初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第9章三角形试题人教版

1、1 / 25第 9 章三角形 9. 1 全等三角形9. 1.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD 2CE.解析如图，延长CE、BA,设交于F.贝U FBE ACF,AB AC,得厶ABDACF,CF BD. 又BE CF,BE平分FBC，故BE平分CF,E为CF中点，所以2CE FC BD.9. 1 . 2在ABC中，已知A 60,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，P、QABCABAC形外两点，使PE AB, PE , QF AC , QF ，若GP 1，求 PQ 的长.221解析如图，连结EG、FG，则EG I

2、I AC,FG II AB，故 PEG 150 QFG 又QF1AC EG ,21PE AB FG，故PEG GFQ，所以 PG GQ , EGP FGQ FQG FGQ 30，又2EGF 60，所以 PGQ 90，于是 PQ 2PG 2 .9. 1 . 3在梯形ABCD的底边AD上有一点E，若ABE、BCE、CDE的周长相等，求-BC .AD 解析作平行四边形ECBA，则ABECEB，若A与A不重合，则A在EA（或延长线）上，但由 三角形不等式易知，A在EA上时，ABE的周长ABE的周长；A在EA延长线上时，ABE的周长ABE周长，均与题设矛盾，故A与A重合,AEIBC，同理 ED|BC ,

3、BCADA2 / 25别是BAC、ABC的角平分线.求证:BQ AQ AB BP .9. 1 .4ACB 40,P、Q 分别在边BC、CA上，并且AP、BQ 分3 / 25解析延长AB到D,使BDBP,连结DP.易知ABC 80，所以 QBC 40ACB ,AC AQ QC AQ QB .AB.:/P* zD-C因BDP1BPDABC 402ACB，所以ADPACP,ACADAB BD AB BP.于是BQAQ AB BP .9. 1. 5设等腰直角三角形ABC中，D是腰AC的中点，E在斜边BC上，并且AE BD.求证:BDA EDC.解析如图，作BAD的平分线AF,F在BD上.由于BAF 4

4、5 ACE,AB AC,ABF CAE，故ABFCAE，故EC AF. 又C FAD 45,AD CD，于是AFDCED，于是ADB EDC.9. 1. 6设ABE、ACF都是等腰直角三角形，AE、AF是各自的斜边，G是EF的中点，求 证：GBC也是等腰直角三角形.解析如图，作 AQ、GP、EM、FN分别垂直于直线BC,垂足为 Q、P、M、N.由 EBM90ABQBAQ,ABBE, EMB 也厶 BQA，故有 EM BQ ,BMAQ . 同理FN QC ,CNAQ，所以BMCN,EM FNBQQC BC .又EG GF得BP CP，且GP1EM2FN1-BC，故GP BP CP.又由GP2BC

5、,故结论成立.9. 1 . 7已知AB AC,ABAC,D、E在BC上（D靠近B）,求证：DE22BDCE2的充要条件是DAE45.CB口_M_ c _Q PA4 / 25A解析如图，作AD AF，且若DAE 452 2DE EF I反之，若 DE2DAF 90，于疋则ACF 45 B，又AB AC，故ABDACF,FC BC，且FC BD,D4F BAC 90.，贝U EAF 452 2 2EC FC ECEC BD ,由旦DAE 459. 1. 8两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成 旋转后拼成另一个三角形.解析如图， 设厶ABC与厶ABC关于I对称， 分别找到各自的内

6、心 均为轴对称的筝形， 且四边形 同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合.AF，得ADE AFE，则，因AD2BD .EF2EC2FC2得EF DE.又ADAF，故ADEAEF，又3 块，每一块通过平移、IF与ID、IE、IF，于AEJF，所以两者可通过平移、6 个四边形AFIE旋转后重合；，分别向三边作垂线ID、IE、AFIE也四边形C9. 1 . 9*已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等.解析如图，设BC BC,A至BC距离等于A至B C距离，取各自的中位线FE、F E，则FE FE由ABC、ABC均为锐

7、角三角形，可在BC、BC上各取一点D、D，使图中标相同数字的角相等， 于是AEFD EF, DEFAEF, FBD FD B, EDC ECD.评注还有一种旋转而不是对称的构造法.9. 1 . 10已知ABC与厶ABC中,BC B C，ABCABC，ABC与ABC是否一定全等?5 / 25AA6 / 2 5解析如图，让B与B重合，C与C重合，A、A在BC同侧，若A与A重合，则 ABCABC;否则由条件知四边形ABCA为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于是ABC ACB,AB AC, ABC ACB.综上，可知ABC与厶ABC全等.评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理

