数学分析课件曲面积分

1、第二十二章 曲面积分 目的与要求：1. 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式；2. 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性以及两类曲面积分的联系，3. 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分重点与难点：本章重点是掌握第一、二型曲面积分的定义和计算公式和用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分；难点则是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系.第一节 第一型曲面积分一 第一型曲面积分的概念与性质1 背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀

2、密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义 2 第一型曲面积分的定义定义 设为空间上可求面积的曲面块，为定义在上的函数对曲面作分割，它把分成个可求面积的小曲面 ，的面积记为，分割的细度为1 / 16，在上任取一点 若有极限 =且的值与分割与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分，记作 （1）3 第一型曲面积分的性质1 线性性: 设,存在, 则存在,且2 可加性: 设存在,，则 ，存在,且；反之亦然. 二 第一型曲面积分的计算定理221 设有光滑曲面：， 为定义在上的连续函数，则=证 略

3、例1 计算，其中是球面被平面所截的顶部.解 ：， =作业 P282 1，2，3，4.第二节 第二型曲面积分 一 曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义二 第二型曲面积分的概念 1 第二型曲面积分的定义定义 设函数，与定义在双侧曲面上的函数在所指定的一侧作分割它把分成个小曲面，分割的细度，以，分别为在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定如的法线正向与轴正向成

4、锐角时，在平面上的投影区域的面积为正，反之，如的法线正向与轴正向成钝角时，在平面上的投影区域的面积为负在每个小曲面任取一点，若极限 +存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记为 (1)上述积分(1)也可写作+2 第二型曲面积分的性质1若 都存在，为常数，则有=2若曲面由两两无公共内点的曲面块所组成， 都存在，则也存在，且 =三 第二型曲面积分的计算定理222设为定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线正向与轴正向成锐角 ），则有= （2）证 由第二型曲面积分的定义=这里，因，立刻可推得，由相关函数的连续性及二重积分的定义有=所以

5、= 类似地：为定义在光滑曲面：，上的连续函数时，而的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 = 为定义在光滑曲面：，上的连续函数时，而的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有= 注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1计算，其中是球面在部分并取球面外侧 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为： ， ：，=+=例2 计算积分，其中 为球面取外侧. 解 对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有 ： ; ： .因此, =+ = . 对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有 ： ; ：

6、 .因此, += . 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有 ： ; ： .因此, =+ = .综上, =作业 P289 1，2.第三节 高斯公式与斯托克斯公式一 高斯公式定理223 设有空间区域由分片光滑的双侧闭曲面围成若函数，在上连续，且具有一阶连续偏导数，则 =其中取外侧称为高斯公式证 只证=类似可证=和=这些结果相加便得到了高斯公式先设是一个型区域，即其边界曲面由曲面：，：，及垂直于的边界的柱面组成其中于是按三重积分的计算方法有=其中，都取上侧又由于在平面上投影区域的面积为零，所以因此=+=对于不是型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个型区域来讨论详细的推导与格

7、林相似空间区域的体积公式：=例1 计算,其中是边长为的正立方体表面并取外侧解 应用高斯公式，所求曲面积分等于=二 斯托克斯公式双侧曲面的侧与其边界曲线的方向的规定：右手法则定理224 设光滑曲面的边界是按块光滑的连续曲线若函数，在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则= （2）其中的侧与的方向按右手法则确定证 先证= （3）其中曲面由方程确定，它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以，若在平面上投影区域为，在平面上的投影曲线为现由第二型曲线积分的定义及格林公式有=因为 =所以 =由于，从而=.综合上述结果，便得所要证明的（3）式同样对于曲面表示为和时，可证得= （4）= （5）将（3），（4），

8、（5）三式相加即得（2）式如果曲面不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示因而这时（2）式也能成立该公式称为斯托克斯公式，它也可写成如下形式：=例2 计算，其中为平面与各坐标面的交，取逆时针方向为正向 解 应用斯托克斯公式=单连通区域：如果区域内任一封闭曲线皆可以不经过以外的点收缩于属于的一点，则称为单连通区域非单连通区域称为复连通区域定理 225 设为空间单连通区域若函数，在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（1）对于内任一按段光滑的封闭曲线，有=0（2）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路线无关只与的起点及终点有关。（3）是内某一函数的全微分，即（4），在内处处成立证明 略例3 验证