一元函数积分定积分的几何应用

1、一元函数积分定积分的几何应用第一页，共34页。3.3 3.3 定积分的应用定积分的应用3.3.1 平面图形的面积平面图形的面积 问题的提出与微元法问题的提出与微元法 直角坐标情形直角坐标情形参数方程情形参数方程情形计算平面图形面积习例计算平面图形面积习例1-4极坐标情形极坐标情形计算平面图形面积习例计算平面图形面积习例5-73.3.2 立体体积立体体积旋转体的体积旋转体的体积计算立体体积习例计算立体体积习例8-11内容小结内容小结定积分的几何应用定积分的几何应用第二页，共34页。回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲

2、线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 一、问题的提出与微元法一、问题的提出与微元法 第三页，共34页。将曲边梯形面积表示为定积分的步骤如下将曲边梯形面积表示为定积分的步骤如下:., , ,)1( iiiAAAinxnba则则的面积为的面积为个小窄曲边梯形个小窄曲边梯形第第个小窄曲边梯形个小窄曲边梯形梯形被分成梯形被分成相应的曲边相应的曲边的小区间的小区间个长度为个长度为分成分成把区间把区间. )( )2(iiiiiixxfAA 的近似值的近似值计算计算.)( ,)3(1iinixfAA 的的近近似似值值得得求求和和iini

3、xfA )(lim )4(10 取取极极限限得得精精确确值值 badxxf)(第四页，共34页。ab xyo)(xfy 提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小区区间间,dxxx 上上的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积，则则 AA，并并取取dxxfA)( ，于于是是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素(1)求总体量求总体量, 先求部分量先求部分量(以不变代变以不变代变).(2)对部分量求和取极限对部分量求和取极限.第五页，共34页。若所求量若所求量U须满足条件：须满足条件：(1) U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a,b有关

4、的量有关的量. (2) U对于区间对于区间a,b具有可加性具有可加性, 就是说就是说, 如果把区间如果把区间 a,b分成许多部分区间分成许多部分区间, 则则U相应地分成许多部相应地分成许多部 分量分量, 而而U等于所有部分量之和等于所有部分量之和. .)()3(iiixfU 的的近近似似值值可可表表示示为为部部分分量量则可用定积分来表达这个量则可用定积分来表达这个量U.第六页，共34页。微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：根据问题的具体情况根据问题的具体情况, 选取一个变量选取一个变量(如如x)为积分变为积分变 量量, 并确定它的变化区间并确定它的变化区间a,b. (2)设想把区间设想把区间a

5、,b分成分成n个小区间个小区间, 取其中任一小区间取其中任一小区间 并记为并记为x, x+dx, 求出相应于这小区间的部分量求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值的近似值. 如果如果 U能近似地表示为能近似地表示为a,b上的一个连续函数在上的一个连续函数在x 处的值处的值f(x)与与dx的乘积的乘积, 就把就把f(x)dx称为量称为量U的微元的微元,且记为且记为dU.)( dxxfdU 即即.)( ,)3( badxxfUba上上求求定定积积分分得得在在这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法第七页，共34页。应用方向：应用方向：平面图形的面积、平面图形的面积、 体积、平面曲线的弧长、体

6、积、平面曲线的弧长、 功、水压力、引力和平均值等。功、水压力、引力和平均值等。 第八页，共34页。xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(围成图形的面积围成图形的面积 badxxfxfA)()(12xxdxx dxx 1. 直角坐标情形直角坐标情形二、平面图形的面积二、平面图形的面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x第九页，共34页。1212 , , ,(y)(y)C c d(y)(y)dyyydA)()(12dcdyyyA)()(12

7、第十页，共34页。oyxababoyx)()(tytx则曲边梯形面积则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应此时要注意曲边是有正方向的此时要注意曲边是有正方向的! 从而确定出起点和终点从而确定出起点和终点.当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边当你沿曲边朝着这方向前进时曲边梯形将在你的右边.2. 参数方程情形参数方程情形第十一页，共34页。计算平面图形面积习例计算平面图形面积习例 .积积所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面 20 ,sin ,cos 33 ttaytax求求星星形形线线例例4例例1例例2例例3第十二页，共34页。解解 两曲线的交点两曲

8、线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy3, 2 x,0, 2 xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0 xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 选选x为积分变量为积分变量, dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 例例1第十三页，共34页。两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y,242dyyydA .18)24(422 dyyyAxy22 4 xy,4, 2, dyyy例例2解解 第十四页，共34页。椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsin

9、cos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 例例3解解 第十五页，共34页。 .积积所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面 20 ,sin ,cos 33 ttaytax求求星星形形线线Oxya223 , 只需求出由对称性 , 1然第一象限中的面积A . 4 即可后乘以 02421 244( 3sincos)dAAattt. 8 3dsin)sin1 (1222 0 422attta t例例4解解所求面积所求面积第十六页，共34页。 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线

10、 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.21)(2122 drdA )( r3. 极坐标情形极坐标情形., 且且为为积积分分变变量量选选第十七页，共34页。计算平面图形面积习例计算平面图形面积习例例例5例例6 cos1 cos3 所所围围成成的的与与心心形形线线求求圆圆 rr .平面图形的面积平面图形的面积例例7第十八页，共34页。由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积14AA drA 402214.2a xy 2

11、cos22ar 1A,40 da2cos214402 例例5解解 第十九页，共34页。利用对称性知利用对称性知 d 02212drA,0 022)cos1(212da d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0.232a 例例6解解 第二十页，共34页。 cos1 cos3 所围成的与心形线求圆rr .平面图形的面积例例7解解Ox3cos3rcos1r .2 , ,11AAA则求出上半部分的面积由对称性 ) 1 (联立方程组求积分区间cos3rcos1r 2 1cos3 12AA2 3 23 0 2d)cos3(21d)cos1 (2123 0 d)22cos1cos2

12、1 (2 3 d2)2cos1 (9 4 5 第二十一页，共34页。 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转旋转轴轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体的体积旋转体的体积三、立体体积三、立体体积第二十二页，共34页。一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dx

13、xx ，取取以以 dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕 x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素， dxxfdV2)( 旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( xdxx xyo)(xfy 第二十三页，共34页。(1) 类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及 y 轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 y 轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为 xyo)(yx cddyy2)( dcV第二十四页，共34页。.),(),(,)2(21轴轴旋旋转转绕绕平平面面图图形形xxfyxfybxax

14、 oxyab)(1xfy )(2xfy ,bax ,dxxx )( )( )(2122xfxfxA dxxfxfdV)( )( 2122 .)()( 2122 badxxfxfV 第二十五页，共34页。例例8例例10例例11计算立体体积习例计算立体体积习例. 12222体积轴旋转所成的旋转体的轴与绕求椭圆yxbyax例例9第二十六页，共34页。a aoyx解解 ,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积 dxxaVaa33232 .105323a 例例8第二十七页，共34页。. 12222体积轴旋转所成的旋转体的轴与绕求椭圆yxbyax解解 (1)绕绕 x 轴

15、旋转时轴旋转时, 选选 x 为积分变量为积分变量, .,aax 221axby aaxdxyV2 aadxaxb)1( 222 ; 342ab (2)绕绕 y 轴旋转时轴旋转时, .,bby 221byax bbydyxV2 bbdybya)1( 222 . 342ba 例例9第二十八页，共34页。解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy例例10第二十九页，共34页。绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OAB

16、C与与OBC 分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差. dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 第三十页，共34页。（2）解法）解法2（柱壳法）（柱壳法）a2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02第三十一页，共34页。补充补充如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及 x 轴轴所所围