8、来证明.9. 1. 如图所示，已知ABC、CED均为正三角形，M、N、L分别为BD、AC和CE的 中点，求证： MNL为正三角形.解析如图，设BC、CD中点分别为S、T，连结NS、SM、MT、TL.则四边形CSMT为平行四 边形，设BCD,贝V NSM 60180240LTM,NCL 360120240,又NC SN SC MT,LC LT CT SM，故ACNL SNMTML,NL NM ML,于是MNL为正三角形.评注注意有时S在MN另一侧，此时NSM LTM NCL 120，不影响最终结论.9. 1. 12ABC中，A 90,AB c.AC 6,BC a,M是BC中点，P、Q 分别在AB

9、、2 2AC上（可落在端点），满足 MP MQ，求 BP CQ 的最小值（用 a、b、c 表示）.解析如图，延长 QM 至N，使 QM MN，连结PN、BN、PQ、AM由于M是BC、NQ 的中点，故 BN CQ ,BN II AC,BN BP，又PM垂直平分 NQ，故 BP CQ BP BN PN PQ .取 PQ 中点K（图中未画出），贝 U PQ AK MK AM 号仅当 PQ AM即四边形 APMQ 为矩形时.9. 1 . 13已知P ABC内一点，PAC PBC，由P作BC、CA的垂线，垂足分别是L、M.C2于是 BP2CQ2的最小值为，取到等4DC7 / 25CB设D为AB中点，求证

10、：DM解析如图所示，取AP中点E,BP中点F，连ME、ED、DF、FL显然四边形DEPF是平行四边 形，所以又由PMPAC以DMDLEP DF,FP DE.AC，所以EM EAPBC，所以DEM DL.DEP DFP.PEM 2 PAC；PEM DFP PFLEP DF,DEP同理FL DE,PFL 2 PBCDFL，从而DFM LFD,9. 1 14 在ED DB CE,解析如图，延长ABC中，已知2 CDE，求 使BF ED,CABAB、AC上的点，且AED 60CDBAB至UF60,D、E分别是边DCB的度数. 连CF、EF因为EABAED60,所以FDA 60,EDBCED 120,A

11、DAEED BFCEEDDB DBBFDF.于是,ACAF,ACFAFC60.CDB 2 CDE,EDB120又因为所以CDEECD在ACDA和ACBF中,FCB ACD 20.工曰DCB 6040,180CDBCED80,EDC 20.CA CF,CADCFB60,ADBF，所以CDACBF，故CDE9. 1. 15在ABC中，BD DC，且BDM解析若DM DN，则在BED与ACND中，疋，FCB 20.C为锐角，M、N、.求证：B、CDNDM上取一点BD DC,EBD NCD,BE NC,所以FB但另一方面，由DM DN，知ABCD分别为边AB AC.E，使DN BDE CDN,FC.又

12、易知ENFBC ACB,DE连结AB、AC、BC上的点，满足AM AN,BE并延长交AC于F，连结EN在DN,故厶BDECDN.于是有ENF ACB.DEII BC，因此所以8 / 259 / 25-ACB ACB ACB .2从而ENF MNAACB.矛盾，故假设DM DN不成立.若DM DN，同法可证此假设不成立.综上所述DM DN，于是由 BDMCDN知DBM DCN，从而AB AC.9. 1 . 16*如图，ABC为边长是 1 的等边三角形，BDC为顶角 BDC 是120的等腰三角形,以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连结MN，形成一个AMN. 求厶AMN的周长

13、.解析延长AC到E，使CE BM，连结DE易知在BMD与ACED中有BD DC,MBD ECD 90,BM CE,从而MBDECD.所以MD DE,MDB EDC.于是在 DMN与厶DEN中有DN DN,MD DE,MDN 60MDB CDN EDC CDNEDN.从而AMDN EDN，故NE MN.所以AM MN AN AM NE AN AM NC CE AN AM MB NC ANAB AC 2.9. 1 . 17 ABC为等腰直角三角形，C 90，点M、N分别为边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD 2BM，点E在射线NA上，且NE 2NA，求证：BD DE.解析取AD中点F，连E

