全国卷高考复习平面向量知识总结题型

1、第一部分平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法

2、求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.【基础练习】1.判断正误(在括号内打“”或“×”)(1)零向量与任意向量平行.()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()(5)在ABC中，D是BC中点，则().()2.给出下

3、列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等.则所有正确命题的序号是()A. B. C. D.3.(2017·枣庄模拟)设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则()A.2 B.3 C.2 D.34.(2015·全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.5.(必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示).6.(2017·嘉兴七校联考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则1_，2_.考点一平面向量的概念【例1】

4、 下列命题中，不正确的是_(填序号).若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac.【训练1】 下列命题中，正确的是_(填序号).有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案考点二平面向量的线性

5、运算【例2】 (2017·潍坊模拟)在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且APAB，BQBC.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于()A.B.C.D.考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若ab，2a8b，3(ab).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.【训练3】已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共

6、线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.【基础练习】1.(2017·东阳月考)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab等于()A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9)2.(2015·全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7，4)C.(1，4) D.(1，4)3.(2016·全国卷)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.4.(必修4P101A3改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(

8、3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.考点一平面向量基本定理及其应用【例1】 (2014·全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.【训练1】如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A.(23，12) B.(23，12)C.(7，0) D.(7，0)【训练2】 (1)已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点B的坐标为()A.(7，4) B.(7，14)C.(5，4) D.(5，14)(2)(2015

9、3;江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2).若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.考点三平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.(2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|BP|，则点P的坐标为_.【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是()A. B. C. D.(2)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_.第三部分平面向量的数量积及其应用1.平面向量数量积

10、的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0°180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a0.(3)数量积几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b|a|b|

11、cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：a·b0x1x2y1y20.(5)|a·b|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| ·.3.平面向量数量积的运算律：(1)a·bb·a(交换律).(2)a·b(a·b)a·(b)(结合律).(3)(ab)·ca·cb·c(分配律).【基础练习】1.(2015·全国卷)向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)·a等于()A.1 B.0 C.1 D.22

12、.(2017·湖州模拟)已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_.3.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a，b的夹角为，|a|2，|b|1，则|ab|_.5.(必修4P104例1改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120°，则向量b在向量a方向上的投影为_.6.(2017·瑞安一中检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，2)，|b|1，且ab与a2b垂直，则向量a·b_；a与b的夹角的余弦值为_.【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）【例1】 (1)(2

13、015·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则·等于()A.20 B. 15 C.9 D.6(2)(2016·天津卷)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则·的值为()A. B. C. D.【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在RtABC中，A90°，ABAC2，点D为AC的中点，点E满足，则·_.(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_；·的最大值为_.考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016·全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A.8 B.6 C.6 D.8(2)若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k