其半径r叫做曲率半径.v曲率与曲率半径关系v曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K0). 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为rK1的圆. r K1 K r1. 曲率圆曲率半径曲率中心 例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径. 抛物线顶点处的曲率半径为 rK11.25. 因此,