14、F.ANM刃80BAC)ABCACBABDACBD10 / 25EABD DE.9. 1 . 18*已知YABCD，延长DC至P，使DP AD，连结PA与BC交于 Q ,O为 PQC 的外心，则B、O、C、D共圆.解析如图连好辅助线, 由于DPABAPPADCQP，故 CQCP，设OCPOCQOQC，则BQO180DCO，又 BQABCD , QO CO，故 BQODCO ,于是QOBCOD , 于是 BODQOC 2QPCBCD，因此B、O、C、D共圆.9. 1 . 19 已知ABC和ABC,A A，且BC BC,D和D分别是BC、BC的中点，BNCMC,BM1 BD MDBMC2BC,AD

15、IIBC.于是有CBMCAN.-NEAE ,AF-AD1BC NC222DMA，故AMDCMB.于在厶ANC与厶EAF中，NA在厶BMC与厶DMA中，AM由AD II BC知EAF ANC,是有ADM CBM,AD同样易知BMC ANC,所以FAFANC.于是有从而在AEAF与厶EDF中有AFFED FEA.总之，EDF MDA EDFAEFFD,NACEFEFEFA，故FAFEDF于是有NACEDFACN 90EFD.AEF EDF FED 90,EDFEAF,AD11 / 25AD AD，问两个三角形是否必定全等?解析如图，作出ABC外心0（ABC及相应的0、D图中未画出）. 若0在BC上

16、，贝U A 90 A，此时 ABC与厶ABC未必全等.若0不与D重合，则12 / 25A O cos A O D ,AD AD当A、O、D共线，则AD BC,AD BC，所以ABDABD, ACDACD，从而ABCABC当A、O、D不共线，则AODAOD,ODA ODA，于是ADC AD C（或AD B）,于是由三角形全等可得AC AC（或AB） ,AB AB（或AC）,故有ABC ABC（或ACB）评注此题亦可用中线长公式证明.9. 1. 20如果两个三角形满足“ASS”，它们不一定全等，此时称它们是相近的，现在有一三角形1,作与之“相近”， 一般有n 1与n相近，问是否存在一个k，使1与k

17、相做且不全等？解析这是不可能的因为由正弦定理，1与有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补），从而推出1与 xk有等大的外接圆，它们不可能只相似不全等.9. 1. 21是否存在两个全等的三角形与 , 可划分为两个三角形 1与, 可划分成两个三角形 与?,使 2, 2与厶2却不全等？解析这样的两个三角形是存在的，如图（a）、（b）,设不等边三角形厶ABC ABC,其中2 2BC AB AC AB AC BC ,不妨设AC AC是各自的最长边，则AB、AB为各自的最短边.在AC、BC上分别找D、D，使CD AB,BAD C，则由于 BC2AB AC CD AC ,故厶ABCBDC,所以BDC AB

18、C ABC,又因为C BAD,CD AB,因此BDCD BA，而ABD显然不与ACD全等.（若B B 90，还可避免相似.）MIB NIC 180.AOBCBC2sin A 2sin AOD BO cosA AO cos AAO ,9. 1 . 22已知ABC中,A 60,I是厶ABC内心,AI的垂直平分线分别交AB、AC于M、F在BC上，BE EFFC，求证：ME II NF.解析如图，连结Ml、BI、CI、NI.易诮 AMN与厶IMN为全等之正三角形,BIC 120,图(a)C13 / 25评注读者可以考虑：如果ME/NF是否有BAC 609. 1. 23*已知锐角三角形ABC,BAC 6

19、0,AB AC, ABC的垂心和外心分别为M和O,OM分别与AB、AC交于X、Y，证明：AXY的周长为AB AC,OM AB AC.两端延长MN至S与T,使SM MN同理NTC刍NIC，因此S TNT,贝V SMB AMNBMI 60,于是SMBAIMB,MIB NIC 180,SB/TC.而M、N将ST三等分，E、F将BC三等分，于是由平行线分线段成比例，知ME/NF( /SB) 解析如图, 连结BOC120又又故厶XBOYOC,XYOABXOBAO、BO、CO、AMBC，故 AO 一，而 AMC YAM，故AXYYOCXO90YOC 60又XO MY YC，做 OMXYOCY,YO BX1

