费马点及其在中考中的应用(共4页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上费马点及其在中考中的应用一、费马点的由来 费马(Pierre de Fermat，16011665)是法国数学家、物理学家费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好 然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人 一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点” 二、探索费马点 1 当三角形有一个内角大于或等于120

2、°的时候，则费马点就是这个内角的顶点 下面来验证这个结论： 如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C，使得AC=AC，作CAP=CAP，并且使得AP=AP 即把APC以A为中心做旋转变换 则APCAPC， BAC120°，PAP60° 在等腰三角形PAP中，APPP， PA+PB+PCPP+PB+ PC>BC=AB+AC所以A是费马点                   图1  

3、;                                   图22 如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点 如图2，以B点为中心，将APB旋转60°到ABP 因

4、为旋转60°，且PB=PB，所以PPB为正三角形 因此，PA+PB+PC=PA+PP+PC 由此可知当A，P，P，C四点共线时，PA+PB+PC=PA+PP+PC为最小 当A，P，P共线时，BPP=60°，APB=APB=120° 同理，若P，P，C共线时，则BPP=60°， BPC=120° 所以点P为满足APB=BPC=CPA=120°的点  三、费马点的简单应用 近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子 例1(2009浙江湖州-25) 若P为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120°

5、，则点P叫做ABC的费马点 (1)若点P为锐角ABC的费马点，且ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为_； (2)如图3，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结BB求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PA+PB+PC  解：(1)PBA+PBC=PBC+PCB=60°，PBA=PCB 又APB=BPC=120°， PBAPCB，则PB2=PA×PC=12， 即PB=2 (2)证明：在BB上取点P，使BPC=120°，连结AP，再在PB上截取PE=PC，连结CE PC=CE，AC=CB，PCA=ECB， ACPBCE APC=B

6、EC=120°，PA=EB APB=APC=BPC=120°， P为ABC的费马点，且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC 例2 (2009北京) 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)， C(0，4)，延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DEAB，交BC的延长线于点E (1)求D点的坐标； (2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，试确定此直线的解析式； (3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿

7、GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)  【析】本题第三问要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明如果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的问题，并不容易想到而用费马点的知识就能轻松找出这个G点 由于直线y=kx+b与y轴的交点坐标在第二问当中可求出M(0，6)，所以，本题第三问便可以转化为：AOOM于点O，AO=6，MO=6，G点从M出发，向O点运动到达G点后，再沿GA到达A点若G点在MO上运动的速度是它在GA上运动

8、速度的2倍，试确定G点的位置(如图5，G点按照上述要求到达A点所用的时间为t) 解法一： 方程解法 设GO=x，则MG=6-x，AG=， 则t=， 移项平方得：3x2+(12-4t)x +36+24t-4t2=0， 方程有解， =(12-4t)2-12(36+24t-4t2)0  解得t6， 将t=6代回方程，求出x=2时，t最小  解法二：费马点解法 如图6，要使MG+AG最小，即使MG+2AG最小 作A关于MO的对称点A'， 则MG+2AG=MG+AG+A'G， 即MG+AG+A'G最小故G为AA'M的费尔马点作GAO=30°，交MO于G点，则AGM=A'GM=AG A'=120°，故G点为所求 OG=2 由此利用费马点的解法可以看出： 当动点G在OM上的运动速度是在AG上的2倍的时候，动点的位置与MO的长度无关，与AO的长度有关，GO长是AO长的倍2009北京中考25题最后一问不需证明其实证明也很简单！（仅供参考）其中为与轴的交点，由前两