离散数学第十三十四章半群与群环与域

1、第十三、十四章第十三、十四章 半群与群、环与域半群与群、环与域l13.1 半群和独异点的定义l13.4 群的基本定义l14.1 环的定义l14.4 域的定义13.1 半群和独异点的定义半群和独异点的定义定义13.1.1 给定，若 满足结合律，则称为半群。即对S中的任意元素x,y,z，有 (x y) z=x (y z)。可见，半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构。定义13.1.2 给定，若是半群且有幺元或满足结合律且拥有幺元，则称为独异点。可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调幺元e，独异点表为。例例13.1.1 给定和，其中N

2、为自然数集合，+和为普通加法和乘法。由普通加法和乘法满足结合律易知，和都是半群，而且还是独异点。因为0是+的幺元，1是的幺元。 例例 由有限字母表所组成的字母串集合*与并置运算所构成的代数结构是个特异点。因为首先它满足结合律，例如ab/(cd/ef ) = (ab/cd)/ef = abcdef.其次，它有一个幺元，使得对*内任意一元素A，有 /A=A/=A.故是个特异点。显然，我们令+ *，则是一个半群。定义13.1.3 给定半群，若 是可交换的，则称是可交换半群。类似地可定义可交换独异点。例例13.1.2 给定和，其中P(S)是集合S的幂集，和为集合上的并与交运算。可知和都是可交换半群。不

3、仅如此，它们还都是可交换独异点，因为与S分别是它们的幺元。 13.4 群的基本定义群的基本定义定义13.4.1 给定，若是独异点且每个元素存在逆元，或者说 是可结合的，关于 存在幺元，G中每个元素关于 是可逆的，则称是群。可见，群是独异点的特例，或者说，群比独异点有更强的条件。例例13.4.1 给定和，其中Z和Q分别是整数集合和有理数集合，+和是一般加法和乘法。可知是群，0是幺元，每个元素iZ的逆元是-i；不是群，1是幺元，0无逆元。但便成为群。这里我们只介绍群的一个重要性质：定理13.4.1 是群|G|1无零元。其中|G|表示集合G的基数（势）证明见p255定义13.4.4 给定群，若 是可

4、交换的，则称是可交换群或是Abel群。例例13.4.3 例13.4.1中和例12.1.2中都是Abel群。 14.1 环环定义14.1.1 给定，其中+和都是二元运算，若是Abel群，是半群，对于+是可分配的，即：对任意x,y,zR，x (y+z) = x y + x z(y+z) x = y x + z x则称是环。为了方便，通常将+称为加法，将称为乘法，把称为加法群，称为乘法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。注意这里加法和乘法不一定仅限于初等数学的加与乘。同样，加运算的幺元我们用“0”表示，乘运算的幺元用“1”表示，0与1的含义也不一定仅限于初等代数中的0与1.由于环的定义中的存在

5、，对于+是可分配的，即：对任意x,y,zR，x (y+z) = x y + x z(y+z) x = y x + z x所以加法的幺元(我们用0表示)必是乘法的零元，故有零元。但我们知道，群中一定不出现零元，因此不可能是群，只是一个半群。定义 环的加法群的幺元或乘法零元称为环的零元，以0示之。若aR，则其加法逆元以a表之。常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。定义14.1.2 给定环，若是可交换半群，则称是可交换环；若是独异点，则称是含幺环(即的幺元就称为环的幺元)；若满足等幂律，则称是布尔环。通常用1表示的幺元。在中，若aR的逆元存在，则以a-1表示其乘法逆元。例例14.1.1 ，和等都是环。而且除外都是拥有加法幺元数0和乘法幺元数1的可交换含幺环。这里Z、R、Q、E、C分别为整数集合、实数集合、有理数集合、偶数集合和复数集合，而+和分别是大家熟悉的加法和乘法运算。例 是环，其中Mn(R)是n阶实矩阵的集合，+、 分别是矩阵加法和乘法。14.4 域域对于环施加进一步限制，即是可交换群，便得到另外