20、2YC -3由AB AC可知O在AB一侧，M在AC一侧. BC BCtan BAC 丿 3 是AO AM,AOM AMO.AYX, AXY为正三角形.故XOBYC于是AB ACYCO,AX XY12 AC -3BXO 120YAABCYO,又BO CO,AB ACAC AB AC 9. 2.在直角三角形ABC中, 求AB 9. 2 特殊三角形BC是斜边，AC 5,D是BC中点,E是AC上一点,DE AE 2,AT14 / 25解析如图，连结AD.设ADCD x，因DE2,AE2,CE3，则2 2x 22 3,x 10 .故 AB . BC2AC240 2515 .9. 2. 2已知 ABC中,

21、AB14,BC 16,CA 28,P为B在A平分线上的射影，M为BC中点，求PM.解析延长BP交AC于 Q .由BAPQAP .AP BQ 知BP QP :,AB AQ . 又BMCM，故PM / IcQ1AC AQ128 147.-2 22E15 / 25BD CD BE DE CE DE2 2 2 2BE DE AB AD 当D在BC外时的结论同理可证.评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形，具有十分广泛的用途（例如题 交弦定理证明.9. 2. 4已知锐角三角形ABC中，AD、CE是高，H为垂心，AD BC,F是BC的中点，求证:1FH DH BC .29. 2. 3等腰三角形ABC中

22、，AB AC,ABAD2BDCD（D在BC上），AD2AB2BDCD（D在BC夕卜）.BC于E， 贝U E为BC中点, 于是9. 2. 1）,亦可用相QPBMD为直线BC上一点，则解析如图，设D在BC上且较靠近B作AE16 / 25解析如图，连结EF, 则 EFCF1-BC .于是2FH22EF EH CHEF22AH HD EFAHHD2HD2HD2EFHD AD HD2EF22HD BC HDEF22HDEFHD2EFHD2由于EFFHHD,故9. 2. 5已知斜边为AC的直角三角形ABC中,B在AC上的投影为H.若以AB、BC、BH为17 / 25(1)ABCDACBD:ABCDAC B

23、D;1111ABCDACBD又 hc2a2，故 c4a4a2c2.易知 AHCHABc2琵宇 k，则由前式知 k21AH5 1CH2 同理,若AB BC,可得AH5 1CH2所以AH的可能值为51或5 1CH229. 2.6已知ABC中，AD为高，D在BC上，以下哪些条件能判定AB AC:若AB BC，则AB为斜边.设AB c,BC a,BH2 2k，得 k 宁，故18 / 25故AB AC.三边可以构成一个直角三角形，求AHCH解析显然由AB、BC、BH构成的直角三角形中,BH不是斜边，且AB BCh，则由ABC的面积知 h a2b2ac ,解析设BD x, CD y ,AD h，则 AB

24、. h2先看条件： h2x2y h2y2x.若x y，则AB AC;否则不妨设x y，则 x得.h2x2. h2y2x y，于是h 0,矛盾.x2,AC . h2y2.22yh2x2. h2y2xy.h2x2h2y2的所有可能H19 / 252):yjh2Xxjh2y2.则 h2y2x2y2h2x2x2y2，于是x y，故AB AC.三边BC、CA、AB分别垂线PD、PE、PF，垂足分别为D、E、F，且BD CE AF 27，求BD BF的长.解析如图，由于 BD2CD2CE2AE2AF2BF20，于是求 AD . DE再看见条件最后条件3 )：于是x y11x22y.若x y，则xy-h2y

25、2h22x,h2x2:h2y2i- 2222 h x h yxy x y，仍有h 0,矛盾，故AB AC.9. 2 . 7已知P是等腰直角三角形 解析如图，作AD BC于D.ABC的斜边BC上任意一点，求2 2BP2CP2评注请读者考虑，若对1.P在CD上,PDa，贝U BP BDPD 1a，CP CD2 222222 _ 2“ BP CP1 a2 2a.又 APADPD1 a.故AP2BP2CP2AP2ABC为等腰直角三角形.9. 2. 8在ABC中，AB 19，BC17，CA 18，P是厶ABC内一点，过点P向ABC的BD2(17 BD)2CE218CE而18BD 18CE 18AFAF2

26、219 AF 0，此即17BD 18CE 19AF 487.486，故AF BD 1所以BDBFBD AB AFAB 1 18.9. 2.9AC，AE是BC的中垂线,AE BC，BDC 3 BAC，yh22xx.h_y所以三个条件都能判定AB AC.不妨设AD BD CD222是 BP CP 1 aPD 1 a，于2 .BC上任一点P，有为定值，是否可认为20 / 25求证：AS II BC.解析如图，设 QS 与AB交于M，连结MP，贝 U Q 60 ,AB垂直平分 PQ , QM为正三角形，MP PQ SR，于是四边形MPRS为等腰梯形，PR的中垂线即MS的中垂线.于是SAC MAC 60

