数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分

1、第十一章 反 常 积 分 教学目的：1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。 教学时数：8学时 § 1 反常积分概念 （2学时） 教学目的：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 一 问题的提出: 例（P264）.二 两类反常积分的定义 定义1. 设函数 定义在无穷区间 上，且在任何有限区间   上可积，如果存在极限 （1） 则称此极限J为函数 在 上的无穷限反常积分（简称1 / 8无穷积分），记作 ,并称 收敛.如果极限

2、（1）不存在，为方便起见，亦称   发散. 定义2. 设函数 定义在 上，在点 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间  上有界且可积，如果存在极          则称此极限为无界函数 在 上的反常积分，记作   并称反常积分 收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分  发散.   例1 讨论积分 , , 的敛散性 . 计算积分 . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ; . 例3 讨论积分 的敛散性 . 例4 判断积分 的敛散性 . 例5 讨论瑕积分 的敛散性 ,并讨

3、论积分 的敛散性 . 三 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 连续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设 , 有 ，把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 一 无穷积分的性质 在区间 上可积 , Const , 则函数 在区间 上可积, 且      . 和 在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 且   . 无穷积分收敛的Cauchy准则: Th

4、 积分 收敛 . 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.   绝对收敛 收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .   二 比较判别法 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 . 非负函数无穷积分敛散性记法. 比较判敛法: 设在区间 上函数 和 非负且，又对任何 > , 和 在区间 上可 积 . 则 < , < ； , . 例6 判断积分 的敛散性. 推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间 上函数, . 则 > < < , 与 共敛散 : > , < 时, < ； > , 时, . ( 证 ) 推

5、论2 （Cauchy判敛法）: ( 以 为比较对象, 即取   .以下 > 0 )设对任何 > , , 且 , < ；若 且 , . Cauchy判敛法的极限形式 : 设 是在任何有限区间  可积的正值函数. 且 . 则 > < ； > . ( 证 ) 例7 讨论以下无穷积分的敛散性 : > >   三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法: 1.Abel判敛法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛. 2.Dirichlet判敛法: 设 在区间 上有界 ， 在 上单调，且当 时， .则积分 收敛.

6、例8 讨论无穷积分 与 的敛散性. 例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . 例10 ( 乘积不可积的例 ) 设 , 。由例6的结果, 积分 收敛 . 但积分 却发散.§3 瑕积分的性质与收敛判别（2学时） 教学目的：熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。 类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限 的原意写出相应的命题. Th ( 比较原则 ) P277 Th11.6.   系1 ( Cauchy判别法 ) P277 推论2.   系2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) P277 推论3.   例11 判别下列瑕积分的敛散性 : ( 注意被积函数非正 ). .  例12 讨论非正常积分 的敛散性. 注记. CR积分与R积分的差异: 1. R , 在 上 ; 但在区间 上可积 , 在区间 上有界 . 例如函数 2. R , | | R ,但反之不正确. R积分是绝对型积分. | |在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 但反之不正确. CR积分是非绝对型积分. 3., R , R ; 但和在区