惠州学院高等数学(下)期末试题参考答案

1、高等数学下期末试题参考答案一、单项选择题每题2分，总计10分。1、fx(x°,y°)和 fy(x°, y°)存在是函数 f (x, y)在点(x°, y°)连续的。A. 必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。A.3、设 u ln( x8y y2 z2)，那么 div(grad u)=。B. px3、设D是xoy面上以(1,1), ( 1,1), ( 1, 1)为顶点的三角形区域，Di是D中在第 一象限的局部，那么积分(x1、 函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y在点(1,

2、 1)处取得极值，那么常数a =。2、 假设曲面x2 2y2 3z2 21的切平面平行于平面x 4y 6z 25 0,那么切点 坐标为。3、 二重积分 ：dy ：ye "dx的值为。y cos3 xsin y)d =DA. 2 cos3 xsinyd；B. 2x3yd ；C. 4 (x3ycos3 xsin y)d ；D1D1D14、设为曲面x2 y2R2 (R0)上的0z 1局部,2 2贝U ex4、1 ； 5、 y C y sin(x2 y2)dS=。A.0 ；B.R2Re sin R； C.4 R ；R2D. 2 Re sin R5、设二阶线性非齐次方程y p(x)y q(x)

3、y f (x)有三个特解 x，y? ex， y3 e2x，那么其通解为。A. x C1ex C2e2x;B.Gx C2ex C3e2x ；C. x C1(ex e2x) C2 (x ex) ； D.C1(ex e2x) C2(e2x x)二、填空题每题 3 分，总计15 分。1、-5 ; 2、( 1, 2, 2) ； 3、- (1 e 1)；64、设空间立体 所占闭区域为x y z 1, x 0, y 0, 上任一点的体密度是(x, y, z) x y z，那么此空间立体的质量为 。5、微分方程y的通解为。x y三、计算题每题7分，总计3 5分。1、 f (x, y, z) 2xy z2 及点

4、 A(2,1,1)、B(3, 1,1)，求函数 f(x, y, z)在点 A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。22、设z f (x y, xy)具有连续的二阶偏导数，求 一z。x y33、将函数f(x) 展开成x的幕级数，并指出收敛域。2 x xy(x)满足方程y 3y 2y 2ex ,且其图形在点(0,1)与曲线y x2 x1相切，求函数y(x)。5、计算hS2，其中L是螺旋线xl x y z8 cost, y 8 si nt,z t对应0 t 2的弧段。四、计算题每题7分，总计3 5分设a0，计算极限lim (丄-na22 a33nn)的值。aa计算zdv，其

5、中由不等式zx2y2 及 1 x2计算axdydz (za)2dxdy其中为下半球面zo1、2、3、y21 2 2 2.x y z. a2 x2 y2的下侧,z24所确定。a为大于零的常数。4、将函数f(x)(1 x 1)展开成以2为周期的傅立叶级数。5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分L(y f 2(x) x)dx (x2 f (x) y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由(1, 2)到(2, 1)的任一条逐段光滑曲线。五、此题5分对p o,讨论级数(1) 1的敛散性。n m p一、 单项选择题每题2分，总计10分。1、D; 2、E; 3、A;

6、4、D; 5、C二、填空题每题3分，总计15分。11x1、-5 ; 2、( 1, 2, 2) ； 3、一 (1 e 1); 4、一 ； 5、y C68y三、计算题每题7分，总计3 5分。1、 f (x, y, z) 2xy z2 及点 A(2,1,1)、B(3, 1,1)，求函数 f (x, y, z)在点 A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。解：由条件得2ZAB 1,2, 2AB03,3,1cos ,cos32,cos3 cos32,cos , cos 从而-lcos x-cos y10cos=zA(2, 1,1)3点A的梯度方向是Igrad f a 2y,2x

7、, 2z a 2,4, 2所以方向导数的最大值是r.、224222. 242、. 62z。x y2、设z f (x y, xy)具有连续的二阶偏导数，求解：一z f1yf2,zf1xf2xy2zzf1f 2-f1yf2yf2x yy xyyy(fnXf12)y(f21Xf22)f2f11(x y) f12xyf22f2、311111f (x)2解:2 x x21x2x1x21 x/2nnn1n x(1)nx(1)1n 1 xn02n02n02收敛域为(1,1)。4、设y y(x)满足方程y3y 2y 2ex ,且其图形在点(0,1)与曲线2y x x 1相切，求函数y(x)。解：由条件知y y

8、(x)满足y(0)1, y (0)1由特征方程r2 3r 20设特解为y*Axex，其中A为待定常数，代入方程，得 A 22xex从而得通解y6ex C2e2x 2xex,代入初始条件得0 1,C2最后得y(x)(1 2x)ex5、计算2，其中L是螺旋线xl x y z8 cost,8 sin t,t对应0的弧段。解：ds . xt2 yt2 zt2dt、65dt2 ds_265lx y z0四、计算题每题7分，总计3 5分dt2282 t2658arctant86581、设a 0，计算极限lim (丄2- a a斗)的值。an解：设s(x)nnxn 11)，那么原问题转化为求和函数在1丄处的

9、值a而 s(x) xnnnx1(xn)1x(xn) x(xxn 1)n 1n 1x(1 x)2故所求值为a(a 1)2r11, r22,对应齐次方程的通解YCexC2e2x2、计算zdv，其中由不等式zx2y2 z24所确定。解:2zdv d04d022 .r cos r sin1dr72 sin0cos2r 3dr14sin2 d2 2。21 415r4183、计算 axdydz (za)2 dxdy222.x y za为大于零的常数。其中为下半球面za2x2y2的下侧,解：取xoy为xoy面上的圆盘x2a2，方向取上侧,2axdydz (z a) dxdy 1x y2 z2aaxdydz(

10、za)2dxdyaxdydz (zxoya)2dxdyaxdydzxoy(za)2 dxdy(2z3a)dva2 dxdyDxya2 .r cos r sin023a3a3a2a24 cossinar3dr0413aa24、将函数f(x)1)展开成以2为周期的傅立叶级数。解：所给函数在1,1上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函1,1内收敛于函数本身。0(n1,2,)数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在 1 1 2 ( 1)n 1 a0 2 xdx 1， an 2 xcosn xdx 22， bn00nf(x) 1 弓亠Jcosn x ( 1 x 1)n 1n25、设函数

11、f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分L(yf2(x) x)dx (x2f(x) y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关,曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线解：由条件有一 x2 f (x)y2yf (x) x2xfxy设zf1,那么得z2 1Z2xxf 11 z3x代入条件得C 0x2fCxf (x) 3x，从而原积分变为L(yf2(x) x)dx (x2f(x) y)dyL9x2ydx 3x3dy五、此题5分。9(31(x, y) x22fx23l(9x y x)dx (3x y)dy2x)x2 3x3 dx27x2 12x3dx 181y21 , u(x, y)与v(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，F v(x,