27、 C,ASIIBC.9. 2. AB与eO相切于点B,AC与e O相交于C、D，若C 45,求AB.,不妨设BECE 1,则AE 2, AB 、5.作ABD的平分线BF,由于BAEABDBAE，故ABFDBFBAE.因此AFBF,ABDBFD,BD2从而 BDDF DA ,DFDBAD，所以DA2BDBDAB .DF ABDB则 BD2x21 ,DA 2x,因此22 2xx15 x21 ,2 23 4x5x5 ,4 0,x -(x 2舍).于是AD20AD10.1111DE解析如图9.2.10*正三角形ABC内有点P,P关于AB、AC的对称点分别为 Q、R，作平行四边形 QPRS ,设DE x

28、211x24xBDE 3AB ADBF BDPM , MPQBDA 60, CD = 6 ,AR21 / 25解析如图，由题意可得ABD 45，作BKAC于K，贝U BK CK，又 CK CD DKBK322 / 25于是 AB 2x 6 .9. 2. 12已知大小相等的等边ABC与等边 PQR 有三组边分别平行，一个指向上方，一个指向 下方，相交部分是一个六边形，则这个六边形的主对角线共点.D、E、F、G、H、K.设ABC、 PQR 的高为h,正厶FPG的高，于是 DK FG ,DG、KF互相平分，同理DG、EH互相平分，于是DG、EH、KF的中点为同一点，结论成立.9. 2. 13求证：过

29、正三角形ABC的中心0任作一条直线I，则A、B、C三点至I的距离平 方和为常数.解析如图，不妨设I与AB、AC相交，且与BC延长线交于P（平行容易计算）.由中位线及重心性质,知BB CC AA.故 B B1C C2AA22（BB2C C2BBCC）.连结OB、OC，作 OQ BC，易知 BBP QOP C CP，故 CC 空OQ OP OQ1 9. 3 三角形中的巧合点9. 3. 1已知：H是厶ABC内一点，AH、BH、CH延长后分别交对边于D、E、F，若故 BKI6 1 2，BD再作AT BD于T，设BT AT x，则 DTxx,3，X,33.26 , x 3 2 .解析如图，设两个三角形的

30、边的交点依次为则正ADK的高h（ RQ 与BC的距离）BPOP对于等腰三角形OBC，有 OP2OC222222OQ2BB CC BB C C2CP OPCP BP .因此BP2CP BPOQOPBC22 23OP 3OC3OQ2（定值），这里用到了OQ2BC 3CP BP OPBC 3OC .Q23 / 25AH HD BH HE CH HF，贝U H是厶ABC的垂心，解析 如图，由条件知厶AHE sBHD,故AEH BDH,同理，AFH CDH,故AFH AEH 180.又厶FBH sECH，故BFH CEH，这样可得AFH AEH 90，故HABC之垂心.9. 3. 2求证：至U三角形三顶

31、点的距离平方和最小的点是三角形的重心.解析设ABC中，AD、BE、CF是中线，G是重心，M是任一点.由斯图沃特定理，并考虑到 结论成立.结论成立.9. 3. 3已知，H是锐角 ABC的垂心，D是BC中点，过H作DH的垂线，交AB、AC于M、N，求证：H是MN中点.解析设ABC两条高为AP、CQ .又不妨设D在BP上.由于HAMDCH,AHM 90DHPHDC，故AMHCHD，于MH是AH冋理NHAHHDCDHDBD又CD BD，故MHNH.得 MG212AM2DM22AD2339GC20.DG：GA：2：3,3 GB224 / 259. 3.ABC的边BC、CA、AB上分别有点D、E、F，且-

32、BD CB 红,求证：ABCDC EA FB的重心与DEF的重心是同一点.CEAC，所以MD CE，四边形MDCE为平行四BDBCP连结PN、AP、FN,11，得RM AF，于是 PNI- BMI丄 AF，于22解析在AB上取一点M，使MD II AC，则AC设MC与DE交于N，又设BC的中点为,BD CE AFBC AC AB边形，BMAB曰 PG疋GAAP与FN交于G，于是由GNFGPN 1空-，所以G为AF 2ABC与ADEF之重心.9. 3. 5*已知ABC，解析设ABC三条中线分别为故GBD FEGABC是正三角形.A、F、G、E共圆，1_3BC.32DP BC由圆心角与圆周角的求证

