数学物理方程资料

1、数学物理方程考点一. 分离变量法：知识点见课本1.已知初边值问题： （1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）；（2） 求此初边值问题的解。解：（1）令 （1.1），其中不恒零，将其代入方程得到： 将该式分离变量并令比值为有： 则有： （1.2） （1.3）由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 （1.4） 当时，方程（1.3）的通解为 ，由边界条件（1.4）知： 由（1.1）知：，应舍去；当时，方程（1.3）的通解为 ，由边界条件（1.4）知： 同理应舍去；当>0时，则方程的通解为： 1 / 8由边界条件知： 即 又由知： ，令，则即，所以固有值为将其代

2、入通解中，得到固有函数：（）将固有值代入方程（1.2），可得到此方程的通解： 则原初边值问题的形式解为 ：则：由初始条件，知： 原初边值问题的解为： 二. 特殊方程的边界齐次化：知识点见2.已知初边值问题： 将此定解问题的边界齐次化。解：令（1），则，故原初边值问题等价于 （I）将定解问题（I）边界齐次化，即令 将代入（I），则可得到边界齐次化后的初边值问题为： （II）然后用分离变量法求初边值问题（II）得到，将其代入（1）式即可求出。三. 能量不等式证明解的唯一性：知识点见3.证明方程的初边值问题解的唯一性。证明：假设此方程有两个不同解，令，则满足的定解问题为： 一维波动方程的能量公式为：

3、 则有：由知：，能量是时间的减函数，又知初始时刻又有，且 ，则 ，即有，其中为常数 又初始条件为 即 ，此与假设矛盾，故该方程初边值问题解具有唯一性。四. 给出物理背景，列出定解问题：4.长度为的均匀细杆的初始温度为，端点保持常温，而在和侧面上，热量可以发散到周围的介质去，介质的温度为，且此杆单位体积内单位时间吸收热量与温度函数成正比，比例为k，且k>0,求杆上温度函数所满足的定解问题。解：杆上温度函数所满足的定解问题为：五. 利用傅立叶变换求解柯西问题（初值问题）：5.见课本中“热传导方程柯西问题的求解”，该部分实际上就是一个例题，课后习题没有合适的例子，弄懂此例即可。六. 格林函数：

4、6.写出格林函数公式及满足的条件，并解释其物理意义。解：（1）格林函数公式（三维）为：G（M，M）= g（M，M） 其中函数g满足的条件为：式中为区域的边界曲面（2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面内M点处放一个单位正电荷，则有它在该导电曲面内一点M处产生的电势为（不考虑电介常数），将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理论，则M将在该导电曲面上产生负感应电荷，其在M处的电势 g（M，M），并且导电面上的电势恒等于0，即有=七. 调和方程的验证：7.已知极坐标表示的函数，验证其满足调和方程。解：由的表达式知：=n cos n =n(n-1) cos n = -nsinn = -cos n则有+

5、=+ =n(n-1) cos n+ncos n+( -cos n) =n(n-1)+n-cos n=0即+=0， 所以u（r, ）满足调和方程八. 特征方程的化简：只须掌握二元双曲型方程8.见课本例1。九. 求二阶特征方程的的特征方向：9.求方程的特征方向。解：设特征方向为（），则有特征方程为 又知，则有： 令参数，其中, ，则此方程的特征方向为： 或十. 一维达朗贝尔公式：知识点见课本10.见课本例子。十一.二阶线性偏微分方程的解的渐进性：11.在三大类方程中，哪两类方程具有解衰减性，其衰减的速度如何？答：1.波动方程解的衰减性：（1）初边值问题解及一维柯西问题解不具有衰减性；（2）在初始条件有紧支集时，二维柯西问题解以速度衰减；（3）在初始条件有紧支集时，三维柯西问题解以速度衰减。2.热传导方程解的衰减性： （1）初边值问题以负指数的速度衰减； （2）初值问题以速度衰减，其中n为