第2章 光纤光学的基本方程

1、江汉大学江汉大学1第2章光纤光学的基本方程基本问题基本问题1.光纤模式的激励光纤模式的激励2.光纤中的模式分布光纤中的模式分布3.模式的传播速度模式的传播速度4.模式沿光纤横截面场分布模式沿光纤横截面场分布5.光信号的传输损耗光信号的传输损耗6.光信号的畸变光信号的畸变7.模式的偏振特性模式的偏振特性8.模式的耦合模式的耦合江汉大学江汉大学2描述光纤传输原理的两种方法描述光纤传输原理的两种方法描述光纤传输原理有两种方法：描述光纤传输原理有两种方法：（1）几何光学射线法几何光学射线法 几何光学的方法比较直观，几何光学的方法比较直观， 容易理解，容易理解， 但不十分严格。但不十分严格。（2）解波动

2、方程法解波动方程法 比较抽象，数学推导和演算复杂。比较抽象，数学推导和演算复杂。 不管是射线方程还是波动方程，数学推演不管是射线方程还是波动方程，数学推演都比较复杂，都比较复杂， 我们只选取其中我们只选取其中主要部分和有主要部分和有用的结果用的结果。 江汉大学江汉大学3基本思路基本思路麦克斯麦克斯韦方程韦方程波波动动方方程程亥母霍亥母霍兹方程兹方程射 线射 线方 程方 程折 射 率折 射 率分布分布边界条件边界条件波导场方波导场方程程光线光线轨迹轨迹本征解本征解本征值本征值传输特传输特性分析性分析江汉大学江汉大学42.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 麦克斯韦方程组的积分形式 SLSdtDJl d

3、H VSdVSdD 0 SSdB SLSdtBldESLV第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学5麦克斯韦方程组的微分形式tDJH D0 BtBE SLV第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学6光纤特点：无传导电流、无自由电荷、线性各向同性光纤特点：无传导电流、无自由电荷、线性各向同性0 BDJtDHtBE 00 BDtDHtBE第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学7梯度算符zeyexezyx zererezr 1第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆

4、霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学8物质方程EJHBED jijijijiHBED 0 zyx, zr, 0 tJ电流连续性方程电流连续性方程光纤是非磁性，电各向同性介质光纤是非磁性，电各向同性介质第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学9场量的时域和频域表达式 dtetzyxzyxdezyxtzyxtjtj ,21,第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学10边界条件 1212121200HHnEEnBBnDDn即即ttttnnnnHHEEBBDD21212121 界面处面电荷密度界面

5、处面电荷密度界面处的表面电流密度界面处的表面电流密度第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学111.电磁分离E EEE2 00BDtDHtBEHB 两边取旋度两边取旋度 EDDDE11ED 222tEEE 第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学121.电磁分离H HHH2 00BDtDHtBEED HBBBH11HB EttD 222tHHH 第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学13矢量波方程 222222tHHHtEEE 222222tHHtEE 标

6、标量量波波方方程程0 矢矢量量波波方方程程第第2章章 2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程江汉大学江汉大学142.时、空分离 tiezyxtzyx , 0,22 zyxkzyx0nkk 前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数令令亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 0,0,2222 zyxHkzyxHzyxEkzyxE得得第第2章章 2.2程函方程与射线方程程函方程与射线方程江汉大学江汉大学152.2程函方程与射线方程 zyxQikezyxzyx,00, 0202200020220 QQQikQQkkk 00, 0 k zyxnkkQ,2

7、2022 程函方程程函方程第第2章章 2.2程函方程与射线方程程函方程与射线方程江汉大学江汉大学16 dsrdrndsdrndsddsdQQdsd射线方程 nQnQ ABOrdr rdsdsrddsrd rd rndsrdrndsd 光线方程光线方程第第2章章 2.2程函方程与射线方程程函方程与射线方程江汉大学江汉大学17射线方程的物理意义物理意义：物理意义：v将光线轨迹将光线轨迹( (由由r r描述描述) )和空间折射率分布和空间折射率分布(n)(n)联系起来联系起来v由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式：由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式：v 是光线切向斜率是光线切向斜率, , 对于均匀