33、:A 60,G是厶ABC重心，BGC 120,AD、BE、CF.连EF为中位线.于是由条件知BAD，于是 BD2GD在ABC外作等腰ABCP，使BPBC3RAC关系，GP BPAB AC，又CP,1-AD311DA .由于 BD BC , GD AD ,代入，得 AD2一，连结DP,BPC 12021 AD AD3360，故ABC为正三角形.GD PDP三点共线，故ADBC,于是CP9. 3. 6*已知D是BC上一点，ABD、ECD、BCF都是正三角形，A、E在BC同侧，F在另一侧，求证：以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形，且它的中心在BC上.又问此题如何推广？25 / 2526

34、/ 25解析如图，设P、Q、R分别为BCF、DCE和厶ABD的中心，则由题 11. 2. 25 知厶 PQR 为正三角形.过P、Q、R分别作BC的垂线PP、QQ、RR，则更竺 兰3，又BD CD BC， BD CD BC 6故 RR QQ PP .又设 RQ 中点为S（图中未画出），SS BC于S，则SS II PP，且SS - RR QQ -PP .设SP与BC交于G，则SG空-，所以G为 PQR 的中点. 22GP PP 2评注此题不难推广，只需ABIDEIICF,ADIICEIIBF，此时ABDDC FCB,P、Q、R为各自对应的重心，则必有PQR 之重心位于BC上.9. 3.=ABC内

35、有一点P，连结AP、BP、CP并延长，分别与对边相交，把ABC分成六个小三角形，若这六个小三角形中有三个面积相等，则点P是否必为ABC之重心？解析如图，设AD、BE、CF交于P.由对称性，可分四种情况讨论.(1)SBPDSCDPSBPF.于是BD CD,CPPF-2,由梅氏定理（或添平行线），得AF BF,P为中心.(2)SBPDSCDPSAPF.此时FDIIAC，故D、F分别为BC、AB中点，P为重心.(3) 2BPDSBPFSAPE.此时有DEIIAB,由塞瓦疋理，AF BF，于疋 SAPFSMPF,回到情形（1）.(4)SAPFSBPDSCPE， 见题 15. 1. 58.综上所知，答案

36、是肯定的.9. 3. 8*设有一个三角形三角之比为：4，作两较大角的平分线，分别交对边于M、N.求证：这个三角形的重心在MN上.AEBQPQD RFC27 / 25解析设ABC的一条中线与高分别为AD、AE，则欲证结论等价于AG AD AH AE.熟知2AH BC cot A，AG AD .于是结论变为32AD2 3BC AE cot A AB AC cos A .3设AB c，BC a，CA b，则由中线长及余弦定理，知欲证式左端-2b22c2a2，62 2 22AC BC cot B cosC3解析如图(a)，设A为最小角，作中线EB/AD/CF，E、F在直线MN上,BCBCCMBNCFB

37、E1 .AGABACAMANAG不妨设AC2，B 4，7Q 在AB上,则各角大小如图(b)所示.于BCAPCPBQBC1 -1ACACACABABAD，交MN于G，于是只要证明EBEB CF，故问题变成AG在AC上找一点BP AP BQ，9.3AGAGFCAG使ABP2GD分别作1，或又作 PQ / BC ,9*不等边锐角 ABC中,HG.H、G分别是其垂心和重心，求证:1HAB1SHAC2SA HBC2GD则180，BC曰疋28 / 25右端b一c，整理，得 b2c22a2，于是剩下的任务是证明这个等价条件.21SABHC BH BC cosC229 / 25SAABCcot B cote

38、,冋理有另两式，于是条件变为cotC cot B 2cot A,由正弦及余弦定理，知上式即abcosCaccosB 2bccosA，或2 2 2 2 2 2a 6 ca c b2(b2c2a2)，化简即得 b2c22a2.9. 3. 10已知凸四边形ABCD中，BAC 2 BDC,CAD 2 CBD,A是否一定为BCD之外心？解析当ABCD固定由题设BAC、CAD固定，于是ABAC、ACD外接圆固定，它们的交点e、A固定，又若ABCD外心时，确为BAC的外接圆和ACD的外接圆之异于C的交点，因 此A A，结论成立.9. 3已知锐角ABC的外接圆与内切圆的半径分别为R、r，O是外心，0至三边距离

