勾股定理知识点经典例题及练习题带答案

1、【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3若S1，S2，S310，则S2的值是多少呢？【知识梳理】1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方与等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2、勾股数：满足

2、a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133、判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形

3、（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。5、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为的线段【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分

4、别为6m与8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ） A.2m B.3m C.6m D.9m【例2】（2016贵州贵阳）如图，ABC中，C=90°，AC=3，B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ） A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7【例3】（2016河北）如图，在ABC中，C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）A0.5 B2 C3 D4 【例4】（2016重庆綦江）一个正方体物体

5、沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角A30°,B90°,BC6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE 米时,有DCAEBC. 【例5】（2016广东肇庆）在直角三角形ABC中，C 90°，BC 12，AC 9，则AB 【例6】（2016贵州安顺）如图，在RtABC中，C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是 【例7】（2016四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8

6、m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长【例8】（2016四川乐山）如图，在直角ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数。【例9】（2016山东枣庄）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段ADBC且使AD =BC，连接CD；（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ；（3）ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；【例10】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，

7、滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.【课堂练习】1、（2016湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长 A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm2、（2016江苏无锡）如图，在RtABC中，ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，则EF = _cm3、（2016山东枣庄）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是

8、_cm2. 4、王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.（1）请用a表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.5、一个零件的形状如图，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？【课后作业】1、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A.9

9、，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，92、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三个内角比为121 B.三边之比为12 C.三边之比为2 D. 三个内角比为1233、如图，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_. FEACBD4、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC与CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由. (5题图) （6题图）5、如图，如上图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那

10、么这棵树折断之前的高度是 米. 6、一个零件的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12。求CD的长.7、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 8、如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？ 【经典例题】1、C 2、D 3、B 4、 5、15 6、6cm2 7、由题意可得，花圃的周长=8+8+=16+8、解：AD平分CAD CAD=BADDE垂直平分ABAD=BD,B=BADCAD=BA

11、D=B在RtABC中，C=90ºCAD+DAE+B=90ºB=30º9、解：（1）如图； （2），5； （3）直角，10； （4）10、设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，10+x=12【课堂练习】1、D 2、5 3、 4、(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a(2)不可以是7，第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。a5(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形5、解：在ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD为直角三角形，A =90°.在BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC是直角三角形，CDB =90°.因此这个零件符合要求.【课后作业】1、C 2、C 3、 4、解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5， AF2=20，AE2= EF2 +AF