8、波导，对于均匀波导，n n为常数为常数, ,光光线以直线形式传播线以直线形式传播; ;v对于渐变波导对于渐变波导,n,n是是r r的函数的函数, ,则则 为一变量为一变量, , 这表明这表明光线将发生弯曲。光线将发生弯曲。v 可以证明可以证明, ,光线总是向折射率高的区域弯曲。光线总是向折射率高的区域弯曲。)()(rndzrdndzd )()(rndSrdndSd dSrddSrd第第2章章 2.2程函方程与射线方程程函方程与射线方程江汉大学江汉大学18典型光线传播轨迹江汉大学江汉大学19用波动理论研究光纤传输特性的方用波动理论研究光纤传输特性的方法和步骤：法和步骤：（1）由麦克斯韦方程组推出

9、波动方程（亥姆霍）由麦克斯韦方程组推出波动方程（亥姆霍兹方程）。兹方程）。（2）把波动方程在圆柱坐标系中展开，并用分）把波动方程在圆柱坐标系中展开，并用分离变量法求离变量法求 解波动方程。解波动方程。（3）结合边界条件和波动方程的解，通过特征）结合边界条件和波动方程的解，通过特征方程最终求出传输常数方程最终求出传输常数，定出光纤中光波的传，定出光纤中光波的传输模式。输模式。江汉大学江汉大学20前提条件：光纤中传播的电磁波是前提条件：光纤中传播的电磁波是“行波行波”，场分布沿场分布沿轴向只有相位变化，没有幅度变化；轴向只有相位变化，没有幅度变化；得到关于得到关于E(x,y)和和H(x,y)的方程

10、式：的方程式：2.3波导场方程0),(),(),(),(22 yxHyxEyxHyxEt 2202222 knznk cos0 分离变量：空间坐标纵横分离：分离变量：空间坐标纵横分离： zieyxzyx ,2222zt 第第2章章 2.3波导场方程波导场方程江汉大学江汉大学21波导场方程的数学物理意义波导场方程的数学物理意义波导场方程：波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程它是一个典型的本征方程,其本征值为其本征值为c或或。 当给定波导的边界条件时当给定波导的边界条件时,求解波导场方程求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定可得

11、本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为义为“模式模式”.江汉大学江汉大学222.4模式及其基本性质v每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波波;v每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件件;v模式具有确定的相速群速和横场分布模式具有确定的相速群速和横场分布.v模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而外界激励源只能激励起光波导中

12、允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。不会改变模式的固有性质。第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学23横模光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各光波在传输过程中，在光束横截面上将形成具有各种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的种不同形式的稳定分布，这种具有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横模（表现在光斑形状）的分电磁波，称为横模。横模（表现在光斑形状）的分布是和光波传输区域的横向（布是和光波传输区域的横向（xy面）结构相关的；面）结构相关的； Cylindrical transverse mode patterns TEM(pl) 第第2章章 2.4

13、模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学24modes of a fiber 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学25Rectangular transverse mode patterns TEM(mn) 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学26光纤中的模式光纤中的模式-横模横模第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学27纵模纵模相长干涉相长干涉 条件：条件：2 nLK 纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵纵模模”，纵模是指频率而言的。，纵模是指频率而言的。第第2

14、章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学28模式的场分量模式的场分量模式场分布由六个场分量唯一决定：模式场分布由六个场分量唯一决定：Ex Ey Ez Hx Hy HzEr Ef Ez Hr Hf HzEz 和和 Hz 总是独立满足波导场方程总是独立满足波导场方程场的横向分量可由纵向分量来表示场的横向分量可由纵向分量来表示0z2z2 HEHEzzt 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学29直角坐标系纵横关系式直角坐标系纵横关系式 xEyHiEzzx2 yExHiEzzy2 xHyEiHzzx2 yHxEiHzzy2第第2章章 2.4模式及其基本性