39、之和为L，试用R、r 表示L解析易知 L R cosA cosB cosC .设厶ABC三边分别为 a、b、c ,由于acosB bcosA c等，贝UabccosA cosB cosCa b c acosA bcosBcosA cosB cosC 1ccosC，于是acosA bcosB ccosC.a b c又RacosASA BOC等，可得acosA bcosB ccosCSAABC1r ab c,故式的右端丄222R于是L R r.9. 3. 12:已知ABC,D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于F,ED II BC，求证:AEF、ADF、EFB、DFC的外心四点共圆.解析如图，设

40、ABEF、DFC的外心分别为 01、O2,OEFD的外心，于是 OOt垂直平分EF. 002C30 / 25垂直平分DFKDF 180 EFDO1OO2，故 0Q02FDK .又设AEF, ADF的外心分别为 O3、04（图中未画出），于是 O3、O4分别在直线 0Q 与 0?0 上， 且。3。4AF ,于是 0。4。3KFD00i02，于是 0i、。2、。3、。4四点共圆.9. 3. 13已知：ABC中，AB AC,D是AB中点，F ADC重心，0 ABC外心， 求证：F0 CD.解析 1 如图，延长DF交AC于E，则AE CE,DF 2EF.连结A0并延长，分别交CD、BC于G、22D0H

41、，则G ABC重心，BH CH, DF DE BH，易见33AD又0D AB,0DF 90 ADE DAG, 0DFDAG，对应边垂直，所以F0 CD.解析 20ABC外心，故 C02D02A02D02AD2；而由中线公式，2BCAB AC.设EFB DFC，则由垂径疋理知OOTsin-BD , 002Sin-CE ,于曰 00-丁是BD22002CEBH2 -BH3DFAHZAH3AGCF-2AC22CD2AD2-J7AD22CD2,DF33于是2 2AD2CO22FOCD.E2AD2,AI090的充分必要条件是解析延长AI与外接圆交于点AI0ID.D，连结BD、CD、0D，则易知AF过ED

42、中点（由塞瓦定理或面积比），作KD II EF,K在AF上，贝U KD EF,又FDEF12 2 2、2AD 2CD AC 39 . 3 . 14 设I和0分别是ABC的内心和外心，求证:31 / 25ADDI32 / 25由内心性质知，DI DB DC，结合托勒密定理得AD BCAB CDAC BDAB DIAC DI,所以ADAB ACDIBC所以AIO 90AB AC2 BC故AIO90的充要条件是2BCAB AC评注本题的关键是先把AIOID，然后再用托勒密定理.托勒密定理是：圆内接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和.9. 3. 15* 设eO是厶ABC的外接圆，G是三角形重心，延长

43、AG、BG、CG，分别交eO于D、E、F,则仝匹空 3 .GD GE GF边分别设为 a、b、c )AG AGAGGD GP PDGpBP CPAP.2 2b c12a22 b22 22c a1.21212322a.2 2b cbcaa2244同理，有解析设BC、R，则由中线长公式及相交弦定理，有(此处ABC二2AP1AP3AP2AP2AP23BPAD33 / 252 2 2BG 2c 2a b 2 2 2-GE a b c2 2 2CG 2a 2b cZ222GF a b c三式相加，即得结论.为ABC内心.易知ACIANI,CINI，同理CI MI,ICMN的外心，因此CMCNACNBCM

44、9. 3. 16 卄I在ABC内，AI平分BAC, BIC90解析如图，作EIFAI,E在AB上，F在AC上，则12AFA，求证:,LE IFBEI IFC90于是 EBI FICBI，ICI是 ABC内心.BIC .又EBIEIB 901A EIB2FIC ，故EBIFIC,BEIFBEEI而BEIBIC，故BEI BIC,ABIIBC, 所以I9. 3. 17已知:ABC中,2BCAB ACD是内心，DE与BC垂直于E，求DE2BE CE的值.解析设ABC三边长分别为，则2a b易知若设DE则 BE p b,CE p于曰 DE2于是 -BE CE9. 3. 18设ABC中，ABABC内心，求MIN（用解析如图，连结CM、CN、a3a最长,A、CI、13 在其上分别找两点M、B、C及其组合表示）.AI.N