15、质模式及其基本性质江汉大学江汉大学30圆柱坐标系纵横关系式圆柱坐标系纵横关系式 zzHrrEiH12 rEHriEzzr12 ErrHiEzz12 rHEriHzzr12第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学31横纵关系式横纵关系式 yHxHiExyz1 yExEiyHxHiHxyyxz1 HrrHrriErz111 ErrErrHrrHrriHrrz111111第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学32模式命名模式命名根据场的纵向分量根据场的纵向分量Ez和和Hz的存在与否的存在与否,可将模可将模式命名为式命名为:(1)横电磁模横电磁模(

16、TEM): EzHz0; (2)横电模横电模(TE): Ez0, Hz0;(3)横磁模横磁模(TM): Ez0,Hz0;(4)混杂模混杂模(HE或或EH):Ez0, Hz0。光纤中存在的模式多数为光纤中存在的模式多数为HE(EH)模模,有时也出现有时也出现TE(TM)模。模。第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学33v波矢波矢 的的 分量分量2.纵向传播常数纵向传播常数模式场分布与传播常数模式场分布与传播常数zyxzyxHHHEEE;zrzrHHHEEE ;zznkek cos0 直角坐标系直角坐标系柱坐标系柱坐标系1.场分布场分布0kzv每一个每一个 值代表一个导

17、模值代表一个导模v不同的导模具有相同的不同的导模具有相同的 值，则称值，则称这些导模是简并的这些导模是简并的 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学34v一种是模式截止。一种是模式截止。v另一种是模式远离截止另一种是模式远离截止 。分析这两种分析这两种情况的情况的u、w和和， 对了解模式特性很有意义。对了解模式特性很有意义。 3.模式分布模式分布 221022210anknnaV cV给定光纤中给定光纤中,允许存在的导模由其结构参数所限允许存在的导模由其结构参数所限定。定。归一化频率：归一化频率：01kn 对于光纤传输模式，有两种情况非常重要：对于光纤传输模式，有两

18、种情况非常重要：光纤的结构参数可由其归一化频率光纤的结构参数可由其归一化频率V表征表征: V值越值越大大, 允许存在的导模数就越多。允许存在的导模数就越多。第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学35导模的“截止”与导模的“远离截止”导模的导模的“截止截止”: 除了基模之外除了基模之外,其它导模都可能在某一个其它导模都可能在某一个V值以下不允许存在值以下不允许存在, 这时导模转化为辐射模。这时导模转化为辐射模。使某一导模截止的使某一导模截止的Vc值称为导模的值称为导模的截止条件截止条件。导模的导模的“远离截止远离截止“: 当导模的本征值当导模的本征值n1k0时时,导模

19、场紧导模场紧紧紧 束缚于纤芯中传输束缚于纤芯中传输,称之为导模的称之为导模的“远离截止远离截止”。同样同样,每一个导模都对应于一合适的每一个导模都对应于一合适的V值使其远离截止值使其远离截止,称之称之为导模的为导模的“远离截止条件远离截止条件。 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学364.横向传播常数横向传播常数2202 knjj为实数为实数101, kn 为纯虚数为纯虚数202, kn 纤芯中纤芯中包层中包层中 引入无量纲实参数引入无量纲实参数220211 knaaU202222knaiaW 202220212022222knknknVWb 径向归一化相位常数径

20、向归一化相位常数径向归一化衰减常数径向归一化衰减常数场归一化传播常数场归一化传播常数222WUV 导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率导模在包层中的消逝场的衰减速度导模在包层中的消逝场的衰减速度第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学37截止条件与远离截止条件截止条件与远离截止条件0W WW的取值自的取值自至至0 场在包层中不衰减，导模转化为场在包层中不衰减，导模转化为辐射模，导模截止辐射模，导模截止场在包层中不存在，导模被约束场在包层中不存在，导模被约束在纤芯中，约束最强，导模远离在纤芯中，约束最强，导模远离截止截止cVUW , 00

21、, UVW导模的本征值导模的本征值U222WUV 202222knaiaW 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学38群速度是场的等幅面沿群速度是场的等幅面沿z轴的传播速度。轴的传播速度。5.相速度与群速度相速度与群速度const zt tzVpdd dd ppgVVV相速度是场的等相位面沿相速度是场的等相位面沿z轴的传播速度。轴的传播速度。11cosncncVzp 11cosncncVzg 光纤中相速度大于光速，群速度小于光速。光纤中相速度大于光速，群速度小于光速。1,0ncVVgpz 时时 不同的不同的 角相应于不同的导模，对应于不同的角相应于不同的导模，对应于

22、不同的 和和 。z pVgV第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学39不同的不同的 具有不同的具有不同的 ，因此不同，因此不同 的导模之间的导模之间存在群延时差存在群延时差 ，引起光脉冲展宽，这种现象称之，引起光脉冲展宽，这种现象称之为色散。为色散。6.群延时与色散群延时与色散01kcVggdddd 光脉冲行经单位长度距离所需的时间为群延时。光脉冲行经单位长度距离所需的时间为群延时。g g 色散可分为：多模色散、色散可分为：多模色散、波导色散、材料色散波导色散、材料色散第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学40光纤色散演示光纤色散演示第第

23、2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学41材料色散演示材料色散演示第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学42渐变型光线模式色散演示渐变型光线模式色散演示第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学437.偏振特性偏振特性 光波电矢量振动的空间分布光波电矢量振动的空间分布对于光的传播方向失去对称性的对于光的传播方向失去对称性的现象叫做光的偏振。现象叫做光的偏振。 从自然光获得线偏振光的从自然光获得线偏振光的方法有以下四种：利用反射和方法有以下四种：利用反射和折射、利用二向色性、利用晶折射、利用二向色性、利用晶体的双折射、利

24、用散射。体的双折射、利用散射。另外，线偏振光可以经过另外，线偏振光可以经过波晶片产生圆偏振光和椭圆偏波晶片产生圆偏振光和椭圆偏振光。振光。 Linear Circular Elliptical 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学44偏振现象的应用偏振现象的应用Effect of a polarizer on reflection from mud flats. In the picture on the left, the polarizer is rotated to transmit the reflections as well as possible;

25、by rotating the polarizer by 90 (picture on the right) almost all specularly reflected sunlight is blocked. The effects of a polarizing filter on the sky in a photograph. The picture on the right uses the filter. Polarizer rotated to pass polarized light (bottom), and rotated by 90 to block it, supp

26、ressing reflections and making it possible to see through the window (top). 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学45偏振现象的应用偏振现象的应用Polarizers are often used to improve the appearance of vegetation. In this picture the polarizing filter is used on the left. Effect of polarizer on light reflected from a wat

27、er surface. The polarizing filter is used on the right. 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学46光纤中的偏振现象光纤中的偏振现象第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学47光纤偏振器件光纤偏振器件21330 Rannnyx. 快轴位于弯曲平面内，快轴位于弯曲平面内，慢轴垂直于弯曲平面慢轴垂直于弯曲平面 , 3212 mmNRn 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学488.功率流功率流 AzAeSPdavavS功率流即单位时间内通过波导横截面的总能量功率流

28、即单位时间内通过波导横截面的总能量平均能流密度平均能流密度 TTTTtheTtSTSd21d21avDipole Radiation, Dipole parallel to the z-axis, electric field and poynting-vector in the x-z-plane. 第第2章章 2.4模式及其基本性质模式及其基本性质江汉大学江汉大学499.正交性正交性 , 0d00PPAHEA不同导模的坡印亭矢量积分等于零。不同导模的坡印亭矢量积分等于零。江汉大学江汉大学50课堂练习课堂练习 nNrnR 111. 试证明：试证明：4.试在柱坐标系中证明纵横关系。试在柱坐标系中证